（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 解析幾何 第1講 直線(xiàn)與圓學(xué)案 理 新人教A版

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1、第1講　直線(xiàn)與圓 [做真題] 題型一　圓的方程 1．(2016·高考全國(guó)卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線(xiàn)ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　　　　 B．－ C． D．2 解析：選A．由題可知，圓心為(1，4)，結(jié)合題意得＝1，解得a＝－. 2．(2015·高考全國(guó)卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． 解析：由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，(0，－2)，(4，0)三點(diǎn)

2、．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－)2＋y2＝. 答案：(x－)2＋y2＝ 3．(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)

3、＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線(xiàn)方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 題型二　直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)直線(xiàn)x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2，6]　　　　　　　　 B．[4，8] C．[

4、，3] D．[2，3] 解析：選A．圓心(2，0)到直線(xiàn)的距離d＝＝2，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離d1∈[，3]．根據(jù)直線(xiàn)的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|d1＝d1.因?yàn)閐1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面積的取值范圍是[2，6]． 2．(2015·高考全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝(　　) A．2 B．8 C．4 D．10 解析：選C．設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則 解得 所以圓的方程為x2＋y2－2x

5、＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2， 所以M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，所以|MN|＝4，故選C． 3．(2016·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知直線(xiàn)l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝________． 解析：設(shè)圓心到直線(xiàn)l：mx＋y＋3m－＝0的距離為d，則弦長(zhǎng)|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，則直線(xiàn)l：x－y＋6＝0，數(shù)形結(jié)合可得|CD|＝＝4. 答案：4 [明考情] 1．近兩年圓的方程成為高考全國(guó)卷命題

6、的熱點(diǎn)，需重點(diǎn)關(guān)注．此類(lèi)試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查． 2．直線(xiàn)與圓的方程偶爾單獨(dú)命題，單獨(dú)命題時(shí)有一定的深度，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對(duì)直線(xiàn)與圓的方程(特別是直線(xiàn))的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題上． 直線(xiàn)的方程 [考法全練] 1．若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線(xiàn)，則a＝(　　) A．1±或0 B．或0 C． D．或0 解析：選A．因?yàn)槠矫鎯?nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線(xiàn)，所以kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故選A． 2．若直線(xiàn)mx＋2y＋

7、m＝0與直線(xiàn)3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，則m的值為(　　) A．7 B．0或7 C．0 D．4 解析：選B．因?yàn)橹本€(xiàn)mx＋2y＋m＝0與直線(xiàn)3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意．故選B． 3．已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，11)，若直線(xiàn)y＝x＋1(m≠0)與線(xiàn)段AB相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－2，0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，6] C．[－2，－1]∪[3，6] D．[－2，0)∪(0，6] 解析：選C．由題意得，兩點(diǎn)A(1，2)，B(2，11)分布在直線(xiàn)y＝x＋1(m≠0)的

8、兩側(cè)(或其中一點(diǎn)在直線(xiàn)上)，所以≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故選C． 4．已知直線(xiàn)l過(guò)直線(xiàn)l1：x－2y＋3＝0與直線(xiàn)l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且點(diǎn)P(0，4)到直線(xiàn)l的距離為2，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_________________． 解析：由得所以直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)為(1，2)．顯然直線(xiàn)x＝1不符合，即所求直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因?yàn)镻(0，4)到直線(xiàn)l的距離為2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直線(xiàn)l的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0 5．(一題多解)已知直線(xiàn)l：x－y－1

9、＝0，l1：2x－y－2＝0.若直線(xiàn)l2與l1關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l2的方程是________． 解析：法一：l1與l2關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，則l1上任意一點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在l2上，故l與l1的交點(diǎn)(1，0)在l2上． 又易知(0，－2)為l1上的一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)，則 ，解得 即(1，0)，(－1，－1)為l2上兩點(diǎn)，故可得l2的方程為x－2y－1＝0. 法二：設(shè)l2上任一點(diǎn)為(x，y)，其關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x1，y1)，則由對(duì)稱(chēng)性可知 解得 因?yàn)?x1，y1)在l1上， 所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程為x－2y－1＝0. 答案：x－2y

10、－1＝0 (1)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略 求解與兩條直線(xiàn)平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，主要是利用兩條直線(xiàn)平行或垂直的充要條件，即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負(fù)倒數(shù)．若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線(xiàn)的一般式方程判斷． (2)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩種類(lèi)型及求解方法 點(diǎn)關(guān)于 直線(xiàn)的 對(duì)稱(chēng) 若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱(chēng)，則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸l上，而且連接P1，P2的直線(xiàn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直線(xiàn)關(guān) 于直線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)

11、 有兩種情況，一是已知直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸相交；二是已知直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸平行．一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)來(lái)解決 圓的方程 [典型例題] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線(xiàn)Γ與y軸交于點(diǎn)C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)求證：過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn)． 【解】　由曲線(xiàn)Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0. 設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0

12、，2m)． (1)若存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C，則·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－. 由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－， 此時(shí)C(0，－1)，AB的中點(diǎn)M即圓心，半徑r＝|CM|＝， 故所求圓的方程為＋y2＝. (2)證明：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 將點(diǎn)C(0，2m)代入可得E＝－1－2m， 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令可得或 故過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn)(0，1)和. 求圓的方程的2種方法

13、 幾何法 通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線(xiàn)和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程 代數(shù)法 用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)　　　　　　 B． C．(－2，0) D． 解析：選D．若方程表示圓，則a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化簡(jiǎn)得3a2＋4a－4<0，解得－2

14、y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 解析：選A．設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a，b)，則a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，＝1③，聯(lián)立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故選A． 3．(2019·安徽合肥模擬)已知圓M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB為圓M的任意一條直徑，且·＝－6(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則圓M的半徑為(　　) A． B． C． D．2 解析：選C．圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圓心M(1，0)，則|OM|＝1，因?yàn)锳B為圓M的任

15、意一條直徑，所以＝－，且||＝||＝r，則·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圓的半徑為，故選C． 直線(xiàn)與圓、圓與圓的綜合問(wèn)題 [典型例題] 命題角度一　切線(xiàn)問(wèn)題 已知圓O：x2＋y2＝1，點(diǎn)P為直線(xiàn)＋＝1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引兩條切線(xiàn)PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(　　) A．　　　　　 B． C． D． 【解析】　因?yàn)辄c(diǎn)P是直線(xiàn)＋＝1上的一動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)P(4－2m，m)．因?yàn)镻A，PB是圓x2＋y2＝1的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，所以點(diǎn)A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB

16、是圓O和圓C的公共弦．所以圓心C的坐標(biāo)是，且半徑的平方r2＝， 所以圓C的方程為(x－2＋m)2＋＝，① 又x2＋y2＝1，② 所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0， 即公共弦AB所在的直線(xiàn)方程為(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由得所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn).故選B． 【答案】　B 過(guò)一點(diǎn)求圓的切線(xiàn)方程的方法 (1)過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線(xiàn)的方程的求法 若切線(xiàn)斜率存在，則先求切點(diǎn)與圓心連線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率k(k≠0)，由垂直關(guān)系知切線(xiàn)斜率為－，由點(diǎn)斜式方程可求切線(xiàn)方程．若切線(xiàn)斜率不存在，則可由圖形寫(xiě)出切線(xiàn)方程x＝x0. (2)過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切

17、線(xiàn)的方程的求法 當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)斜率為k，切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可得出切線(xiàn)方程．當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)要加以驗(yàn)證． 命題角度二　弦長(zhǎng)問(wèn)題 已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B(0，2)，且圓心C在直線(xiàn)y＝x上，又直線(xiàn)l：y＝kx＋1與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)． (1)求圓C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)(0，1)作直線(xiàn)l1與l垂直，且直線(xiàn)l1與圓C交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最大值． 【解】　(1)設(shè)圓心C(a，a)，半徑為r，因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r， 即＝＝r

18、，解得a＝0，r＝2，故所求圓C的方程為x2＋y2＝4. (2)設(shè)圓心C到直線(xiàn)l，l1的距離分別為d，d1，四邊形PMQN的面積為S. 因?yàn)橹本€(xiàn)l，l1都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且l1⊥l，根據(jù)勾股定理，有d＋d2＝1. 又|PQ|＝2×，|MN|＝2×， 所以S＝|PQ|·|MN|＝×2××2× ＝2 ＝2≤2 ＝2＝7， 當(dāng)且僅當(dāng)d1＝d時(shí)，等號(hào)成立， 所以四邊形PMQN面積的最大值為7. 求解圓的弦長(zhǎng)的3種方法 關(guān)系法 根據(jù)半徑，弦心距，弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線(xiàn)的距離) 公式法 根據(jù)公式l＝|

19、x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線(xiàn)與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線(xiàn)的斜率) 距離法 聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，解方程組求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解 命題角度三　直線(xiàn)與圓的綜合問(wèn)題 已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，圓C的圓心在圓x2＋y2＝2的內(nèi)部，且直線(xiàn)3x＋4y＋5＝0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2.點(diǎn)P為圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PA與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB與y軸交于點(diǎn)N. (1)求圓C的方程； (2)若直線(xiàn)y＝x＋1與圓C交于A1，A2兩點(diǎn)，求·； (3)求證：|AN|·|BM|為定值． 【解】　(1)易知圓心C在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)y＝x上，

20、故可設(shè)C(a，a)，圓C的半徑為r. 因?yàn)橹本€(xiàn)3x＋4y＋5＝0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，且r＝， 所以C(a，a)到直線(xiàn)3x＋4y＋5＝0的距離d＝＝＝， 所以a＝0或a＝170. 又圓C的圓心在圓x2＋y2＝2的內(nèi)部， 所以a＝0，此時(shí)r＝2，所以圓C的方程為x2＋y2＝4. (2)將y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0. 設(shè)A1(x1，y1)，A2(x2，y2)， 則x1＋x2＝－1，x1x2＝－. 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3. (3

21、)證明：當(dāng)直線(xiàn)PA的斜率不存在時(shí)，|AN|·|BM|＝8. 當(dāng)直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率都存在時(shí)，設(shè)P(x0，y0)， 直線(xiàn)PA的方程為y＝x＋2，令y＝0得M. 直線(xiàn)PB的方程為y＝(x－2)，令x＝0得N. 所以|AN|·|BM|＝ ＝4＋4 ＝4＋4× ＝4＋4× ＝4＋4×＝8， 綜上，|AN|·|BM|為定值8. 討論直線(xiàn)與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌

22、跡方程為(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析：選D．由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖． 因?yàn)閨PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ， 所以|PO|2＋r2＝|PC|2， 所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2， 即6x－8y－21＝0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D． 2．已知過(guò)點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_______． 解析：直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋1，

23、圓心C(2，3)到直線(xiàn)l的距離d＝＝， 由R2＝d2＋，得1＝＋， 解得k＝2或， 故所求直線(xiàn)l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1. 答案：y＝2x＋1或y＝x＋1 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與y軸相切，且過(guò)點(diǎn)M(1，)，N(1，－)． (1)求圓C的方程； (2)已知直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)OA與直線(xiàn)OB的斜率之積為－2.求證：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)M(1，)，N(1，－)， 所以圓心C在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上，即在x軸上， 故設(shè)圓心為C(a，0)，易知a>0， 又圓C與y軸相切， 所以圓C的半徑r＝a， 所以

24、圓C的方程為(x－a)2＋y2＝a2. 因?yàn)辄c(diǎn)M(1，)在圓C上， 所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2. 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)記直線(xiàn)OA的斜率為k(k≠0)， 則其方程為y＝kx. 聯(lián)立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 所以A. 由k·kOB＝－2，得kOB＝－，直線(xiàn)OB的方程為y＝－x， 在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用－代替k，得B. 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，＝，得k2＝2，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x＝. 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，≠，即k2≠2. 則直線(xiàn)l的斜率為＝ ＝＝. 故直線(xiàn)l的方程為y－＝. 即y＝，所以直線(xiàn)

25、l過(guò)定點(diǎn). 綜上，直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. 一、選擇題 1．已知直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)(－2，0)且傾斜角為30°，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)(2，0)且與直線(xiàn)l1垂直，則直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3，)　　　　　　 B．(2，) C．(1，) D． 解析：選C．直線(xiàn)l1的斜率k1＝tan 30°＝，因?yàn)橹本€(xiàn)l2與直線(xiàn)l1垂直，所以直線(xiàn)l2的斜率k2＝－＝－，所以直線(xiàn)l1的方程為y＝(x＋2)，直線(xiàn)l2的方程為y＝－(x－2)，聯(lián)立解得即直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)． 2．圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

26、(　　) A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：選A．由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(1，)，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線(xiàn)x＋y＝0所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B．圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化為x2＋(y－a)2＝a2，由題意，M(0，a)到直線(xiàn)x＋y＝0的距離

27、d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圓M：x2＋(y－2)2＝4，所以?xún)蓤A的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交． 4．(2019·皖南八校聯(lián)考)圓C與直線(xiàn)2x＋y－11＝0相切，且圓心C的坐標(biāo)為(2，2)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，y0)．若在圓C上存在一點(diǎn)Q，使得∠CPQ＝30°，則y0的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－1，5] C．[2－，2＋] D．[2－2，2＋2] 解析：選C．由點(diǎn)C(2，2)到直線(xiàn)2x＋y－11＝0的距離為＝，可得圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在這樣的點(diǎn)Q，當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，∠CPQ≥30°，可得sin∠CPQ＝＝≥

28、sin 30°，即CP≤2，則≤2，解得2－≤y0≤2＋.故選C． 5．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過(guò)定點(diǎn)P的直線(xiàn)l：ax＋y－1＝0與過(guò)定點(diǎn)Q的直線(xiàn)m：x－ay＋3＝0相交于點(diǎn)M，則|MP|2＋|MQ|2＝(　　) A． B． C．5 D．10 解析：選D．由題意知P(0，1)，Q(－3，0)，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)P的直線(xiàn)ax＋y－1＝0與過(guò)定點(diǎn)Q的直線(xiàn)x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故選D． 6．(一題多解)(2019·河南鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)x－ky＋1＝0與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，若

29、點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：選C．法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，則Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因?yàn)椋剑?，故M，又點(diǎn)M在圓C上，故＋＝4，解得k＝0. 法二：由直線(xiàn)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0，0)到直線(xiàn)x－ky＋1＝0的距離為半徑的一半，為1，即d＝＝1，解得k＝0. 二、填空題 7．過(guò)點(diǎn)(，0)引直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線(xiàn)l的斜率等于_

30、_______． 解析：令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1， 所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤， 當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，△AOB的面積取得最大值，此時(shí)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H， 則|OH|＝， 于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°， 則直線(xiàn)AB的傾斜角為150°，故直線(xiàn)AB的斜率為tan 150°＝－. 答案：－ 8．已知圓O：x2＋y2＝4到直線(xiàn)l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：由圓的方程可知圓心為(0，0)，半徑為2.因?yàn)閳AO到直線(xiàn)l的距

31、離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線(xiàn)l的距離d

32、所以m＝－2，r＝＝. 答案：－2　 三、解答題 10．已知點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，曲線(xiàn)E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍． (1)求曲線(xiàn)E的方程； (2)已知m≠0，設(shè)直線(xiàn)l1：x－my－1＝0交曲線(xiàn)E于A，C兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2：mx＋y－m＝0交曲線(xiàn)E于B，D兩點(diǎn)．當(dāng)CD的斜率為－1時(shí)，求直線(xiàn)CD的方程． 解：(1)設(shè)曲線(xiàn)E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， 由題意得＝·， 整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3為所求． (2)由題意知l1⊥l2，且兩條直線(xiàn)均恒過(guò)點(diǎn)N(1，0)．設(shè)曲線(xiàn)E的圓心為E，則E(2，0)，設(shè)線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為P，連接EP

33、，ED，NP，則直線(xiàn)EP：y＝x－2. 設(shè)直線(xiàn)CD：y＝－x＋t， 由解得點(diǎn)P， 由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|＝|CD|＝， 而|NP|2＝＋，|ED|2＝3， |EP|2＝， 所以＋＝3－，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3， 所以直線(xiàn)CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3. 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由； (2)證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． 解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下： 設(shè)A(x1，0)，

34、B(x2，0)，則x1，x2滿(mǎn)足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2. 又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，可得BC的中垂線(xiàn)方程為y－＝x2(x－)． 由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂線(xiàn)方程為x＝－. 聯(lián)立又x＋mx2－2＝0， 可得 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(－，－)，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2＝3，即過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． 12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線(xiàn)l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線(xiàn)

35、l上． (1)若圓心C也在直線(xiàn)y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)l：y＝2x－4上，也在直線(xiàn)y＝x－1上，所以解方程組得圓心C(3，2)， 又因?yàn)閳AC的半徑為1， 所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1， 又因?yàn)辄c(diǎn)A(0，3)，顯然過(guò)點(diǎn)A，圓C的切線(xiàn)的斜率存在，設(shè)所求的切線(xiàn)方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線(xiàn)方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳AC的圓心在直線(xiàn)l：y＝2x－4上， 所以設(shè)圓心C為(a，2a－4)， 又因?yàn)閳AC的半徑為1， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1. 設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|＝2|MO|，則有 ＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D， 所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)，所以2－1≤≤2＋1， 解得0≤a≤， 所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. - 17 -