(江蘇專用)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第39講 不等關(guān)系與不等式學(xué)案

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1、 第39講 不等關(guān)系與不等式 考試要求 不等關(guān)系的概念(A級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)兩個實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a1,則a>b.(  ) (3)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù),不等號方向不變.(  ) (4)一個非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小.(  ) (5)a>b>0,c>d>0?>.(  ) (6)若ab>0,則a>b?<.(  ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 2.(教材改編)若a,b都是實(shí)數(shù),則“->0”是“a

2、2-b2>0”的________條件. 解析?。?0?> ?a>b?a2>b2, 但由a2-b2>0? ->0. 答案 充分不必要 3.(2018·南京模擬)若a,b∈R,且a+|b|<0,則下列不等式中正確的是________(填序號). ①a-b>0; ?、赼3+b3>0; ③a2-b2<0;?、躠+b<0. 解析 由a+|b|<0知a<0,且|a|>|b|, 當(dāng)b≥0時,a+b<0成立, 當(dāng)b<0時,a+b<0成立,∴a+b<0. 答案?、? 4.如果a∈R,且a2+a<0,則a,a2,-a,-a2的大小關(guān)系是________. 解析 由a2+a<0得a<-a2,

3、 ∴a<0且a>-1,∴a<-a21且2a<1, ∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a =-2+<. 即a<2ab<, 又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=, 即a2+b2>, a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1), 又2b-1>0,b-1<0,∴a2+b2-b<0, ∴a2+b2

4、2+b20). 2.不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 特別提醒 對稱性 a>b?bb,b>c?a>c ? 可加性 a>b?a+c>b+c ? 可乘性 ?ac>bc ?acb+d ? 同向同正可乘性 ?ac>bd ? 可乘方性 a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1) a,b同為正數(shù) 可開方性 a>b>0?>(n∈N,n≥

5、2) 3.不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì) ①a>b,ab>0?<. ②a<0b>0,0. ④0b>0,m>0,則 ①<;>(b-m>0). ②>;<(b-m>0). 考點(diǎn)一 比較兩個數(shù)(式)的大小 【例1】 (1)(一題多解)若a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為________. (2)(2018·無錫期中)若<<0,給出下列四個不等式: ①a+b|b|;③a2中,其中正確的不等式是________(填序號). 解析 (

6、1)法一 易知a,b,c都是正數(shù),= =log8164<1, 所以a>b; ==log6251 024>1, 所以b>c.即ce時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 因?yàn)閑<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5), 即c0.經(jīng)逐一分析,得①④正確. 答案 (1)c

7、或者完全平方式.當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時,有時也可以先平方再作差. (2)作商法: 一般步驟:①作商;②變形;③判斷商與1的大??;④結(jié)論. (3)函數(shù)的單調(diào)性法:將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系. 注意:在綜合題中遇到比較大小時要采用此法. 【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)a,b∈[0,+∞),A=+,B=,則A,B的大小關(guān)系是________. (2)若a=1816,b=1618,則a與b的大小關(guān)系為________. 解析 (1)∵A≥0,B≥0, A2-B2=a+2+b-(a+b) =2≥0, ∴A≥B. (2)== ==, ∵∈(0,1),

8、∴<1, ∵1816>0,1618>0, ∴1816<1618,即aac; ②c(b-a)<0; ③cb20. (2)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù).現(xiàn)有下列命題: ①若a2-b2=1,則a-b<1;②若-=1,則a-b<1;③若|-|=1,則 |a-b|<1;④若|a3-b3|=1,則|a-b|<1. 其中的真命題有________(寫出所有真命題的編號). 解析 (

9、1)由c0. 由b>c得ab>ac一定成立. (2)①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b為正實(shí)數(shù),若a-b≥1,則必有a+b>1,又a-b=,不合題意,故①正確. ②中,-==1,只需a-b=ab即可.如取a=2,b=滿足上式,但a-b=>1,故②錯. ③中,a,b為正實(shí)數(shù),所以+>|-|=1,且|a-b|=|(+)(-)|=|+|>1,故③錯. ④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1. 若|a-b|≥1,不妨設(shè)a>b>1,則必有a2+ab+b2>1,不合題意,故④正確. 答案 (

10、1)① (2)①④ 規(guī)律方法 解決此類問題常用兩種方法:一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個驗(yàn)證;二是利用特殊值法排除錯誤答案.利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件.注意:在綜合大題中遇到不等式問題會考查不等式的性質(zhì). 【訓(xùn)練2】 (一題多解)若a>0>b>-a,cbc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的個數(shù)是________. 解析 法一 ∵a>0>b,c0, ∴ad0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c-d>0, ∴a(-c)>(-b

11、)(-d), ∴ac+bd<0,∴+=<0,故②正確. ∵c-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), ∴a-c>b-d,故③正確. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正確. 法二 取特殊值. 答案 3 考點(diǎn)三 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【例3-1】 (一題多解)已知a>b>0,給出下列四個不等式: ①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為________(填序號). 解析 法一 由a>b>0可得a2>b2,①成立; 由a>b>0可得a>b-1,而函數(shù)f(x)=2x在R上是增函數(shù),

12、 ∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立; ∵a>b>0,∴>, ∴()2-(-)2 =2-2b=2(-)>0, ∴>-,③成立; 若a=3,b=2,則a3+b3=35,2a2b=36, a3+b3<2a2b,④不成立. 法二 令a=3,b=2, 可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立. 答案 ①②③ 【例3-2】 已知-1

13、<4,2

14、通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍,是避免錯誤的有效途徑. 【訓(xùn)練3】 (1)若a;  ?、赼2bn. (2)設(shè)a>b>1,c<0,給出下列三個結(jié)論: ①>; ②acloga(b-c). 其中所有正確結(jié)論的序號是________. 解析 (1)(特值法)取a=-2,b=-1,逐個檢驗(yàn),可知①,②,④均不正確; ③中,

15、<0,∴|b|<|a|成立. (2)由不等式性質(zhì)及a>b>1知<, 又c<0,∴>,①正確; 構(gòu)造函數(shù)y=xc, ∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是減函數(shù), 又a>b>1,∴acb>1,c<0,∴a-c>b-c>1, ∴l(xiāng)ogb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正確. 答案 (1)③ (2)①②③ 一、必做題 1.當(dāng)x>1時,x3與x2-x+1的大小關(guān)系為________. 解析 ∵x3-(x2-x+1) =x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1). 又∵x>1, 故(x-1)(x

16、2+1)>0, ∴x3-(x2-x+1)>0, 即x3>x2-x+1. 答案 x3>x2-x+1 2.(2018·鎮(zhèn)江模擬)若6y>z,x+y+z=0,則下列不等式成立的是________(填序號). ①xy>yz; ②xz>yz; ③xy>xz; ④x|y|>z|y|. 解析 ∵x>y>z且x+y+z=0,∴x>0,z<0, 又y>z,∴xy>xz. 答案?、? 4.設(shè)a,b∈R,則“(

17、a-b)·a2<0”是“ab,則ac2>bc2; ②若>,則a>b; ③若a3>b3且ab<0,則>; ④若a2>b2且ab>0,則<. 解析 當(dāng)c=0時,可

18、知①不正確; 當(dāng)c<0時,可知②不正確; 對于③,由a3>b3且ab<0,知a>0且b<0, 所以>成立,③正確; 當(dāng)a<0且b<0時,可知④不正確. 答案 ③ 7.若a>b>0,則下列不等式中一定成立的是________(填序號). ①a+>b+;②>; ③a->b-;④>. 解析 取a=2,b=1,排除②與④;另外,函數(shù)f(x)=x-是(0,+∞)上的增函數(shù),但函數(shù)g(x)=x+在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增,所以,當(dāng)a>b>0時,f(a)>f(b)必定成立,即a->b-?a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立. 答案 ① 8.若a>b>0,則下列不等式一

19、定不成立的是________(填序號). ①<;②log2a>log2b; ③a2+b2≤2a+2b-2;④b<<0(由a>b>0,a,b不能同時為1), ∴a2+b2-2a-2b+2>0,∴a2+b2>2a+2b-2, ∴③一定不成立. 答案 ③ 9.若不等式(-2)na-3n-1-(-2)n<0對任意正整數(shù)n恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析 當(dāng)n為奇數(shù)時,2n(1-a)<3n-1,1-a<×恒成立,只需1-a<×,∴a>.當(dāng)n為偶數(shù)時,2n(a-1)<3n-1,a-1<×恒成立,只需a-1<×,∴a<.綜上,<

20、a<. 答案  二、選做題 10.已知-1<2x-1<1,則-1的取值范圍是________. 解析?。?<2x-1<1?01?>2 ?-1>1. 答案 (1,+∞) 11.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,則z=2x-3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示). 解析 ∵z=-(x+y)+(x-y), ∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8, ∴z的取值范圍是[3,8]. 答案 [3,8] 12.已知m∈R,a>b>1,f(x)=,試比較f(a)與f(b)的大小. 解 f(x)=m,f(a)=m, f(b)=m. 由a>b>1,知a-1>b-1>0. ∴<,∴1+<1+. ①當(dāng)m>0時,m(1+)m(1+),f(a)>f(b). 綜上所述,當(dāng)m>0時,f(a)f(b). 11

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