中考復(fù)習篇之《專題四 規(guī)律探索題》

專題四規(guī)律探索題類型一 數(shù)式規(guī)律探索 (2017安徽)【閱讀理解】我們知道，123n，那么122232n2結(jié)果等于多少呢？在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個圓圈中數(shù)的和為22，即22，；第n行n個圓圈中數(shù)的和為nnnn個n ，即n2.這樣，該三角形數(shù)陣中共有個圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為122232n2.圖1圖2【規(guī)律探究】 將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)如第(n1)行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n1，2，n，發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為_，由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(122232n2)_，因此，122232n2_【解決問題】 根據(jù)以上信息發(fā)現(xiàn)，計算：的結(jié)果為_【分析】 第一空只需將n1，2，n相加即可，每個三角形數(shù)陣中共有個圓圈，而每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為2n1，三個三角形數(shù)陣中所有圓圈中數(shù)的總和為(2n1)，從而第二空，第三、四空易求【自主解答】 【方法點撥】解決規(guī)律探究型問題的一般思路是通過對所給的具體結(jié)論進行全面、細致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并猜想出一般性結(jié)論，其中關(guān)于等式的規(guī)律探索：用含字母的代數(shù)式進行歸納，注意字母往往還具有反映等式序號的作用1(2019合肥二模)觀察下列等式：第1個等式：3，第2個等式：6，第3個等式：9，第4個等式：12，按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：_；(2)寫出你猜想的第n個等式：_(用含n的等式表示)，并證明2(2019淮北市濉溪縣二模)觀察下列式子：02112131222413235142(1)第個式子是_，第個式子是_；(2)請用含n(n為正整數(shù))的式子表示上述規(guī)律，并證明3(2019合肥包河區(qū)一模)楊輝是我國南宋時期杰出的數(shù)學家和教育家，如圖是楊輝在公元1261年的著作詳解九章算法里面的一張圖，即“楊輝三角”，該圖中有很多規(guī)律，請仔細觀察，解答下列問題：(1)圖中給出了七行數(shù)字，根據(jù)構(gòu)成規(guī)律，第9行中從左邊數(shù)第4個數(shù)是_；(2)第n行中從左邊數(shù)第2個數(shù)為_；第n行中所有數(shù)字之和為_4(2019安徽) 觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，第5個等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：_；(2)寫出你猜想的第n個等式：_(用含n的等式表示)，并證明5(2019全椒縣一模)已知下列等式：(31)2(31)2431；(53)2(53)2453；(75)2(75)2475；(97)2(97)2497.(1)請仔細觀察，寫出第5個式子；(2)寫出第n個式子，并運用所學知識說明第n個等式成立類型二 圖形規(guī)律探索 (2016安徽)(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：圖1(2)觀察下圖，根據(jù)(1)中結(jié)論，計算圖中黑球的個數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：圖2135(2n1)(_)(2n1)531_.【分析】 (1)第一項和第二項的結(jié)果不難填空；(2)先判斷圖中第(n1)行的黑球的個數(shù)，然后運用倒序相加法求出13(2n1)(2n1)的和即可完成填空【自主解答】 【方法點撥】對于圖形規(guī)律探索題常按以下步驟操作：寫序號：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”；數(shù)圖形的個數(shù)：在圖形數(shù)量變化時，要標記出每組圖形表示的個數(shù)；尋找圖形數(shù)量與序號n的關(guān)系：在尋找第n個圖形表示的數(shù)量時，先將后一個圖形表示的個數(shù)與前一個圖形表示的個數(shù)進行比對，通過作差(商)來觀察是否有恒定量的變化，然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個圖形的個數(shù)；驗證：代入序號驗證所歸納的式子是否正確1(2019甘肅改編)如圖，每一圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個菱形，第2幅圖中有3個菱形，第3幅圖中有5個菱形，.(1)第5幅圖中有_個菱形，第n幅圖中有 _個菱形；(2)如果第n幅圖中有2 019個菱形，求n.2(2018黔南州)“分塊計數(shù)法”：對有規(guī)律的圖形進行計數(shù)時，有些題可以采用“分塊計數(shù)”的方法例如：圖1有6個點，圖2有12個點，圖3有18個點，.按此規(guī)律，求圖10、圖n有多少個點我們將每個圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點的個數(shù)相同(如圖)，這樣圖1中黑點的個數(shù)是616個；圖2中黑點的個數(shù)是6212個；圖3中黑點的個數(shù)是6318個；所以容易求出圖10、圖n中黑點的個數(shù)分別是_、_請你參考以上“分塊計數(shù)法”，先將下面的點陣進行分塊，再完成以下問題：(1)第5個點陣中有_個圓圈；第n個點陣中有_個圓圈(2)小圓圈的個數(shù)會等于271嗎？如果會，請求出是第幾個點陣3(2019瑤海區(qū)一模)下列每一幅圖都是由白色小正方形和黑色小正方形組成(1)第10幅圖中有_個白色小正方形， _個黑色小正方形；(2)第n個圖形中白色小正方形和黑色小正方形的個數(shù)總和等于_(用n表示，n是正整數(shù))4(2019合肥市長豐縣模擬)用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按下圖方式拼正方形第個圖形中有1個正方形；第個圖形中有134個小正方形；第個圖形中有1359個小正方形；第個圖形中有_個小正方形(直接寫出結(jié)果)；(1)根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：1357(2n1) _(用含n的代數(shù)式表示)；(2)請根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計算：135799_；101103105199_5(2019蕪湖縣二模)如圖，正方形ABCD內(nèi)部有若干個點，用這些點以及正方形ABCD的頂點A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊)： (1)填寫下表：正方形ABCD內(nèi)點的個數(shù)1234n分割成的三角形的個數(shù)46_(2)原正方形能否被分割成2 016個三角形？若能，求此時正方形ABCD內(nèi)部有多少個點；若不能，請說明理由 6(2019蕪湖二模)某廣場用如圖1所示的同一種地磚拼圖案，第一次拼成圖案如圖2所示，共用地磚4塊；第二次拼成的圖案如圖3所示，共用地磚42412塊；第三次拼成的圖案如圖4所示，共用地磚4242624塊，(1)直接寫出第四次拼成的圖案共用地磚_塊；(2)按照這樣的規(guī)律進行下去，求第n次拼成的圖案共用地磚的數(shù)量(先用含n的式子表示，后化簡)7(2019南陵縣一模)【問題背景】在ABC內(nèi)部，有點P1，可構(gòu)成3個不重疊的小三角形(如圖1)【探究發(fā)現(xiàn)】當ABC內(nèi)點的個數(shù)增加時(如圖13)，探究三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個數(shù)情況(1)填表：三角形內(nèi)點的個數(shù)n1234不重疊三角形個數(shù)S_(2)當ABC內(nèi)部有n個點(P1，P2，Pn)時，三角形內(nèi)不重疊的小三角形的個數(shù)S2 019，求n的值8(2019安徽模擬)如圖，是由邊長相等的小正方形組成的幾何圖形，Sn(n1)表示第n個圖形中小正方形的個數(shù)(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：圖1圖2 (2)根據(jù)(1)中的兩個結(jié)論填空：S12_，Sn_(用含有n的代數(shù)式表示)參考答案【專題類型突破】類型一【例1】 規(guī)律探究每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為n12n2n1，每個三角形數(shù)陣中共有123n個圓圈，三個空依次填2n1；.解決問題1 345跟蹤訓練1解：(1)15(2)3n證明：等式左邊3n等式右邊2解：(1)461529111102(2)第n個式子為(n1)(n1)1n2，證明：左邊n211n2，右邊n2，左邊右邊，即(n1)(n1)1n2.3解：(1)56(2)n12n1解法提示設(shè)第 n 行第 2 個數(shù)為 an(n2，且n 為正整數(shù))，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a21，a32，a43，a54，a65, ann1；第 1 行數(shù)字之和 120，第 2 行數(shù)字之和 221，第 3 行數(shù)字之和 422，第 4 行數(shù)字之和 823，第 n 行數(shù)字之和為 2n1.4. 解：(1)第6個等式：(2)證明：右邊左邊，等式成立5解：(1)第5個式子為：(119)2(119)24119.(2)第n個式子：(2n1)(2n1)2(2n1)(2n1)24(2n1)(2n1)，證明：左邊(4n)2224(2n)2124(2n1)(2n1)右邊，等式成立類型二【例2】 (1)42n2(2)2n12n22n1解法提示由(1)可知題圖中第(n1)行的黑球個數(shù)為2n1；135(2n1)(2n1)(n1)2n22n1，135(2n1)n2，n22n1n22n22n1.跟蹤訓練1解：(1)9(2n1)(2)2n12 019，n1 010.2解：606n(1)613n23n1(2)依題意得3n23n1271，解得n110，n29(不合題意，舍去)所以小圓圈的個數(shù)會等于271，是第10個點陣3解：(1)100 40(2)n24n解法提示第1個圖形：白色小正方形1個，黑色小正方形414個，共有145個；第2個圖形：白色小正方形224個，黑色小正方形428個，共有4812個；第3個圖形：白色小正方形339個，黑色小正方形4312個，共有91221個；第n個圖形：白色小正方形n2個，黑色小正方形4n個，共有n24n個4解：25(1)n2(2)2 5007 5005解：(1)8102(n1)(2)能設(shè)點數(shù)為n，則2(n1)2 016，解得n1 007.答：原正方形能被分割成2 016個三角形，此時正方形ABCD內(nèi)部有1 007個點6解：(1)40(2)第一次拼成如圖1所示的圖案共用4塊地磚，42(12)，第二拼成如圖2所示的圖案共用12塊地磚，122(23)，第三次拼成如圖3所示的圖案共用24塊地磚，242(34)，第四次拼成如圖4所示的圖案共用40塊地磚，402(45)，.第n次拼成的圖案共用2n(n1)2(n2n)塊地磚7解：(1)3579(2)圖1中，當ABC內(nèi)有1個點時，可分割成3個互不重疊的小三角形；圖2中，當ABC內(nèi)有2個點時，可分割成5個互不重疊的小三角形；圖3中，當ABC內(nèi)有3個點時，可分割成7個互不重疊的小三角形；當ABC內(nèi)有4個點時，可分割成9個互不重疊的小三角形；.根據(jù)以上規(guī)律，當ABC內(nèi)有n個點(P1，P2，Pn)時，可以把ABC分割成S2n1個互不重疊的小三角形，當S2 019時，2n12 019，n1 009.8解：(1)nn2(2)78解法提示由SnSn1n，SnSn1n2，得S12S1112，S12S11122，2S1212122156，S1278.SnSn1n，SnSn1n2，2Snn2n，Sn.