2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)回扣（五）立體幾何學(xué)案 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)回扣（五）立體幾何學(xué)案 理1空間幾何體的三視圖在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線為虛線在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練1若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是()答案A2斜二測(cè)畫(huà)法在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半”對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練2如圖所示的等腰直角三角形表示一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則這個(gè)平面圖形的面積是_答案23計(jì)算空間幾何體的表面積和體積(1)分析清楚空間幾何體的結(jié)構(gòu)，搞清楚該幾何體的各個(gè)部分的構(gòu)成特點(diǎn)；(2)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化和一些必要的等積變換對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練3如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()A4B3C2D.答案D4與球有關(guān)的切接問(wèn)題長(zhǎng)方體外接球半徑為R時(shí)有(2R)2a2b2c2；棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)切球半徑ra，外接球半徑Ra.對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練4已知正三棱錐PABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為_(kāi)答案5空間直線、平面的位置關(guān)系不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯(cuò)如由，l，ml，易誤得出m的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m的限制條件對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練5已知b，c是平面內(nèi)的兩條直線，則“直線a”是“直線ab，直線ac”的_條件答案充分不必要6用向量求空間中角的公式(1)直線l1，l2夾角有cos|cosl1，l2|；(2)直線l與平面的夾角有：sin|cosl，n|(其中n是平面的法向量)；(3)平面，夾角有cos|cosn1，n2|，則l二面角的平面角為或.(其中n1，n2分別是平面，的法向量)對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練6已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于_答案7用空間向量求A到平面的距離公式d.對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練7正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為_(kāi)答案易錯(cuò)盤(pán)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1三視圖認(rèn)識(shí)不清致誤【例1】已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是_錯(cuò)解錯(cuò)因分析沒(méi)有理解幾何體的三視圖的意義，不能正確從三視圖還原成幾何體，不清楚幾何體中的幾何關(guān)系正解如圖所示，作幾何體SABCD且知平面SCD平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，作SECD于點(diǎn)E，得SE平面ABCD且SE20.VSABCDS正方形ABCD·SE；這個(gè)幾何體的體積是.在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線為虛線在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進(jìn)行綜合考慮對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練1(1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于()A.B.C1D.(2)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體最長(zhǎng)棱長(zhǎng)的值為_(kāi)解析(1)由三視圖知該幾何體是直三棱柱截去一個(gè)三棱錐所剩的幾何體，底面是直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所求體積VV柱V錐×2××2，故選A.(2)依題意，幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD，其中CBD120°，BD2，點(diǎn)C到直線BD的距離為，BC2，CD2，AB2，AB平面BCD，因此ACAD2，該幾何體最長(zhǎng)棱長(zhǎng)的值為2.答案(1)A(2)2易錯(cuò)點(diǎn)2線面關(guān)系定理?xiàng)l件使用不當(dāng)致誤【例2】在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)(1)求證：EF平面ABC1D1；(2)求證：EFB1C.錯(cuò)解證明：(1)連接BD1，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)，EFD1B，EF平面ABC1D1.(2)ACBD，ACD1D，AC平面BDD1.EFAC.同理EFAB1.EF平面AB1C.EFB1C.錯(cuò)因分析推理論證不嚴(yán)謹(jǐn)，思路不清晰正解證明：(1)連接BD1，如圖所示，在DD1B中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)，則EFD1B.D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，EF平面ABC1D1.(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB面BCC1B1，B1CAB.又B1CBC1，AB，BC1平面ABC1D1，ABBC1B，B1C平面ABC1D1，BD1平面ABC1D1，B1CBD1.EFBD1，EFB1C.證明空間線面位置關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意推理嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)找足條件，書(shū)寫(xiě)規(guī)范等對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練2(1)下列命題中錯(cuò)誤的是()A如果平面平面，平面平面，l，那么lB如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，l，過(guò)內(nèi)任意一點(diǎn)作l的垂線m，則m(2)已知三條不同直線m，n，l與三個(gè)不同平面，有下列命題：若m，n，則mn；若，l，則l；，則；若m，n為異面直線，m，n，m，n，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析(1)如果平面平面，平面平面，l，那么l，A正確；如果平面平面，那么平面內(nèi)平行于交線的直線平行平面，B正確；如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面，C正確；若此點(diǎn)在直線l上，則不能推出m，D錯(cuò)誤，故選D.(2)因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬蓷l直線除了平行，還可能相交或成異面直線，所以命題錯(cuò)誤；由直線與平面平行的定義知命題正確；由于垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行還可能相交，因此命題錯(cuò)誤；過(guò)兩條異面直線分別作平面互相平行，這兩個(gè)平面是唯一存在的，因此命題正確故選C.答案(1)D(2)C易錯(cuò)點(diǎn)3空間角的范圍不清致誤【例3】如圖所示，四棱錐PABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且平面PDC底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)(1)求異面直線PA與DE所成的角的余弦值；(2)AP與平面ABCD所成角的正弦值錯(cuò)解如圖所示，取DC的中點(diǎn)O，連接PO，PDC為正三角形，PODC.又平面PDC平面ABCD，PO平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P，A，B，C，D.(1)E為PC的中點(diǎn)，E.，.·a×a×a2，|a，|a.cos，.異面直線PA與DE所成的角的余弦值為.(2)平面ABCD的法向量n，cos，n.AP與平面ABCD所成角的正弦值為.錯(cuò)因分析本題失分的根本原因是概念不清，混淆了空間角與向量所成角的概念正解(1)在求出cos，后，異面直線PA、DE所成角是銳角或直角，異面直線PA、DE所成角的余弦值是.(2)cos，n，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值為.(1)異面直線PA與DE所成的角為銳角或直角，余弦值一定非負(fù)(2)直線AP與平面ABCD所成的角不是與平面ABCD的法向量所成的角對(duì)點(diǎn)專(zhuān)練3如圖，已知四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ABAC，ABACPA2，E是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線AE與PC所成的角；(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值解(1)如圖所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)故E(1,1,0)，(1,1,0)，(0,2，2)，cos，即，60°，故異面直線AE與PC所成的角為60°.(2)在四邊形ABCD中，ABAC2，ABAC，ABCACB45°，ADBC，DACACB45°，又ADCD，ADCD，D(1,1,0)，又C(0,2,0)，(1，1,0)，(0,2，2)設(shè)n(x，y，z)是平面PCD的法向量，則n，n，即·n0，·n0，令x1得，y1，z1，即n(1,1,1)，|n|，又AB平面PAC，(2,0,0)是平面PAC的一個(gè)法向量，cos，n，即二面角DPCA的平面角的余弦值為.