（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 1 第1講 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案

第五章 平面向量、復(fù)數(shù)知識點(diǎn)最新考綱平面向量的幾何意義及基本概念理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念.向量的線性運(yùn)算掌握平面向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 理解平面向量的基本定理及其意義，會用平面向量基本定理解決簡單問題 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用 理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握數(shù)量積與兩個向量的夾角之間的關(guān)系 會用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.復(fù)數(shù) 了解復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)相等的概念 了解復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算的幾何意義 理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算aba(b)續(xù)表向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算| a|a|，當(dāng)>0時，a與a的方向相同；當(dāng)<0時，a與 a的方向相反；當(dāng)0時， a0( a)()a；()aa_a；(ab)ab3.兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)，使得ba說明三點(diǎn)共線的等價關(guān)系A(chǔ)，P，B三點(diǎn)共線(0)(1t)·t(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，tR)xy(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，xR，yR，xy1)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段表示向量()(2).()(3)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反()(4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上()(5)若ab，bc，則ac.()(6)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()答案：(1)×(2)(3)×(4)×(5)×(6)教材衍化(必修4P108B組T5改編)在平行四邊形ABCD中，若|，則四邊形ABCD的形狀為_解析：如圖，因為，所以|.由對角線相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形答案：矩形易錯糾偏(1)對向量共線定理認(rèn)識不準(zhǔn)確；(2)向量線性運(yùn)算不熟致錯；(3)向量三角不等式認(rèn)識不清致錯1對于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A.若ab0，則ab，所以ab.若ab，則ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件2設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則1_，2_解析：()，所以1，2.答案：3已知向量a，b，若|a|2，|b|4，則|ab|的取值范圍為_解析：當(dāng)a與b方向相同時，|ab|2，當(dāng)a與b方向相反時，|ab|6，當(dāng)a與b不共線時，2<|ab|<6，所以|ab|的取值范圍為2，6此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種情況答案：2，6平面向量的有關(guān)概念 給出下列命題：若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；若|a|b|，則ab或ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且，則ABCD為平行四邊形；ab的充要條件是|a|b|且ab；其中真命題的序號是_【解析】是錯誤的，兩個向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)是錯誤的，|a|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反是正確的，因為，所以|且；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形是錯誤的，當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，所以“|a|b|且ab”不是“ab”的充要條件，而是必要不充分條件【答案】平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆(4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量 給出下列命題：兩個具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。蝗鬭0(為實(shí)數(shù))，則必為零；已知，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中正確命題的個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選A.錯誤兩向量共線要看其方向而不是看起點(diǎn)與終點(diǎn)正確因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯誤當(dāng)a0時，無論為何值，a0.錯誤當(dāng)0時，ab，此時，a與b可以是任意向量平面向量的線性運(yùn)算(高頻考點(diǎn))平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算，是高考考查向量的熱點(diǎn)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)用已知向量表示未知向量；(2)求參數(shù)的值角度一用已知向量表示未知向量 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么等于()A.B.C.D.【解析】在CEF中，有.因為點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以.因為點(diǎn)F為BC的一個靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以.所以，故選D.【答案】D角度二求參數(shù)的值 如圖，在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AHBC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)若，則_【解析】因為AB2，ABC60°，AHBC，所以BH1.因為點(diǎn)M為AH的中點(diǎn)，所以()，又，所以，所以.【答案】向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解 1(2020·嘉興質(zhì)檢)已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)M1，M2，M3，Mn1和N1，N2，N3，Nn1分別將線段BC和DC進(jìn)行n等分(nN*，n2)，如圖，若AMn1ANn145，則n()A29 B30C31 D32解析：選C.由題圖知，因為，AMn1，ANn1.，.所以AMn1ANn1·()，所以45，解得n31.故選C.2(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的邊長為1.當(dāng)每個i(i1，2，3，4，5，6)取遍±1時，|123456|的最小值是_，最大值是_解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以123456(1356，2456)，所以當(dāng)時，可取131，561，21，41，此時|123456|取得最小值0；取11，31，561，21，41，則|123456|取得最大值2.答案：02平面向量共線定理的應(yīng)用 設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線【解】(1)證明：因為ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共線，又它們有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線(2)因為kab與akb共線，所以存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，所以kk10.所以k210.所以k±1. 1設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，則向量a2e1e2與向量be1e2(R)共線的充要條件是()A0 B1C2 D解析：選D.因為a2e1e2，be1e2，e1，e2不共線，因為a，b共線babe1e2.2.如圖，在ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)a，b.(1)試用a，b表示，；(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)ABC中，a，b，所以ba，a(ba)ab，ab.(2)證明：ab，aab，所以，所以與共線，且有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線核心素養(yǎng)系列10數(shù)學(xué)運(yùn)算共線定理的推廣與應(yīng)用共線定理已知，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，設(shè)xy，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為xy1.推廣形式如圖所示，直線DEAB，C為直線DE上任一點(diǎn)，設(shè)xy(x，yR)當(dāng)直線DE不過點(diǎn)P時，直線PC與直線AB的交點(diǎn)記為F，因為點(diǎn)F在直線AB上，所以由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若(，R)，則1.由PAB與PED相似，知必存在一個常數(shù)mR，使得m ，則mmm.又xy(x，yR)，所以xymmm.以上過程可逆因此得到結(jié)論：xy，則xym(定值)，反之亦成立(應(yīng)用實(shí)例) 如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動點(diǎn)，設(shè)(，R)，則的取值范圍是_【解析】當(dāng)P在CDE內(nèi)時，直線EC是最近的平行線，過D點(diǎn)的平行線是最遠(yuǎn)的，所以3，4【答案】3，4 如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外一點(diǎn)D，若mn，則mn的取值范圍是_【解析】由點(diǎn)D是圓O外的一點(diǎn)，可設(shè)(1)，則(1).因為C，O，D三點(diǎn)共線，令(1)，所以·(1，1)因為mn，所以m，n，則mn(1，0)【答案】(1，0) 如圖，在扇形OAB中，AOB，C為弧AB上的動點(diǎn)，若xy，則x3y的取值范圍是_【解析】x3y，如圖，作，則考慮以向量，為基底顯然，當(dāng)C在A點(diǎn)時，經(jīng)過m1的平行線，當(dāng)C在B點(diǎn)時，經(jīng)過m3的平行線，這兩條線分別是最近與最遠(yuǎn)的平行線，所以x3y的取值范圍是1，3【答案】1，3基礎(chǔ)題組練1下列各式中不能化簡為的是()A.() B()()C. D.解析：選D.()；()()()()；，顯然由得不出，所以不能化簡為的式子是D.2設(shè)a是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()Aa與a的方向相反 Ba與2a的方向相同C|a|a| D|a|a解析：選B.對于A，當(dāng)>0時，a與a的方向相同，當(dāng)<0時，a與a的方向相反；B正確；對于C，|a|a|，由于|的大小不確定，故|a|與|a|的大小關(guān)系不確定；對于D，|a是向量，而|a|表示長度，兩者不能比較大小3(2020·浙江省新高考學(xué)科基礎(chǔ)測試)設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB外，|6，|，則|()A12 B6C3 D.解析：選C.因為|2|，|，所以2|6，所以|3，故選C.4已知a，b是任意的兩個向量，則下列關(guān)系式中不恒成立的是()A|a|b|ab|B|a·b|a|·|b|C(ab)2a22a·bb2D(ab)3a33a2·b3a·b2b3解析：選D.由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義，得|a|b|ab|，所以A正確；因為|a·b|a|b|cos a，b|，又|cos a，b|1，所以|a·b|a|b|恒成立，B正確；由向量數(shù)量積的運(yùn)算，得(ab)2a22a·bb2，C正確；根據(jù)排除法，故選D.5已知a，b是非零向量，命題p：ab，命題q：|ab|a|b|，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A.若ab，則|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq，若|ab|a|b|，由加法的運(yùn)算知a與b同向共線，即ab，且0，故q p.所以p是q的充分不必要條件，故選A.6(2020·溫州市普通高中?？?已知A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D，若(0，0)，則的取值范圍是()A(0，1) B(1，)C(1， D(0， )解析：選B.由題意可得kkk(0k1)，又A，D，B三點(diǎn)共線，所以kk1，則1，即的取值范圍是(1，)，選項B正確7已知ABCD的對角線AC和BD相交于O，且a，b，則_，_(用a，b表示)解析：如圖，ba，ab.答案：baab8(2020·溫州質(zhì)檢)如圖所示，在ABC中，BO為邊AC上的中線，2，設(shè)，若(R)，則的值為 _解析：因為2，所以，又，可設(shè)m，從而.因為，所以，1.答案：9若|8，|5，則|的取值范圍是_解析：，當(dāng)，同向時，|853；當(dāng)，反向時，|8513；當(dāng)，不共線時，3|13.綜上可知3|13.答案：3，1310(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且520，則PAC的面積與ABC的面積之比等于_解析：因為520，所以，延長AP交BC于D，則，從而可以得到D是BC邊的三等分點(diǎn)，且CDCB，設(shè)點(diǎn)B到邊AC的距離為d，則點(diǎn)P到邊AC的距離為×dd，所以PAC的面積與ABC的面積之比為.答案：11.在ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB2GE，設(shè)a，b，試用a，b表示，.解：()ab.()()ab.12經(jīng)過OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)m，n，m，nR，求的值解：設(shè)a，b，則(ab)，nbma，(ab)maab.由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)使得，即nbmaab，從而消去，得3.綜合題組練1設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且2，則PAB與PBC的面積的比值是()A. B.C. D.解析：選B.因為2，所以，又PAB在邊PA上的高與PBC在邊PC上的高相等，所以.2(2020·福建省普通高中質(zhì)量檢查)已知D，E是ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若xy，則xy的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D.由題意，知P，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使，所以()，所以(1)，則，所以xy1且x，于是xyx(1x)，所以當(dāng)x時，xy取得最大值；當(dāng)x或x時，xy取得最小值，所以xy的取值范圍為，故選D.3(2020·浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)如圖，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB的延長線，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若m，n，則mn_解析：作BGAC，則BGNC，.因為O是BC的中點(diǎn)，所以NOCGOB，所以|BG|NC|，又因為|AC|n|AN|，所以|NC|(n1)|AN|，所以n1.因為|AB|m|AM|，所以|BM|(1m)|AM|，所以1m，所以n11m，mn2.答案：24.(2020·溫州市四校高三調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足1，若xy，則xy的最小值為_解析：連接MN交AC于點(diǎn)G，由勾股定理，知MN2CM2CN2，所以1，即MNCM·CN，所以C到直線MN的距離為定值1，此時MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線因為xy(xy)·，所以由共線定理知，(xy)，所以xy，又因為|max514，所以xy的最小值為.答案：5如圖，EF是等腰梯形ABCD的中位線，M，N是EF上的兩個三等分點(diǎn)，若a，b，2.(1)用a，b表示；(2)證明A，M，C三點(diǎn)共線解：(1)abab，又E為AD中點(diǎn)，所以ab，因為EF是梯形的中位線，且2，所以()a，又M，N是EF的三等分點(diǎn)，所以a，所以abaab.(2)證明：由(1)知a，所以ab，又與有公共點(diǎn)M，所以A，M，C三點(diǎn)共線6已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且mn(m，nR)求證：A，P，B三點(diǎn)共線的充要條件是mn1.證明：充分性：若mn1，則m(1m)m()，所以m()，即m，所以與共線又因為與有公共點(diǎn)B，則A，P，B三點(diǎn)共線必要性：若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使，所以()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.因為O，A，B不共線，所以，不共線，所以所以mn1.所以A，P，B三點(diǎn)共線的充要條件是mn1.17