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1、2022年高二數(shù)學上學期期末考試試題 理 (III)
一、選擇題(本大題共12題,每題5分,滿分60分,每小題只有一個正確答案)
1.命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的否命題是( )
A.若x,y都是偶數(shù),則x+y不是偶數(shù)
B.若x,y都不是偶數(shù),則x+y不是偶數(shù)
C.若x,y都不是偶數(shù),則x+y是偶數(shù)
D.若x,y不都是偶數(shù),則x+y不是偶數(shù)
2.設x,y是兩個實數(shù),命題:“x,y中至少有一個數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是( )
A.x+y=2
2、 B.x+y>2 C.x2+y2>2 D.xy>1
3.已知:p:|x-1|≥2,q:x∈Z,若p∧q,q同時為假命題,則滿足條件的x的集合為( )
A.{x|x≤-1或x≥3,x?Z}
B.{x|-1≤x≤3,x?Z}
C.{x|x<-1或x>3,x∈Z}
D.{x|-1<x<3,x∈Z}
4.已知橢圓+==1(a>b>0)上有一點A,它關(guān)于原點的對稱點為B,點F為橢圓的右焦點,且滿足AF⊥BF,設∠ABF=α,且α∈[,],則該橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A.[,]
3、 B.[,] C.[,] D.[,]
5.光線被曲線反射,等效于被曲線在反射點處的切線反射.已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā),被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出;如圖,橢圓C:+=1(a>b>0)與雙曲線C′:-=1(m>0,n>0)有公共焦點,現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā),在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射,則光線經(jīng)過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為( )
A.k(a+m) B.2k(a+m)
4、 C.k(a-m) D.2k(a-m)
6.已知P為拋物線y2=4x上一動點,記點P到y(tǒng)軸的距離為d,對于定點A(4,5),則|PA|+d的最小值為( )
A.4 B. C.-1 D.-1
7.已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a,設=a,=b,=c,則〈,〉等于( )
A.30° B.60° C.90° D.120
5、°
8.如圖,在空間直角坐標系中,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,B1E1=A1B1,則等于( )
A. B. C. D.
9.如圖所示,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱,兩兩夾角都為60°,且AB=2,AD=1,AA1=3,M、N分別為BB1、B1C1的中點,則MN與AC所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
10.已知曲線C
6、的方程為y=xlnx,則C上點x=1處的切線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
11.設函數(shù)f(x)=cos(x+φ)(-π<φ<0).若f(x)+f′(x)是偶函數(shù),則φ等于( )
A. B.- C. D.-
12.函數(shù)y=sin(2x2+x)的導數(shù)是( )
A.y′=cos(2x2+x)
7、 B.y′=2xsin(2x2+x)
C.y′=(4x+1)cos(2x2+x) D.y′=4cos(2x2+x)
二、填空題(共4小題,每小題5.0分,共20分)
13.已知函數(shù)f(x)=2sin 3x+9x,則________.
14.過點P(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4相交于A,B兩點,且P是線段AB的
8、中點,則直線AB的方程為________________.
15.沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=ax反射后,與x軸相交于點A(2,0),則拋物線的準線方程為________________.(提示:拋物線的光學性質(zhì):從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行)
16.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,MN分別為棱AA1和BB1的中點,則sin〈,〉的值為________.
三、解答題(共6小題,共70分)
17.(12分)
9、已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點P(1,-2),過點P作直線l.
(1)求使直線l和y=f(x)相切且以P為切點的直線方程;
(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點異于點P的直線方程y=g(x).
18. (10分)已知命題p:函數(shù)f(x)=x2-2mx+4在[2,+∞)上單調(diào)遞增,命題q:關(guān)于x的不等式mx2+4(m-2)x+4>0的解集為R.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求m的取值范圍.
19. (12分)如圖,已知橢圓+=1(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左,右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的
10、離心率;
(2)若橢圓的焦距為2,且=2,求橢圓的方程.
20. (12分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離等于,過右焦點F2的直線l交雙曲線于A,B兩點,F(xiàn)1為左焦點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若△F1AB的面積等于6,求直線l的方程.
21. (12分)如下圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)當D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成的角的正弦值;
(3)是否存在點E,使得二面角A-D
11、E-P為直二面角?并說明理由.
22. (12分)已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-.若拋物線C:y2=2px(p>0)上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N,試問在x軸上是否存在定點Q,使Q點在以MN為直徑的圓上,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.
答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.D
8.C
9.B
10.B
11.B
12.C
13.6cos 3+9
14.2x-y-15=0
15.x=-2
12、16.
17.解 (1)y′==3x2-3.
則過點P且以P(1,-2)為切點的直線的斜率
k1=f′(1)=0,
∴所求直線方程為y=-2.
(2)設切點坐標為(x0,-3x0),
則直線l的斜率k2=f′(x0)=3-3,
∴直線l的方程為y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),
又直線l過點P(1,-2),
∴-2-(-3x0)=(3-3)(1-x0),
∴-3x0+2=(3-3)(x0-1),
解得x0=1(舍去)或x0=-,
故所求直線斜率k=3-3=-,
于是y-(-2)=-(x-1),即y=-x+.
18.若命題p為真,因為函數(shù)的對稱軸為x=m,則m
13、≤2.
若命題q為真,當m=0時,原不等式為-8x+4>0,顯然不成立.
當m≠0時,則有?1<m<4.
因為p∨q為真,p∧q為假,所以命題p,q一真一假.
故或
解得m≤1或2<m<4.
所以m的取值范圍為(-∞,1]∪(2,4).
19.(1)由∠F1AB=90°及橢圓的對稱性知b=c,則e===.
(2)由已知得a2-b2=1,設B(x,y),A(0,b),則=(1,-b),=(x-1,y),由=2,即(1,-b)=2(x-1,y),解得x=,y=-,則+=1,得a2=3,因此b2=2,橢圓的方程為+=1.
20. 【解析】 (1)依題意,b=,=2?a=1,c=2,
14、∴雙曲線的方程為x2-=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知F2(2,0).易驗證當直線l斜率不存在時不滿足題意.
故可設直線l:y=k(x-2),由消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
當k≠±時,x1+x2=,x1x2=,y1-y2=k(x1-x2),
△F1AB的面積S=c|y1-y2|=2|k|·|x1-x2|=2|k|·=12|k|·=6,
得k4+8k2-9=0,則k=±1.
所以直線l方程為y=x-2或y=-x+2.
21.以A為原點,,分別為y軸、z軸的正方向,過A點且垂直于平面PAB的直線為x軸,建立空間直角坐標系Axy
15、z,
設PA=a,由已知可得:A(0,0,0),B(0,a,0),C,P(0,0,a).
(1)=(0,0,a),=,∴=0,∴⊥,∴BC⊥AP,
又∵∠BCA=90°,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D為PB的中點,DE∥BC,∴E為PC的中點,
∴D,E,
∴由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足為點E,
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
∵=,=,∴cos∠DAE==,
∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為.
(3)∵DE∥BC,又由(1)知BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE?平面PAC,PE?平面PAC,
∴D
16、E⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,
∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC,這時∠AEP=90°,
故存在點E,使得二面角A-DE-P是直二面角.
22.(1)由定義知l2為拋物線的準線,拋物線焦點坐標為F
由拋物線定義,知拋物線上點到直線l2的距離等于其到焦點F的距離.
所以拋物線上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線l1的距離.
所以2=,則p=2,所以拋物線方程為y2=4x.
(2)設M(x0,y0),由題意知直線l斜率存在,設斜率為k,且k≠0,
所以直線l方程為y-y0=k(x-x0),
代入y2=4x,消x得ky2-4y+4y0-k=0.由Δ=16-4k(4y0-k)=0,得k=.
所以直線l方程為y-y0=(x-x0),
令x=-1,又由=4x0,得N.
設Q(x1,0),則=(x0-x1,y0),=,
由題意知·=0,即(x0-x1)(-1-x1)+=0,
把=4x0代入上式,得(1-x1)x0++x1-2=0.
因為對任意的x0,等式恒成立,所以
解得x1=1,即在x軸上,存在定點Q(1,0),在以MN為直徑的圓上.