2022高考數(shù)學(xué) 狠抓基礎(chǔ)題 專題05 不等式 文
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1、2022高考數(shù)學(xué) 狠抓基礎(chǔ)題 專題05 不等式 文
1.不等關(guān)系
(1)用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號的式子,叫做不等式.
(2)不等式的性質(zhì)
①實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系
a>b?;
;
ab,b>c?;(單向性)
可加性:a>b?a+c>b+c;(雙向性)
a>b,c>d?;(單向性)
可乘性:;(單向性)
a>b,c<0?ac
2、N,n≥2).(單向性) 注意:(1)應(yīng)用傳遞性時(shí),若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號而另一個(gè)不帶等號,則等號無法傳遞. (2)可乘性中,要特別注意“乘數(shù)c”的符號. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我們把只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式,有三種形式: 一般式:; 頂點(diǎn)式:; 兩根式:. (2)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系 判別式 的圖象 一元二次方程的根 有兩相異實(shí)根 有兩相等實(shí)根 沒有實(shí)數(shù)根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 (3)一元二次不等式的解法: 一化:把不等式
3、變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式. 二判:計(jì)算對應(yīng)方程的判別式. 三求:求出對應(yīng)的一元二次方程的根,或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根. 四寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集. (4) 一元二次不等式恒成立問題 ①恒成立的充要條件是:且. ②恒成立的充要條件是:且. ③恒成立的充要條件是:且. ④恒成立的充要條件是:且. ⑤恒成立的充要條件是:且或且. ⑥恒成立的充要條件是:且或且. 3.二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 (1)一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域,我們把直線畫成虛線,以表示區(qū)域不包括邊界.不等
4、式表示的平面區(qū)域包括邊界,把邊界畫成實(shí)線.能夠通過取特殊點(diǎn),由不等式的符號來確定不等式表示的平面區(qū)域.通常情況下取,若不等式相應(yīng)的直線過,則可在坐標(biāo)軸上取或. (2)簡單的線性規(guī)劃 ①解不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的一般步驟:根據(jù)給定的約束條件畫出相應(yīng)的可行域,考察目標(biāo)函數(shù)的特征,并根據(jù)其幾何意義確定使其取得最值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求最值. 通常情況下,給定的約束條件多為二元一次不等式組,常見的目標(biāo)函數(shù)有:型的線性目標(biāo)函數(shù);型的斜率型目標(biāo)函數(shù);型的兩點(diǎn)間距離型目標(biāo)函數(shù)等. ②使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一般是可行域邊界的交點(diǎn),求出交點(diǎn)坐標(biāo),并代入目標(biāo)函數(shù),可以快捷、準(zhǔn)確地計(jì)算最值,但要注意可
5、行域的邊界是否是實(shí)線. ③解含參數(shù)的線性規(guī)劃問題通常有以下兩種類型: i)條件不等式組中含有參數(shù),此時(shí)不能明確可行域的形狀,因此增加階梯式畫圖分析的難度.求解這類問題時(shí),要有全局觀,要能夠結(jié)合目標(biāo)函數(shù)取得最值的情況進(jìn)行逆向分析,利用目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所得的直線與約束條件所對應(yīng)的直線形成交點(diǎn),求解參數(shù). ii)目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參數(shù),旨在增加探索問題的動(dòng)態(tài)性和開放性.要能夠從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手,多圖形的動(dòng)態(tài)分析,對變化過程中的相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確定位,以此解決問題. 4.利用基本不等式求最值問題 (1)基本不等式:, 成立的條件: ①. ②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號. (2)利用基本不等式求最值問題
6、 ①如果積xy是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),x+y有最小值是.(簡記:積定和最小) ②如果和x+y是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),xy有最大值是.(簡記:和定積最大) (3)常用的不等式模型: ①基本不等式鏈:若,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立. ②若,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立. 一、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 【例1】設(shè),若1≤≤2,2≤≤4,則的取值范圍是________. 【答案】 【解析】設(shè)=m+n (m、n為待定系數(shù)), 則4a?2b=m(a?b)+n(a+b),即4a?2b=(m+n)a+(n?m)b, 于是得,解得. ∴=3+. 又∵1≤≤2,2≤≤4,∴5≤3+≤1
7、0, 即5≤≤10. 【名師點(diǎn)睛】(1)此類問題的一般解法:先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系,最后通過“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍;(2)求范圍問題如果多次利用不等式的性質(zhì)有可能擴(kuò)大變量取值范圍. 【例2】已知全集=,集合,則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題知,,,∴=, ∴,故選D. 【名師點(diǎn)睛】一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0),如果a與ax2+bx+c同號,則其解集在兩根之外;如果a與ax2+bx+c異號,則其解集在兩根之間.簡言之:同號兩根之外,異號兩根之間.求解時(shí)注意對二次
8、項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論. 【例3】不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】不等式移項(xiàng)得:,即, 可化為:或,解得, 則原不等式的解集為.故選B. 【名師點(diǎn)睛】對于分式不等式和高次不等式,它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 二、線性規(guī)劃 【例4】已知點(diǎn)x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為 A.5 B.6 C.7
9、 D.8 【答案】C 【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示, 作直線并平移知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值;當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),z取得最小值. 由,得,即A(2,3),故zmax=9. 由,得,即B(0,2),故zmin=2, 故z的最大值與最小值之差為7,選C. 【名師點(diǎn)睛】求解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn): (1)在可行解中,只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí),最優(yōu)解只有1個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線不與邊界平行時(shí),會在某個(gè)頂點(diǎn)處取得最值. (2)同時(shí)有多個(gè)可行解取得一樣的最
10、值時(shí),最優(yōu)解有多個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域,目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與某一邊界線平行時(shí),會有多個(gè)最優(yōu)解. (3)可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值,此時(shí)也就不存在最優(yōu)解. (4)形如z=Ax+By(B≠0),即,為該直線在y軸上的截距,z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍,至于z與截距能否同時(shí)取到最值,還要看B的符號. 【例5】已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?若直線:與區(qū)域D有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示, 因?yàn)椋灾本€過定點(diǎn)(1,),且斜率為,
11、如圖所示,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最小值; 當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最大值, 所以的取值范圍是,故選A. 【名師點(diǎn)睛】求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種: 一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用,根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)確定最值,通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍; 二是先分離含有參數(shù)的式子,通過觀察確定含參的式子所滿足的條件,確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù). 【例6】已知實(shí)數(shù)滿足約束條件則的取值范圍為 . 【答案】 【解析】依題意,. 作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示(含邊界). 表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率
12、, 觀察可知,,則,所以,所以, 故的取值范圍為. 【名師點(diǎn)睛】斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的一類重要問題,其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問題,不過是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見模型或其變形形式. 三、基本不等式 【例7】若x>0,y>0,且x+2y=1,則的最小值為_______________. 【答案】 【解析】因?yàn)閤+2y=1,x>0,y>0,所以=,當(dāng)且僅當(dāng),即,即時(shí)取等號. 故的最小值為. 【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值的注意點(diǎn): (1)要能夠通過恒等變形及配湊,使其“和”或“積”為定值; (2)要注意在正數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用基本不等式,同時(shí)等號成立的條件要驗(yàn)證.
13、
【例8】若實(shí)數(shù),且,則的最小值為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由基本不等式得
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,故選擇D.
【名師點(diǎn)睛】基本不等式的常用變形
(1)a+b≥2(a>0,b>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.
(2)a2+b2≥2ab,ab≤2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.
(3)+≥2(a,b同號且均不為零),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.
(4)a+≥2(a>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),等號成立;a+≤-2(a<0),當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時(shí),等號成立.
1.若a>b>0,c 14、
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)閏 15、2,+∞) B.(-∞,-6]
C.[-6,2] D.(-∞,-6]∪[2,+∞)
【答案】D
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集不是空集,所以,解得 或,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.
5.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,其前9項(xiàng)和,則的最小值為
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列,所以,即,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號,故選B.
6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足,則的最大值是
A.50 B.60
C.70 D.100
【答案】D
【解析 16、】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,
由得,平移直線,
易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),直線的縱截距最大,此時(shí)最大.
易得,所以.
故目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故選D.
7.已知函數(shù),,則的最小值是______________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,
故的最小值是.故填.
8.已知實(shí)數(shù)滿足記點(diǎn)圍成的封閉區(qū)域?yàn)椋舻淖畲笾禐?,則的面積為___________.
【答案】12
【解析】依題意,區(qū)域是以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界),
由圖易得,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),z有最大值8,即,解得,故點(diǎn)到直線的距離為,
而,故的面積為.
17、
9.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,記該不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?,且,,,現(xiàn)有如下說法:
①;②;③.
則上述說法正確的有__________.(橫線上填寫所有正確命題的序號)
【答案】①②
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.
對于,平移直線,可知在點(diǎn)處取得最大值,為;
在點(diǎn)處取得最小值,為,則 .
對于,它表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率,易知.
對于,它表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與的距離的平方,易知,
故①②正確,③錯(cuò)誤.
1.(2016新課標(biāo)全國Ⅱ文科)已知集合,則
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由得,所以,
因?yàn)?/p>
18、,所以,故選D.
2.(2017新課標(biāo)全國Ⅱ文科)設(shè)滿足約束條件則的最小值是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】繪制不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,
結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,最小值為.故選A.
3.(2018新課標(biāo)全國Ⅰ文科)若,滿足約束條件,則的最大值為_____________.
【答案】6
【解析】根據(jù)題中所給的約束條件,畫出其對應(yīng)的可行域,如圖所示:
由可得,畫出直線,
將其上下移動(dòng),結(jié)合的幾何意義,可知當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值,
由,解得,
此時(shí),故答案為6.
4.(2018新課標(biāo)全國Ⅱ文科)若滿足約束條件 則的最大值為__________.
【答案】9
【解析】畫出不等式組表示的可行域,如圖中陰影部分所示,
則目標(biāo)函數(shù)可化為,
由圖可知,當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),取得最大值,由得A(5,4),
則.
5.(2018新課標(biāo)全國Ⅲ文科)若變量滿足約束條件則的最大值是________.
【答案】3
【解析】作出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示:
目標(biāo)函數(shù),即,
平移直線,可知在點(diǎn)A處,取得最大值.
由解得.
則.
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