2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專(zhuān)題研究1 曲線與方程練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專(zhuān)題研究1 曲線與方程練習(xí) 理1已知點(diǎn)A(1，0)，B(2，4)，ABC的面積為10，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240答案B解析可知AB的方程為4x3y40，又|AB|5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C(x，y)由題意可知×5×10，所以4x3y160或4x3y240.故選B.2方程lg(x2y21)0所表示的曲線圖形是()答案D3動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)雙曲線x21的左焦點(diǎn)且與直線x2相切，則圓心M的軌跡方程是()Ay28xBy28xCy24x Dy24x答案B解析雙曲線x21的左焦點(diǎn)F(2，0)，動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)F且與直線x2相切，則圓心M經(jīng)過(guò)F且與直線x2相切，則圓心M到點(diǎn)F的距離和到直線x2的距離相等，由拋物線的定義知軌跡是拋物線，其方程為y28x.4(2017·皖南八校聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|1，則P點(diǎn)的軌跡方程為()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案D解析(直譯法)如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0)連接MA，PM.則MAPA，且|MA|1，又因?yàn)閨PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.5(2017·吉林市畢業(yè)檢測(cè))設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都外切，則圓P的圓心軌跡可能是()A BC D答案A解析當(dāng)兩定圓相離時(shí)，圓P的圓心軌跡為；當(dāng)兩定圓外切時(shí)，圓P的圓心軌跡為；當(dāng)兩定圓相交時(shí)，圓P的圓心軌跡為；當(dāng)兩定圓內(nèi)切時(shí)，圓P的圓心軌跡為.6已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A，B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是()Ay21(y1) By21Cy21 Dx21答案A解析由題意，得|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2.故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線下支雙曲線中c7，a1，b248，軌跡方程為y21(y1)7ABC的頂點(diǎn)為A(5，0)、B(5，0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A.1 B.1C.1(x>3) D.1(x>4)答案C解析設(shè)ABC的內(nèi)切圓與x軸相切于D點(diǎn)，則D(3，0)由于AC、BC都為圓的切線故有|CA|CB|AD|BD|826.由雙曲線定義知所求軌跡方程為1(x>3)故選C.8(2017·寧波十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)平面中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(1，0)，平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足下列條件：0，|，.則ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A.y21(y0) B.y21(y0)Cx21(y0) Dx21(y0)答案C解析根據(jù)題意，G為ABC的重心，設(shè)C(x，y)，則G(，)，而M為ABC的外心，M在AB的中垂線上，即y軸上，由，得M(0，)，根據(jù)|，得1()2x2(y)2，即x21，又C點(diǎn)不在x軸上，y0，故選C.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓x2y2r2(r>0)內(nèi)切于正方形ABCD，任取圓上一點(diǎn)P，若ab(a，bR)，若M(a，b)，則動(dòng)點(diǎn)M所形成的軌跡曲線的長(zhǎng)度為()A B.C. D2答案B解析設(shè)P(x，y)，則x2y2r2，A(r，r)，B(r，r)由ab，得代入x2y2r2，得(ab)2(ab)21，即a2b2，故動(dòng)點(diǎn)M所形成的軌跡曲線的長(zhǎng)度為.10已知拋物線y2nx(n<0)與雙曲線1有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)(m，n)的軌跡方程是_答案n216(m8)(n<0)解析拋物線的焦點(diǎn)為(，0)，在雙曲線中，8mc2()2，n<0，即n216(m8)(n<0)11長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C(x，y)滿足：2，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)答案x2y21解析設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則a2b29.又C(x，y)，則由2，得(xa，y)2(x，by)即即代入a2b29，并整理，得x2y21.12若過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線與其交于M，N兩點(diǎn)，作平行四邊形MONP，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)答案y24(x2)解析設(shè)直線方程為yk(x1)，點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由，得(x1，y1)(xx2，yy2)得x1x2x，y1y2y.由聯(lián)立得xx1x2.yy1y2，消去參數(shù)k，得y24(x2)13.如圖所示，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(2，0)，直角頂點(diǎn)B(0，2)，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)(1)求BC邊所在直線方程；(2)M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；(3)若動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程答案(1)yx2(2)(x1)2y29 (3)x2y21解析(1)kAB，ABBC，kCB.BC：yx2.(2)在上式中，令y0，得C(4，0)圓心M(1，0)又|AM|3，外接圓的方程為(x1)2y29.(3)P(1，0)，M(1，0)，圓N過(guò)點(diǎn)P(1，0)，PN是該圓的半徑又動(dòng)圓N與圓M內(nèi)切，|MN|3|PN|，即|MN|PN|3.點(diǎn)N的軌跡是以M，P為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓a，c1，b.軌跡方程為x2y21.14已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)連線的斜率之積等于常數(shù)(0)(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)討論軌跡C的形狀答案(1)x21(0，x±1)(2)略解析(1)由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN·.整理，得x21(0，x±1)(2)當(dāng)>0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn))；當(dāng)1<<0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn))；當(dāng)1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓除去點(diǎn)(1，0)，(1，0)；當(dāng)<1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn))15已知點(diǎn)A(4，4)，B(4，4)，直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的軌跡方程；(2)Q為直線y1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D，E，求QDE的面積S的最小值答案(1)x24y(x±4)(2)4解析(1)設(shè)M(x，y)，則kAM，kBM.直線AM的斜率與直線BM的斜率的差為2，2，x24y(x±4)(2)設(shè)Q(m，1)切線斜率存在且不為0，故可設(shè)一條切線的斜率為k，則切線方程為y1k(xm)聯(lián)立得方程組得x24kx4(km1)0.由相切得0，將k2km10代入，得x24kx4k20，即x2k，從而得到切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k，k2)在關(guān)于k的方程k2km10中，>0，方程k2km10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別為k1，k2，則故QDQE，S|QD|QE|.記切點(diǎn)(2k，k2)到Q(m，1)的距離為d，則d2(2km)2(k21)24(k2km)m2k2m24km4，故|QD|，|QE|，S(4m2)(4m2)4，即當(dāng)m0，也就是Q(0，1)時(shí)面積的最小值為4.16已知橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為45°的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓E的方程；(2)若動(dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(1，0)作l的垂線，垂足為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程答案(1)y21(2)x2y22解析(1)因?yàn)闄E圓E的離心率為，所以.解得a22b2，故橢圓E的方程可設(shè)為1，則橢圓E的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(b，0)，過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為45°的直線方程為l：yxb.設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)為A，B，由消去y，得3x24bx0，解得x10，x2.因?yàn)閨AB|x1x2|，解得b1.a22，橢圓E的方程為y21.(2)當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l的方程為ykxm，聯(lián)立直線l和橢圓E的方程，得消去y并整理，得(2k21)x24kmx2m220.因?yàn)橹本€l和橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以16k2m24(2k21)(2m22)0.化簡(jiǎn)并整理，得m22k21.因?yàn)橹本€MQ與l垂直，所以直線MQ的方程為y(x1)聯(lián)立得方程組解得x2y2，把m22k21代入上式得x2y22.(*)當(dāng)切線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)Q(1，1)或(1，1)，符合(*)式當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)Q(，0)或(，0)，符合(*)式綜上所述，點(diǎn)Q的軌跡方程為x2y22.1(2018·河南洛陽(yáng)二模)已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)E(2，0)，且在y軸上截得的弦PQ的長(zhǎng)為4.則動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程是_答案y24x解析設(shè)M(x，y)，PQ的中點(diǎn)為N，連MN，則|PN|2，MNPQ，|MN|2|PN|2|PM|2.又|PM|EM|，|MN|2|PN|2|EM|2，x24(x2)2y2，整理得y24x.動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為y24x.2已知直線l與平面平行，P是直線l上一定點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)B滿足PB與直線l成30°角，那么B點(diǎn)軌跡是()A兩條直線 B橢圓C雙曲線 D拋物線答案C解析P是直線l上的定點(diǎn)，平面與直線l平行，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)B滿足PB與直線l成30°角，因?yàn)榭臻g中過(guò)P與l成30°角的直線構(gòu)成兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的圓錐，即為平行于圓錐軸的平面，點(diǎn)B的軌跡可理解為與圓錐側(cè)面的交線，所以點(diǎn)B的軌跡為雙曲線，故選C.3(2018·安徽安慶二模)已知拋物線x22py(p>0)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線OA于點(diǎn)C，如圖所示求點(diǎn)C的軌跡M的方程答案y解析依題意可得，直線l的斜率存在，故設(shè)其方程為ykx，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，由x22pkxp20x1·x2p2.易知直線OA：yxx，直線BC：xx2，由得y，即點(diǎn)C的軌跡M的方程為y.4(2014·課標(biāo)全國(guó)，文)已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2y28y0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積答案(1)(x1)2(y3)22(2)x3y80，SPOM解析(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x，2y)由題設(shè)知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，為半徑的圓由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上又P在圓N上，從而ONPM.因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為.故l的方程為yx，即x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距離為，|PM|，所以POM的面積為.