2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第6課時(shí) 橢圓（二）練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第6課時(shí) 橢圓（二）練習(xí) 理1已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M(1，1)，則E的方程為()A.1B.1C.1 D.1答案D解析kAB，kOM1，由kAB·kOM，得，a22b2.c3，a218，b29，橢圓E的方程為1.2(2018·南昌二模)已知橢圓：x21，過(guò)點(diǎn)P(，)的直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線(xiàn)AB的方程為()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50答案B解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B在橢圓x21上，所以?xún)墒较鄿p得x12x220，得(x1x2)(x1x2)0，又弦AB被點(diǎn)P(，)平分，所以x1x21，y1y21，將其代入上式得x1x20，得9，即直線(xiàn)AB的斜率為9，所以直線(xiàn)AB的方程為y9(x)，即9xy50.3橢圓1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x2y0的最大距離是()A3 B.C2 D.答案D解析設(shè)橢圓1上的點(diǎn)P(4cos，2sin)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x2y0的距離為d，dmax.4(2018·廣東梅州階段測(cè)評(píng))已知橢圓E：1的一個(gè)頂點(diǎn)C(0，2)，直線(xiàn)l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若E的左焦點(diǎn)F1為ABC的重心，則直線(xiàn)l的方程為()A6x5y140 B6x5y140C6x5y140 D6x5y140答案B解析由題意知F1(1，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則M(，1)由作差得0，將代入上式得.即k，由點(diǎn)斜式得，直線(xiàn)方程為y1(x)，即6x5y140.5(2018·廣西南寧、梧州摸底聯(lián)考)已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且與x軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，若SABC3SBCF2，則橢圓的離心率為()A. B.C. D.答案A解析設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，將xc代入橢圓方程得y±.設(shè)A(c，)，C(x，y)，由SABC3SBCF2，可得2，即有(2c，)2(xc，y)，即2c2x2c，2y，可得x2c，y，代入橢圓方程可得1.由e，b2a2c2，得4e2e21，解得e，故選A.6已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)與C相交于A，B兩點(diǎn)若向量3，則k()A1 B.C. D2答案B解析設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)因?yàn)?，故y13y2.因?yàn)閑，設(shè)a2t，ct，bt，故x24y24t20，直線(xiàn)AB的方程為xsyt.代入消去x，所以(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，2y2，3y22，解得s2，又k，則k.故選B.7已知直線(xiàn)l：yk(x2)與橢圓x29y29交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則k_答案±解析橢圓x29y29即橢圓y21，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0)因?yàn)橹本€(xiàn)yk(x2)，所以直線(xiàn)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F(2，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線(xiàn)yk(x2)代入橢圓x29y29，可得(19k2)x236k2x72k290，所以x1x2，x1x2，所以|AB|·，因?yàn)閨AB|2，所以2，所以k±.8直線(xiàn)m與橢圓y21交于P1，P2兩點(diǎn)，線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線(xiàn)m的斜率為k1(k10)，直線(xiàn)OP的斜率為k2，則k1k2的值為_(kāi)答案解析由點(diǎn)差法可求出k1·，k1·，即k1k2.9(2018·河北唐山期末)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為_(kāi)答案1解析由F2AB是面積為4的等邊三角形知AB垂直x軸，得×2c，×2c×4，a2b2c2，解得a29，b26，c23.所以的橢圓方程為1.10橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線(xiàn)y(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿(mǎn)足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_答案1解析由直線(xiàn)y(xc)知其傾斜角為60°，由題意知MF1F260°，則MF2F130°，F(xiàn)1MF290°.故|MF1|c，|MF2|c.又|MF1|MF2|2a，(1)c2a.即e1.11已知橢圓1(0<m<9)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|BF2|的最大值為10，則m的值為_(kāi)答案3解析已知在橢圓1(0<m<9)中，a29，b2m.|AF2|BF2|4×3|AB|10，|AB|2，|AB|min2，解得m3.12(2018·衡水中學(xué)調(diào)研卷)過(guò)橢圓y21的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi)答案(，0)解析設(shè)直線(xiàn)AB的方程為yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220，(4k2)24(12k2)×(2k22)k21>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，則x1x2，y1y2，AB的垂直平分線(xiàn)NG的方程為yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0.k0，<xG<0，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為(，0)13(2018·江蘇泰州中學(xué)月考)已知直線(xiàn)yx1與橢圓1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若橢圓的離心率e，則a的最大值為_(kāi)答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(a2b2)x22a2xa2a2b20，4a44(a2b2)(a2a2b2)>0，可得a2b2>1且OAOB，·x1x2y1y20，即2x1x2(x1x2)10，10，整理得a2b22a2b2，a2a2c22a2(a2c2)，2a2a2e22a2(a2a2e2)，2a21，e，2a2，5，即amax.14已知橢圓C：1，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P(1，)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)PA，PB，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的斜率答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，同時(shí)設(shè)PA的方程為yk(x1)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(k22)x22k(k)xk22k20，顯然1和x1是這個(gè)方程的兩解因此x1，y1，由k代替x1，y1中的k，得x2，y2，所以.15設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求|AB|；(2)若直線(xiàn)l的斜率為1，求實(shí)數(shù)b的值答案(1)(2)解析(1)由橢圓定義知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組化簡(jiǎn)，得(1b2)x22cx12b20.則x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率為1，所以|AB|x2x1|.即|x2x1|.則(x1x2)24x1x2，解得b.16(2018·廣東六校聯(lián)盟二聯(lián))已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，直線(xiàn)ykx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)(1)若AF1F2的周長(zhǎng)為46，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|k|>，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍答案(1)1(2)<e<解析(1)由題意得解得a2.結(jié)合a2b2c2，解得a212，b23.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由消去y，得(b2a2k2)x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，易知，AF2BF2.因?yàn)?x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290，即90，將其整理為k21.因?yàn)閨k|>，所以12<a2<18，即2<a<3.所以離心率<e<.17(2018·杭州市二中模擬)已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(1，0)和F2(1，0)，離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l：yxm(m0)與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)T，當(dāng)m變化時(shí)，求TAB面積的最大值答案(1)y21(2)解析(1)根據(jù)題意得解得所以橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立化簡(jiǎn)得3x24mx2m220.直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，(4m)212(2m22)>0，即<m<且m0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.設(shè)AB的中點(diǎn)為C，xC，yCxCm.線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為y(x)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(，0)T到直線(xiàn)AB的距離d|m|，由弦長(zhǎng)公式得|AB|.STAB×|m|×，當(dāng)m2，即m±(，)時(shí)等號(hào)成立STABmax.1由橢圓b2x2a2y2a2b2(a>b>0)的頂點(diǎn)B(0，b)引一條弦BP，當(dāng)ab時(shí)，|BP|的最大值為()A. B.C. D.答案B解析設(shè)P(x，y)，因?yàn)閤2a2y2(b<yb)，所以|BP|，因?yàn)閍b，所以當(dāng)y時(shí)，|BP|取得最大值，且|BP|max.2(2018·廣西來(lái)賓高中模擬)已知橢圓C：1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在橢圓C上，且直線(xiàn)PA2的斜率的取值范圍是2，1，那么直線(xiàn)PA1的斜率的取值范圍是()A， B，C，1 D，2答案A解析由題易知A1(2，0)，A2(2，0)，設(shè)P(x，y)，直線(xiàn)PA1，PA2的斜率分別為k1，k2，則k1k2·，所以k1×.因?yàn)閗22，1，所以k1，故選A.3已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為1(a>b>0)，則橢圓在其上一點(diǎn)A(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為1.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題，橢圓C1：1(a>b>0)，其焦距為2，且過(guò)點(diǎn)(1，)，點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)B作C1的切線(xiàn)l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，則OCD面積的最小值為()A. B.C. D2答案B解析由題意可得2c2，即c1，a2b21，將點(diǎn)(1，)代入橢圓方程，可得1，解得a，b1，即橢圓的方程為y21，設(shè)B(x2，y2)，則橢圓C1在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為xy2y1，令x0，得yD，令y0，可得xC，所以SOCD··，又點(diǎn)B為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，所以x2>0，y2>0，y221，即有2，即SOCD，當(dāng)且僅當(dāng)y22，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)時(shí)，OCD面積取得最小值，故選B.4已知橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)A(2，0)，離心率為，直線(xiàn)yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值答案(1)1(2)k±1解析(1)a2，e，c，b.橢圓C：1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由消y，得(12k2)x24k2x2k240.直線(xiàn)yk(x1)恒過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)(1，0)，>0恒成立由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.SAMN×1×|y1y2|×|kx1kx2|.即7k42k250，解得k±1.5(2018·河北保定期末)已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(1，0)，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(0，3)的直線(xiàn)m與C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)m的方程答案(1)1(2)yx3或yx3解析(1)橢圓C：1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)為(1，0)，則c1，由橢圓的離心率e，得b2a2c23，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)若直線(xiàn)m的斜率不存在，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，)，顯然不滿(mǎn)足條件，故此時(shí)方程不存在若直線(xiàn)m的斜率存在，設(shè)其方程為ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A是PB的中點(diǎn)，x1，y1，1，1，聯(lián)立，解得或即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)或(2，0)，直線(xiàn)m的斜率為或，則直線(xiàn)m的方程為yx3或yx3.6已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是F1(0，1)，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)F1作直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，求SABF2的取值范圍答案(1)1(2)(0，解析(1)由條件可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，則有c1，e，b，所求橢圓的方程是1.(2)由條件設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y1kx.將ykx1代入橢圓方程，得(2k23)x24kx40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，16k216(2k23)48(k21)>0，x1x2，x1x2.SABF2|F1F2|x1x2|x1x2|.(x1x2)2(x1x2)24x1x2.令tk21，則t1，設(shè)g(t)4t4.g(t)4，當(dāng)t1時(shí)，g(t)0，g(t)在1，)上單調(diào)遞增，g(t)g(1)9，0<，0<SABF2.7(2018·山東濟(jì)寧期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率是，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的任一直線(xiàn)交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且|NF2|MF2|4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)l：ykxm與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且與圓x2y21相切()求證：m2k21；()求·的最小值答案(1)1(2)()略()解析(1)設(shè)M(x，y)是橢圓上任一點(diǎn)，則N(x，y)，|NF2|MF2|4，4，即4，M(x，y)到點(diǎn)(c，0)，(c，0)的距離和為4，2a4，a2.又橢圓C的離心率是，c1，b，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)()證明：直線(xiàn)l：ykxm與圓x2y21相切，圓心(0，0)到直線(xiàn)l的距離等于半徑1，即1m2k21.()設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28kmx4m2120，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.·x1x2y1y2.m2k21，·x1x2y1y2()當(dāng)k20時(shí)，·有最小值.