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1、2022高考數(shù)學(xué) 狠抓基礎(chǔ)題 專題02 復(fù)數(shù) 理
1.?dāng)?shù)系的擴(kuò)充
數(shù)系的擴(kuò)充:自然數(shù)集,整數(shù)集,有理數(shù)集,實(shí)數(shù)集,復(fù)數(shù)集,其從屬關(guān)系用集合來表示為.
2.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的表示:,:復(fù)數(shù)的實(shí)部;:復(fù)數(shù)的虛部;:虛數(shù)單位,規(guī)定:.
(2)復(fù)數(shù)的分類:若,則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù);若,則復(fù)數(shù)為虛數(shù);若,則復(fù)數(shù)為純虛數(shù).
(3)復(fù)數(shù)相等:若,則.
(4)共軛復(fù)數(shù):若與互為共軛復(fù)數(shù),則.記作.
(5)復(fù)數(shù)的模:若,則復(fù)數(shù)的模為.
(6)復(fù)數(shù)的幾何意義:與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng);與向量一一對(duì)應(yīng).
3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算
(1)設(shè),,則
,
,
,
.
(2)復(fù)數(shù)代數(shù)形
2、式的四則運(yùn)算滿足分配律、結(jié)合律等.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算一般是將分母實(shí)數(shù)化,即分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算加以化簡(jiǎn).
(3)幾個(gè)常見的復(fù)數(shù)運(yùn)算的技巧:
;
;
;
;
若,則.
(4)注意復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用.
一、考查復(fù)數(shù)的概念
【例1】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)(為虛數(shù)單位),其中,則的實(shí)部為
A. B.
C. D.
【答案】C
【例2】設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】, 則的共軛復(fù)數(shù)為1+i,故選D.
3、
【名師點(diǎn)睛】(1)解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí),需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意求解.
(2)判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù),僅注重虛部等于0是不夠的,還需考慮它的實(shí)部是否有意義.
二、復(fù)數(shù)的幾何意義
【例3】設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的實(shí)部比虛部大1,且滿足,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限
C.第一或第三象限 D.第二或第四象限
【答案】C
【名師點(diǎn)睛】|z|的幾何意義:令z=x+yi(x,y∈R),則|z|=,由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義;|z1?z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)
4、數(shù)z1,z2的兩點(diǎn)之間的距離.
【例4】在復(fù)平面內(nèi),若所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意知所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則,解得3<m<4.故選C.
三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
【例5】是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由復(fù)數(shù),可得.故選C.
【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算是每年高考考查的一個(gè)重要考向,常利用復(fù)數(shù)的加減乘運(yùn)算求復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的相等或除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)等,題型為選擇題或填空題,難度較小,屬容易題.
【例6】設(shè)是虛數(shù)單位,表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)
5、.若,則
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?,所?所以 .故選C.
【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算,要注意運(yùn)算順序,要先算乘除,后算加減,有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.
1.復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】故選A.
2.設(shè)是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
【答案】A
【解析】因?yàn)?,所以所?duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第四象限,選A.
3.已知復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的虛部為
A
6、. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依題意得,,故,
則,故復(fù)數(shù)的虛部為,故選C.
4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,則
A. B.
C. D.
【答案】B
5.已知復(fù)數(shù),則的充要條件為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依題意,得,若,則,解得,故選C.
6.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,且=2,則
A.0 B.
C.2 D.
【答案】A
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以互為共軛復(fù)數(shù),所以
,故選A.
7.已知為虛數(shù)單位,現(xiàn)有下面四個(gè)命題
7、:
p1:復(fù)數(shù)與()在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱;
p2:若復(fù)數(shù)滿足,則z為純虛數(shù);
p3:若復(fù)數(shù)z1,z2滿意,則;
p4:若復(fù)數(shù)z滿足,則.
其中的真命題為
A.p1,p4 B.p2,p4
C.p1,p3 D.p2,p3
【答案】B
8.已知,復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則__________.
【答案】
【解析】∵是純虛數(shù),∴,解得m=﹣1.
9.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),且為虛數(shù)單位),則_____________.
【答案】
【解析】設(shè)(且),則,所以.
所以.
1.(2018新課標(biāo)全國Ⅲ理科)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析
8、】,故選D.
2.(2018新課標(biāo)全國Ⅱ理科)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.選D.
3.(2018新課標(biāo)全國Ⅰ理科)設(shè),則
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?,故選C.
4.(2017新課標(biāo)全國Ⅰ理科)設(shè)有下面四個(gè)命題
:若復(fù)數(shù)滿足,則;
:若復(fù)數(shù)滿足,則;
:若復(fù)數(shù)滿足,則;
:若復(fù)數(shù),則.
其中的真命題為
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令,則由得,所以,故正確;
當(dāng)時(shí),因?yàn)?,而知,故不正確;
當(dāng)時(shí),滿足,但,故不正確;
對(duì)于,因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身,也屬于實(shí)數(shù),故正確,故選B.
5.(2017新課標(biāo)全國Ⅱ理科)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則有:,故選D.
6.(2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則∣z∣=
A. B.
C. D.2
【答案】C