中考復(fù)習(xí)篇之《專題四 規(guī)律探索題》
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專題四規(guī)律探索題類型一 數(shù)式規(guī)律探索 (2017安徽)【閱讀理解】我們知道,123n,那么122232n2結(jié)果等于多少呢?在圖1所示三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12,第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為22,即22,;第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為nnnn個(gè)n ,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈,所有圓圈中數(shù)的和為122232n2.圖1圖2【規(guī)律探究】 將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)如第(n1)行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n1,2,n,發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為_,由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(122232n2)_,因此,122232n2_【解決問題】 根據(jù)以上信息發(fā)現(xiàn),計(jì)算:的結(jié)果為_【分析】 第一空只需將n1,2,n相加即可,每個(gè)三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈,而每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為2n1,三個(gè)三角形數(shù)陣中所有圓圈中數(shù)的總和為(2n1),從而第二空,第三、四空易求【自主解答】 【方法點(diǎn)撥】解決規(guī)律探究型問題的一般思路是通過對(duì)所給的具體結(jié)論進(jìn)行全面、細(xì)致的觀察、分析、比較,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并猜想出一般性結(jié)論,其中關(guān)于等式的規(guī)律探索:用含字母的代數(shù)式進(jìn)行歸納,注意字母往往還具有反映等式序號(hào)的作用1(2019合肥二模)觀察下列等式:第1個(gè)等式:3,第2個(gè)等式:6,第3個(gè)等式:9,第4個(gè)等式:12,按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第5個(gè)等式:_;(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式:_(用含n的等式表示),并證明2(2019淮北市濉溪縣二模)觀察下列式子:02112131222413235142(1)第個(gè)式子是_,第個(gè)式子是_;(2)請(qǐng)用含n(n為正整數(shù))的式子表示上述規(guī)律,并證明3(2019合肥包河區(qū)一模)楊輝是我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和教育家,如圖是楊輝在公元1261年的著作詳解九章算法里面的一張圖,即“楊輝三角”,該圖中有很多規(guī)律,請(qǐng)仔細(xì)觀察,解答下列問題:(1)圖中給出了七行數(shù)字,根據(jù)構(gòu)成規(guī)律,第9行中從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)是_;(2)第n行中從左邊數(shù)第2個(gè)數(shù)為_;第n行中所有數(shù)字之和為_4(2019安徽) 觀察以下等式:第1個(gè)等式:,第2個(gè)等式:,第3個(gè)等式:,第4個(gè)等式:,第5個(gè)等式:,按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個(gè)等式:_;(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式:_(用含n的等式表示),并證明5(2019全椒縣一模)已知下列等式:(31)2(31)2431;(53)2(53)2453;(75)2(75)2475;(97)2(97)2497.(1)請(qǐng)仔細(xì)觀察,寫出第5個(gè)式子;(2)寫出第n個(gè)式子,并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)說明第n個(gè)等式成立類型二 圖形規(guī)律探索 (2016安徽)(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系,并填空:圖1(2)觀察下圖,根據(jù)(1)中結(jié)論,計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù),用含有n的代數(shù)式填空:圖2135(2n1)(_)(2n1)531_.【分析】 (1)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的結(jié)果不難填空;(2)先判斷圖中第(n1)行的黑球的個(gè)數(shù),然后運(yùn)用倒序相加法求出13(2n1)(2n1)的和即可完成填空【自主解答】 【方法點(diǎn)撥】對(duì)于圖形規(guī)律探索題常按以下步驟操作:寫序號(hào):記每組圖形的序數(shù)為“1,2,3,n”;數(shù)圖形的個(gè)數(shù):在圖形數(shù)量變化時(shí),要標(biāo)記出每組圖形表示的個(gè)數(shù);尋找圖形數(shù)量與序號(hào)n的關(guān)系:在尋找第n個(gè)圖形表示的數(shù)量時(shí),先將后一個(gè)圖形表示的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形表示的個(gè)數(shù)進(jìn)行比對(duì),通過作差(商)來觀察是否有恒定量的變化,然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個(gè)圖形的個(gè)數(shù);驗(yàn)證:代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確1(2019甘肅改編)如圖,每一圖中有若干個(gè)大小不同的菱形,第1幅圖中有1個(gè)菱形,第2幅圖中有3個(gè)菱形,第3幅圖中有5個(gè)菱形,.(1)第5幅圖中有_個(gè)菱形,第n幅圖中有 _個(gè)菱形;(2)如果第n幅圖中有2 019個(gè)菱形,求n.2(2018黔南州)“分塊計(jì)數(shù)法”:對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí),有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法例如:圖1有6個(gè)點(diǎn),圖2有12個(gè)點(diǎn),圖3有18個(gè)點(diǎn),.按此規(guī)律,求圖10、圖n有多少個(gè)點(diǎn)我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊,每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同(如圖),這樣圖1中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是616個(gè);圖2中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6212個(gè);圖3中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6318個(gè);所以容易求出圖10、圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是_、_請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”,先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊,再完成以下問題:(1)第5個(gè)點(diǎn)陣中有_個(gè)圓圈;第n個(gè)點(diǎn)陣中有_個(gè)圓圈(2)小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎?如果會(huì),請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣3(2019瑤海區(qū)一模)下列每一幅圖都是由白色小正方形和黑色小正方形組成(1)第10幅圖中有_個(gè)白色小正方形, _個(gè)黑色小正方形;(2)第n個(gè)圖形中白色小正方形和黑色小正方形的個(gè)數(shù)總和等于_(用n表示,n是正整數(shù))4(2019合肥市長(zhǎng)豐縣模擬)用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片,按下圖方式拼正方形第個(gè)圖形中有1個(gè)正方形;第個(gè)圖形中有134個(gè)小正方形;第個(gè)圖形中有1359個(gè)小正方形;第個(gè)圖形中有_個(gè)小正方形(直接寫出結(jié)果);(1)根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想:1357(2n1) _(用含n的代數(shù)式表示);(2)請(qǐng)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算:135799_;101103105199_5(2019蕪湖縣二模)如圖,正方形ABCD內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn),用這些點(diǎn)以及正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊): (1)填寫下表:正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)1234n分割成的三角形的個(gè)數(shù)46_(2)原正方形能否被分割成2 016個(gè)三角形?若能,求此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn);若不能,請(qǐng)說明理由 6(2019蕪湖二模)某廣場(chǎng)用如圖1所示的同一種地磚拼圖案,第一次拼成圖案如圖2所示,共用地磚4塊;第二次拼成的圖案如圖3所示,共用地磚42412塊;第三次拼成的圖案如圖4所示,共用地磚4242624塊,(1)直接寫出第四次拼成的圖案共用地磚_塊;(2)按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,求第n次拼成的圖案共用地磚的數(shù)量(先用含n的式子表示,后化簡(jiǎn))7(2019南陵縣一模)【問題背景】在ABC內(nèi)部,有點(diǎn)P1,可構(gòu)成3個(gè)不重疊的小三角形(如圖1)【探究發(fā)現(xiàn)】當(dāng)ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加時(shí)(如圖13),探究三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)情況(1)填表:三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)n1234不重疊三角形個(gè)數(shù)S_(2)當(dāng)ABC內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)(P1,P2,Pn)時(shí),三角形內(nèi)不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)S2 019,求n的值8(2019安徽模擬)如圖,是由邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的幾何圖形,Sn(n1)表示第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系,并填空:圖1圖2 (2)根據(jù)(1)中的兩個(gè)結(jié)論填空:S12_,Sn_(用含有n的代數(shù)式表示)參考答案【專題類型突破】類型一【例1】 規(guī)律探究每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為n12n2n1,每個(gè)三角形數(shù)陣中共有123n個(gè)圓圈,三個(gè)空依次填2n1;.解決問題1 345跟蹤訓(xùn)練1解:(1)15(2)3n證明:等式左邊3n等式右邊2解:(1)461529111102(2)第n個(gè)式子為(n1)(n1)1n2,證明:左邊n211n2,右邊n2,左邊右邊,即(n1)(n1)1n2.3解:(1)56(2)n12n1解法提示設(shè)第 n 行第 2 個(gè)數(shù)為 an(n2,且n 為正整數(shù)),觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a21,a32,a43,a54,a65, ann1;第 1 行數(shù)字之和 120,第 2 行數(shù)字之和 221,第 3 行數(shù)字之和 422,第 4 行數(shù)字之和 823,第 n 行數(shù)字之和為 2n1.4. 解:(1)第6個(gè)等式:(2)證明:右邊左邊,等式成立5解:(1)第5個(gè)式子為:(119)2(119)24119.(2)第n個(gè)式子:(2n1)(2n1)2(2n1)(2n1)24(2n1)(2n1),證明:左邊(4n)2224(2n)2124(2n1)(2n1)右邊,等式成立類型二【例2】 (1)42n2(2)2n12n22n1解法提示由(1)可知題圖中第(n1)行的黑球個(gè)數(shù)為2n1;135(2n1)(2n1)(n1)2n22n1,135(2n1)n2,n22n1n22n22n1.跟蹤訓(xùn)練1解:(1)9(2n1)(2)2n12 019,n1 010.2解:606n(1)613n23n1(2)依題意得3n23n1271,解得n110,n29(不合題意,舍去)所以小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271,是第10個(gè)點(diǎn)陣3解:(1)100 40(2)n24n解法提示第1個(gè)圖形:白色小正方形1個(gè),黑色小正方形414個(gè),共有145個(gè);第2個(gè)圖形:白色小正方形224個(gè),黑色小正方形428個(gè),共有4812個(gè);第3個(gè)圖形:白色小正方形339個(gè),黑色小正方形4312個(gè),共有91221個(gè);第n個(gè)圖形:白色小正方形n2個(gè),黑色小正方形4n個(gè),共有n24n個(gè)4解:25(1)n2(2)2 5007 5005解:(1)8102(n1)(2)能設(shè)點(diǎn)數(shù)為n,則2(n1)2 016,解得n1 007.答:原正方形能被分割成2 016個(gè)三角形,此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有1 007個(gè)點(diǎn)6解:(1)40(2)第一次拼成如圖1所示的圖案共用4塊地磚,42(12),第二拼成如圖2所示的圖案共用12塊地磚,122(23),第三次拼成如圖3所示的圖案共用24塊地磚,242(34),第四次拼成如圖4所示的圖案共用40塊地磚,402(45),.第n次拼成的圖案共用2n(n1)2(n2n)塊地磚7解:(1)3579(2)圖1中,當(dāng)ABC內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí),可分割成3個(gè)互不重疊的小三角形;圖2中,當(dāng)ABC內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)時(shí),可分割成5個(gè)互不重疊的小三角形;圖3中,當(dāng)ABC內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)時(shí),可分割成7個(gè)互不重疊的小三角形;當(dāng)ABC內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)時(shí),可分割成9個(gè)互不重疊的小三角形;.根據(jù)以上規(guī)律,當(dāng)ABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)(P1,P2,Pn)時(shí),可以把ABC分割成S2n1個(gè)互不重疊的小三角形,當(dāng)S2 019時(shí),2n12 019,n1 009.8解:(1)nn2(2)78解法提示由SnSn1n,SnSn1n2,得S12S1112,S12S11122,2S1212122156,S1278.SnSn1n,SnSn1n2,2Snn2n,Sn.- 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