2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 文(重點(diǎn)班含解析)
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1、2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 文(重點(diǎn)班,含解析) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目的要求) 1.如圖,一個(gè)空間幾何體正視圖與左視圖為全等的等邊三角形,俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓,那么這個(gè)幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由三視圖可知,該幾何體表示底面半徑為,母線長為, 所以該幾何體的表面積為,故選B. 2.如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均變化率等于( ) A. -1 B. 1 C. -2 D
2、. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)平均變化率的概念求解. 【詳解】易知,,因此,故選D 【點(diǎn)睛】求平均變化率的一般步驟:①求自變量的增量△x=x2-x1,②求函數(shù)值的增量△y=f(x2)- f(x1),③求函數(shù)的平均變化率 . 3.下列導(dǎo)數(shù)公式正確的是( ?) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng),計(jì)算選項(xiàng)中函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分析即可得答案. 【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng): 對于A,(xn)'=nxn﹣1,A錯(cuò)誤; 對于B,()′,B錯(cuò)誤; 對于C,(sinx)′=cosx,C錯(cuò)誤;
3、對于D,,D正確; 故選:D. 【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,關(guān)鍵是掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題. 4.為方程的解是為函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的 ( ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】 是的解,則是函數(shù)的極值點(diǎn)或拐點(diǎn);若是函數(shù)的極值點(diǎn),則有。所以“是的解”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件,故選B 5.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.若以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)的極坐標(biāo)可以是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【
4、分析】 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化式,將點(diǎn)坐標(biāo)直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可。 【詳解】根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化方程, ,代入得 所以選A 【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,熟練記憶轉(zhuǎn)化公式是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題。 6.極坐標(biāo)方程ρ=1表示( ) A. 直線 B. 射線 C. 圓 D. 橢圓 【答案】C 【解析】 【分析】 先由極坐標(biāo)方程,利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用,,進(jìn)行代換即可得直角坐標(biāo)方程,再利用直角坐標(biāo)方程進(jìn)行判斷即可得答案. 【詳解】將方程化成直角坐標(biāo)方程為, 所以其表示的是以原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓, 故選C. 【點(diǎn)睛】該題考查的是
5、有關(guān)判斷曲線形狀的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,另一種做法就是根據(jù)極徑的幾何意義,確定出其為滿足到極點(diǎn)的距離為定值1的動(dòng)點(diǎn)的軌跡,從而得到結(jié)果. 7.在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線y=cos2x按伸縮變換后為( ) A. y′=cos x′ B. y′=3cosx′ C. y′=2cosx′ D. y′=cos 3x′ 【答案】A 【解析】 【分析】 把伸縮變換的式子變?yōu)橛帽硎?,再代入原方程即可求出結(jié)果. 【詳解】因?yàn)樯炜s變換, 所以,代入,可得, 化簡可得, 故選A. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)伸縮變換后曲線方程的求解問題,涉及
6、到的知識(shí)點(diǎn)有伸縮變換規(guī)律對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,屬于簡單題目. 8.已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則( ) A. 在上為減函數(shù) B. 在處取極小值 C. 在上為減函數(shù) D. 在處取極大值 【答案】C 【解析】 :由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知:時(shí),,時(shí),,因此在為增函數(shù),在為減函數(shù),所以x=0取得極大值,x=2取得極小值,x=4取得極大值,因此選C。 9.設(shè)函數(shù),若,則等于(?? ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】 對求導(dǎo),令,即可求出的值. 【詳解】因?yàn)?,所以? 又因?yàn)椋? 所以,故選C.
7、 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),求參數(shù)的值的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的求導(dǎo)公式,屬于簡單題目. 10.函數(shù)的圖像在處的切線方程是,則等于(??) A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率,故為切線斜率,又由切線方程是,即斜率為,故,又為切點(diǎn)縱坐標(biāo),據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率可求得答案. 【詳解】因?yàn)?,? 故, 故選B. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)某個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)的值的運(yùn)算結(jié)果問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有切點(diǎn)在切線上,切線的斜率即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),從而求得結(jié)果. 11.如果函數(shù)在上單調(diào)遞增
8、,則的取值范圍是( ?? ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,對其進(jìn)行求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為在恒成立,從而求解得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增, 所以在恒成立, 所以, 解得,故選B. 【點(diǎn)睛】該題考查的是根據(jù)函數(shù)在定義域上單調(diào)求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,易錯(cuò)點(diǎn)就是導(dǎo)數(shù)大于等于零,而不是大于零. 12.對于函數(shù),給出下列命題:(1)是增函數(shù),無最值;(2)是減函數(shù),無最值;(3)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;(4)是最大值,是最小值.其中正確的有(?? ) A. 1
9、個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 【答案】A 【解析】 【分析】 令,求得或,再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而得到函數(shù)的極值,從而得出結(jié)論. 【詳解】對于函數(shù),求得, 令,求得或, 在上,,函數(shù)為增函數(shù); 在上,,函數(shù)為減函數(shù); 在上,,函數(shù)為增函數(shù);從而得到函數(shù)沒有最大最小值, 故排除①②④,只有③正確, 故選A. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)正確命題的個(gè)數(shù)問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系,函數(shù)極值的概念,極值與最值的關(guān)系,屬于中檔題目. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
10、13.函數(shù)在處的切線方程是____________________ 【答案】 【解析】 【分析】 首先利用求導(dǎo)公式對函數(shù)求導(dǎo),將代入導(dǎo)函數(shù)解析式,求得導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式方程,寫出切線的方程,化簡求得結(jié)果. 【詳解】由得,所以,所以切線的斜率為4, 根據(jù)點(diǎn)斜式可知所求的切線方程為,化簡得, 故答案為. 【點(diǎn)睛】該題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,首先要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的求導(dǎo)公式,直線方程的點(diǎn)斜式,熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 14.在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線的距離是 【答案】 【解析】 圓的圓心 直
11、線;點(diǎn)到直線的距離是 【此處有視頻,請去附件查看】 15.曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立積坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為___________。 【答案】 【解析】 將x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入x2+y2-2x=0得ρ2-2ρcosθ=0,整理得ρ=2cosθ 【此處有視頻,請去附件查看】 16. 已知函數(shù)y=xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),給出以下說法: ①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù); ②函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上無單調(diào)性; ③函數(shù)f(x)在x=
12、-處取得極大值; ④函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值.其中正確的說法有________. 【答案】①④ 【解析】 試題分析:由圖像可知當(dāng)時(shí),可得此時(shí); 當(dāng)時(shí),可得此時(shí); 當(dāng)時(shí),可得此時(shí); 當(dāng)時(shí),可得此時(shí), 綜上可得或時(shí);當(dāng)或時(shí). 所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在處取的極小值. 所以正確的說法為①④. 考點(diǎn):用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì). 三、解答題(本大題共6個(gè)小題,滿分70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.已知函數(shù)f(x)=x3-4x+4. (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)求函數(shù)的極值. 【答案】(1)見解析(2)極大值為,極小值為
13、 【解析】 【分析】 (1)求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為0,求出兩個(gè)根,分別令導(dǎo)數(shù)大于零,小于零,求得自變量的范圍,從而確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,從而確定出函數(shù)的極值. 【詳解】(1) 令 當(dāng),即或,函數(shù)單調(diào)遞增, 當(dāng),即,函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為 (2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值,即 當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值,即 函數(shù)的極大值為,極小值為 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,靈活掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵. 18.設(shè)函數(shù),其中.已知在處取
14、得極值. (1)求的解析式; (2)求在點(diǎn)處的切線方程. 【答案】(1);(2). 【解析】 分析:求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)在處取得極值,得到,由此求得的值值,則函數(shù)的解析式可求; (2)由(1)得到,求得,所以在點(diǎn)處的切線方程可求. 詳解:(1). 因?yàn)樵谔幦〉脴O值,所以, 解得,所以. (2)點(diǎn)在上,由(1)可知, ,所以切線方程為. 點(diǎn)睛:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程,解答此題需要注意的是函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零,但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),著重考查了推理與運(yùn)算能力,試題屬于基礎(chǔ)題. 19.如圖,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面AB
15、CD,E是PC的中點(diǎn)。 求證:(1)PA∥平面BDE ; (2)平面PAC平面BDE. 【答案】證明:(Ⅰ)連結(jié)EO, 在△PAC中,∵O是AC的中點(diǎn),E是PC的中點(diǎn), ∴OE∥AP 又∵OE平面BDE, PA平面BDE, ∴PA∥平面BDE (Ⅱ)∵PO底面ABCD, ∴POBD 又∵ACBD,且ACPO=O, ∴BD平面PAC. 而BD平面BDE, ∴平面PAC平面BDE。 【解析】 證明:(Ⅰ)連結(jié)EO, 在△PAC中,∵O是AC的中點(diǎn),E是PC的中點(diǎn), ∴OE∥AP. 又∵OE平面BDE, PA平面BDE, ∴PA∥平面BDE.
16、(Ⅱ)∵PO底面ABCD, ∴POBD. 又∵ACBD,且ACPO=O, ∴BD平面PAC. 而BD平面BDE, ∴平面PAC平面BDE. 20. 選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系下,已知圓O:和直線, (1)求圓O和直線的直角坐標(biāo)方程; (2)當(dāng)時(shí),求直線與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo). 【答案】(1) 圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-x-y=0,直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+1=0 (2) 【解析】 (1)圓O:,即 圓O的直角坐標(biāo)方程為:,即………… 直線,即 則直線的直角坐標(biāo)方程為:,即………… (2)由得 故直線與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為………
17、… 21.如圖,一矩形鐵皮的長為8cm,寬為5cm,在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,制成一個(gè)無蓋的小盒子,問小正方形的邊長為多少時(shí),盒子容積最大? 【答案】18 【解析】 解:設(shè)小正方形的邊長為厘米,則盒子底面長為,寬為 盒子容積……4分 由……………6分 ,(舍去)…10分 ,在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極大值, …14分 22.如圖,梯形中,∥,是線段上的兩點(diǎn),且,,,,,.現(xiàn)將△,△分別沿,折起,使兩點(diǎn)重合于點(diǎn),得到多面體(1)求證:平面 平面;(2)求多面體的體積 【答案】:(Ⅰ)見解析(Ⅱ) 【解析】 :(Ⅰ)證明:因?yàn)?,所以四邊形平面為矩形? 由,得所以,在中 , 有,所以又因?yàn)椋? 得平面, 所以,所以平面,即平面 平面; (Ⅱ):在平面中,過點(diǎn)G作于點(diǎn)H, 則 因?yàn)槠矫?平面, 得平面, 【此處有視頻,請去附件查看】
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