（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 3 第3講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學(xué)案

第3講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin_cos_±cos_sin_；cos()cos_cos_±sin_sin_；tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.三角函數(shù)公式的變形(1)tan ±tan tan(±)(1tan tan )；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.3三角函數(shù)公式關(guān)系疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意角()(2)兩角和與差的正切公式中的角，是任意角()(3)cos 80°cos 20°sin 80°sin 20°cos(80°20°)cos 60°.()(4)公式tan()可以變形為tan tan tan()(1tan tan )，且對(duì)任意角，都成立()(5)存在實(shí)數(shù)，使tan 22tan .()答案：(1)(2)×(3)×(4)×(5)教材衍化1(必修4P127練習(xí)T2改編)若cos .是第三象限的角，則sin_解析：因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以sin ，所以sin××.答案：2(必修4P131練習(xí)T5改編)sin 347°cos 148°sin 77°cos 58°_解析：sin 347°cos 148°sin 77°cos 58°sin(270°77°)cos(90°58°)sin 77°cos 58°(cos 77°)·(sin 58°)sin 77°cos 58°sin 58°cos 77°cos 58°sin 77°sin(58°77°)sin 135°.答案：3(必修4P146A組T4改編)tan 20°tan 40°tan 20°·tan 40°_解析：因?yàn)閠an 60°tan(20°40°)，所以tan 20°tan 40°tan 60°(1tan 20°tan 40°)tan 20°tan 40°，所以原式tan 20°tan40°tan 20°tan 40°.答案：易錯(cuò)糾偏(1)不會(huì)逆用公式，找不到思路；(2)不會(huì)合理配角出錯(cuò)；(3)忽視角的范圍用錯(cuò)公式1化簡(jiǎn)：_解析：原式.答案：2若tan 3，tan()2，則tan _解析：tan tan().答案：3已知，且sin，則tan 2_解析：法一：sin，得sin cos ，已知，平方得2sin cos ，可求得sin cos ，所以sin ，cos ，所以tan ，tan 2.法二：因?yàn)榍襰in，所以cos，所以tan，所以tan .故tan 2.答案：三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用 (1)已知，sin ，則tan()A B. C. D(2)(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知，且sin，則sin _，cos_【解析】(1)因?yàn)?，所以cos ，所以tan ，所以tan.(2)因?yàn)椋?<<，所以cos，所以sin sinsincoscossin××，coscossin.【答案】(1)C(2)利用三角函數(shù)公式應(yīng)注意的問題(1)使用公式求值，首先要注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和符號(hào)變化規(guī)律例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用(3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用 (2020·溫州七校聯(lián)考)設(shè)為銳角，若cos，則sin的值為()A. B.C D解析：選B.因?yàn)闉殇J角，cos>0，所以為銳角，sin，所以sin2sincos，故選B.三角函數(shù)公式的活用(高頻考點(diǎn))三角函數(shù)公式的活用是高考的熱點(diǎn)，高考多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，研究三角函數(shù)的性質(zhì)和解三角形常應(yīng)用三角函數(shù)公式主要命題角度有：(1)兩角和與差公式的逆用及變形應(yīng)用；(2)二倍角公式的活用角度一兩角和與差公式的逆用及變形應(yīng)用 (1)已知sin cos ，則sin2()()A. B.C. D.(2)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，則cos C的值為()A B.C. D【解析】(1)由sin cos 兩邊平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2().(2)由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，則C，cos C.【答案】(1)B(2)B角度二二倍角公式的活用 _【解析】法一：原式tan 30°.法二：原式.法三：因?yàn)?又0，所以.【答案】三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用 1化簡(jiǎn)·sin 22cos2()Acos2 Bsin2Ccos 2 Dcos 2解析：選D.原式·sin cos 2cos2(sin2cos2)2cos212cos2cos 2.2若，則(1tan )(1tan )的值是_解析：1tantan()，所以tan tan 1tan tan .所以1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2.答案：2角的變換 (1)(2020·金華十校聯(lián)考)已知sin 2(2)，tan()，則tan()等于()A2 B1C D.(2)(2018·高考浙江卷)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P.求sin()的值；若角滿足sin()，求cos 的值【解】(1)選A.因?yàn)閟in 2，2，所以cos 2，tan 2，tan()tan2()2.(2)由角的終邊過點(diǎn)P得sin ，所以sin()sin .由角的終邊過點(diǎn)P得cos ，由sin()得cos()±.由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .角的變換技巧(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，一般把“所求角”表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”(3)常用拆分方法：2()()，()，等 1已知tan()1，tan，則tan 的值為()A. B.C. D.解析：選B.tantan.2若sin 2，sin()，且，則的值是()A. B.C.或 D.或解析：選A.因?yàn)?，所?，又sin 2，故2，所以cos 2.又，故，于是cos()，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()××，且，故.基礎(chǔ)題組練1計(jì)算sin 133°cos 197°cos 47°cos 73°的結(jié)果為()A. B.C. D.解析：選A.sin 133°cos 197°cos 47°cos 73°sin 47°(cos 17°)cos 47°sin 17°sin(47°17°)sin 30°.2已知sincos，則tan ()A1 B0C. D1解析：選A.因?yàn)閟incos，所以cos sin cos sin ，所以sin cos ，所以sin cos ，所以tan 1.3若，tan，則sin 等于()A. B.C D解析：選A.因?yàn)閠an，所以tan ，所以cos sin .又因?yàn)閟in2cos21，所以sin2.又因?yàn)椋詓in .4(2020·寧波效實(shí)中學(xué)高三質(zhì)檢)sin 2，0<<，則cos的值為()A B.C D.解析：選D.cossin cos ，又因?yàn)?sin cos )212sin cos 1sin 2，0<<，所以sin cos ，故選D.5已知sin ，tan()，則tan()的值為()A B.C. D解析：選A.因?yàn)閟in ，所以cos ，所以tan .因?yàn)閠an()tan ，所以tan ，則tan().6(2020·溫州市十校聯(lián)合體期初)若，且3cos 2sin，則sin 2的值為()A. BC. D解析：選D.3cos 2sin，可得3cos 2(cos sin )，3(cos2sin2)(cos sin )，因?yàn)?，所以cos sin 0，上式化為sin cos ，兩邊平方可得1sin 2.所以sin 2.7(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)設(shè)sin，則sin 2_解析：因?yàn)閟in，即sin cos ，平方可得sin 2，解得sin 2.答案：8已知sin(45°)，0°90°，則cos _解析：因?yàn)?°90°，所以45°45°45°，所以cos(45°)，所以cos cos(45°)45°cos(45°)cos 45°sin(45°)sin 45°.答案：9若sin sin 1，cos cos ，則cos()_解析：由sin sin 1，得(sin sin )2，即sin2sin22sin sin ，由cos cos ，得cos2cos22cos cos ，得，2sin sin 2cos cos ，即cos().答案：10(2020·寧波諾丁漢大學(xué)附中高三期中檢測(cè))若sin(x)cos(x)，則sin 2x_，_解析：sin(x)cos(x)sin xcos x，即sin xcos x，兩邊平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即1sin 2x，則sin 2x，由，答案：11已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值解：(1)tan3.(2)1.12已知coscos，.(1)求sin 2的值；(2)求tan 的值解：(1)coscoscossinsin，即sin.因?yàn)椋?，所以cos，所以sin 2sinsincos cossin .(2)因?yàn)?，所?，又由(1)知sin 2，所以cos 2.所以tan 2×2.綜合題組練1(2020·浙江五校聯(lián)考)已知3tan tan21，sin 3sin(2)，則tan()()A. BC D3解析：選B.因?yàn)閟in 3sin(2)，所以sin()3sin()，所以sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，所以2sin()cos 4cos()sin ，所以tan()2tan ，又因?yàn)?tantan21，所以3tan1tan2，所以tan ，所以tan()2tan .2(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)對(duì)于集合a1，a2，an和常數(shù)a0，定義：為集合a1，a2，an相對(duì)a0的“正弦方差”，則集合相對(duì)a0的“正弦方差”為()A. B.C. D與a0有關(guān)的一個(gè)值解析：選A.集合相對(duì)a0的“正弦方差”.3若，cos2cos 2，則sin 2_解析：由已知得(cos sin )2(cos sin )·(cos sin )，所以cos sin 0或cos sin .由cos sin 0得tan 1，因?yàn)椋詔an 0，所以cos sin 0不滿足條件；由cos sin 兩邊平方得1sin 2，所以sin 2.答案：4(2020·杭州模擬)已知角，的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，、(0，)，角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則sin _，cos _解析：依題設(shè)及三角函數(shù)的定義得cos ，sin().又因?yàn)?<<，所以<<，<<，sin ，cos().所以cos cos()cos()cos sin()sin ××.答案：5已知sin cos ，sin，.(1)求sin 2和tan 2的值；(2)求cos(2)的值解：(1)由題意得(sin cos )2，即1sin 2，所以sin 2.又2，所以cos 2，所以tan 2.(2)因?yàn)椋瑂in，所以cos，于是sin 22sincos.又sin 2cos 2，所以cos 2，又2，所以sin 2，又cos2，所以cos ，sin .所以cos(2)cos cos 2sin sin 2××.6已知函數(shù)f(x)(a2cos2x)cos(2x)為奇函數(shù)，且f0，其中aR，(0，)(1)求a，的值；(2)若f，求sin的值解：(1)因?yàn)閥a2cos2x是偶函數(shù)，所以g(x)cos(2x)為奇函數(shù)，而(0，)，故，所以f(x)(a2cos2x)sin 2x，代入得a1.所以a1，.(2)f(x)(12cos2x)sin 2xcos 2xsin 2xsin 4x，因?yàn)閒，所以fsin ，故sin ，又，所以cos ，sin××.18