（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 平面解析幾何 突破點(diǎn)11 直線與圓教學(xué)案

專題五平面解析幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點(diǎn)撥平面解析幾何是浙江新高考的重點(diǎn)內(nèi)容，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，兩小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系雙曲線的圖象和性質(zhì)(有時(shí)考查拋物線的圖象和性質(zhì))，一大題常考查以橢圓(或拋物線)為背景的圖象和性質(zhì)問題基于上述分析，本專題將從“直線與圓”“圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)”“圓錐曲線中的綜合問題”三條主線引領(lǐng)復(fù)習(xí)和提升突破點(diǎn)11直線與圓 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第41頁(yè))核心知識(shí)提煉提煉1 圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2y2r2.(2)圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以為圓心，為半徑的圓. 提煉2 求解直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長(zhǎng)定理，垂徑定理(2)兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線的距離公式d，弦長(zhǎng)公式|AB|2(弦心距d)提煉3求距離最值問題的本質(zhì)(1)圓外一點(diǎn)P到圓C上的點(diǎn)距離的最大值為|PC|r，最小值為|PC|r，其中r為圓的半徑(2)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是dr，最小距離是dr，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑(3)過圓內(nèi)一點(diǎn)，直徑是最長(zhǎng)的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦高考真題回訪回訪1兩條直線的位置關(guān)系1(2012·浙江高考)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件A若直線l1與l2平行，則a(a1)2×10，即a2或a1，所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件2(2011·浙江高考)若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實(shí)數(shù)m_.1直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，22m0，m1.回訪2圓的方程3(2016·浙江高考)已知aR方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_(2，4)5由二元二次方程表示圓的條件可得a2a2，解得a2或1.當(dāng)a2時(shí)，方程為4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)2<0，不表示圓；當(dāng)a1時(shí)，方程為x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，則圓心坐標(biāo)為(2，4)，半徑是5.4(2015·浙江高考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2y21，則|2xy4|6x3y|的最大值是_15x2y21，2xy4<0,6x3y>0，|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令z103x4y，如圖，設(shè)OA與直線3x4y0垂直，直線OA的方程為yx.聯(lián)立得A，當(dāng)z103x4y過點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，zmax103×4×15.5(2013·浙江高考)如圖11­1，點(diǎn)P(0，1)是橢圓C1：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.圖11­1(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程解(1)由題意得2分所以橢圓C的方程為y21.5分(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為ykx1.6分又圓C2：x2y24，故點(diǎn)O到直線l1的距離d，所以|AB|22.7分又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0，所以|PD|.8分設(shè)ABD的面積為S，則S|AB|·|PD|，11分所以S，當(dāng)且僅當(dāng)k±時(shí)取等號(hào)所以所求直線l1的方程為y±x1.15分回訪3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系6(2014·浙江高考)已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是()A2B4C6D8B由圓的方程x2y22x2ya0可得，圓心為(1,1)，半徑r.圓心到直線xy20的距離為d.由r2d22得2a24，所以a4.7(2013·浙江高考)直線y2x3被圓x2y26x8y0所截得的弦長(zhǎng)等于_4 圓的方程可化為(x3)2(y4)225，故圓心為(3,4)，半徑r5.又直線方程為2xy30，所以圓心到直線的距離為d，所以弦長(zhǎng)為2 2×24 .8(2015·浙江高考)如圖11­2，已知拋物線C1：yx2，圓C2：x2(y1)21，過點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過原點(diǎn)O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點(diǎn)圖11­2(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求PAB的面積解(1)由題意知直線PA的斜率存在，故可設(shè)直線PA的方程為yk(xt).2分由消去y，整理得x24kx4kt0，由于直線PA與拋物線相切，得kt.3分因此，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t，t2)設(shè)圓C2的圓心為D(0,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)由題意知：點(diǎn)B，O關(guān)于直線PD對(duì)稱，故5分解得因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.7分(2)由(1)知|AP|t·，直線PA的方程為txyt20.點(diǎn)B到直線PA的距離是d.11分設(shè)PAB的面積為S(t)，則S(t)|AP|·d.15分(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第43頁(yè))熱點(diǎn)題型1圓的方程題型分析：求圓的方程是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法.【例1】(1)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為12，則圓C的方程為_(2)已知M的圓心在第一象限，過原點(diǎn)O被x軸截得的弦長(zhǎng)為6，且與直線3xy0相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意，得解得所以圓C的方程為x22.(2)法一：設(shè)M的方程為(xa)2(yb)2r2(a0，b0，r0)，由題意知解得故M的方程為(x3)2(y1)210.法二：因?yàn)閳AM過原點(diǎn)，故可設(shè)方程為x2y2DxEy0，又被x軸截得的弦長(zhǎng)為6且圓心在第一象限，則232，故D6，與3xy0相切，則，即ED2，因此所求方程為x2y26x2y0.故M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)210.方法指津求圓的方程的兩種方法1幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)變式訓(xùn)練1(1)(2017·溫州市普通高中高考模擬考試)圓x2y22y30的圓心坐標(biāo)是_，半徑是_(2)拋物線y24x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)(0,1)2(2)(x1)2y24(1)化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2(y1)24，由此知該圓的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為2.(2)由題意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24.熱點(diǎn)題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法.【例2】(1)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)若|AB|2，則|CD|_.4由直線l：mxy3m0知其過定點(diǎn)(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|2×4.(2)(2017·金華十校聯(lián)考)如圖11­3，已知圓G：(x2)2y2r2是橢圓y21的內(nèi)接ABC的內(nèi)切圓，其中A為橢圓的左頂點(diǎn)求圓G的半徑r；過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：直線EF與圓G相切圖11­3解設(shè)B(2r，y0)，過圓心G作GDAB于D，BC交長(zhǎng)軸于H.由得，即y0，2分而B(2r，y0)在橢圓上，y1，3分由式得15r28r120，解得r或r(舍去).5分證明：設(shè)過點(diǎn)M(0,1)與圓(x2)2y2相切的直線方程為ykx1，則，即32k236k50，解得k1，k2.將代入y21得(16k21)x232kx0，則異于零的解為x.8分設(shè)F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，則x1，x2，12分則直線FE的斜率為kEF，于是直線FE的方程為y1.即yx，則圓心(2,0)到直線FE的距離d，故結(jié)論成立.15分方法指津1直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式，過圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)的距離，利用勾股定理計(jì)算2弦長(zhǎng)的求解方法(1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形，把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解變式訓(xùn)練2(1)(2017·金麗衢十二校高三第二次聯(lián)考)如圖11­4，圓M和圓N與直線l：ykx分別相切于A，B，與x軸相切，并且圓心連線與l交于點(diǎn)C，若|OM|ON|且2，則實(shí)數(shù)k的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334120】圖11­4A1B.C.D.D分別過點(diǎn)M，N作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).由題意，得MACNBC，由2，知|MA|2|NB|.又由x軸與直線ykx是兩個(gè)圓的公切線知MON90°，|MA|ME|，|NB|NF|，結(jié)合|OM|ON|，知|ME|2|NF|，OMENOF，所以|OF|ME|2|NF|，所以tanNOF，則tanBOFtan 2NOF，故選D.(2)已知點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N距離的倍求曲線E的方程；已知m0，設(shè)直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點(diǎn)C，D兩點(diǎn)均在x軸下方當(dāng)CD的斜率為1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)解設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意，2分整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求.4分由題知l1l2，且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1,0)，設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點(diǎn)為P，則直線EP：yx2，設(shè)直線CD：yxt，由解得點(diǎn)P.7分由圓的幾何性質(zhì)，|NP|CD|，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，2232，解得t0或t3，又C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，直線CD：yx.由解得或9分設(shè)C，D，由消去y得：(u21)x22(u22)xu210，(*)方程(*)的兩根之積為1，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA2，又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線l1：xmy10上，解得m1，11分直線l1：y(1)(x1)，所以A(2，1)，同理可得，B(2，1)，所以線段AB的長(zhǎng)為2.15分10