2022高中數(shù)學 第二章 推理與證明單元檢測 新人教B版選修2-2

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1、2022高中數(shù)學 第二章 推理與證明單元檢測 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.設S(n)=++++…+,則(  ). A.S(n)共有n項,當n=2時, B.S(n)共有n+1項,當n=2時, C.S(n)共有n2-n項,當n=2時, D.S(n)共有n2-n+1項,當n=2時, 2.某人在上樓梯時,一步上一個臺階或兩個臺階,設他從平地上到第一級臺階時有f(1)種走法,從平地上到第二級臺階時有f(2)種走法……則他從平地上到第n級(n≥3)臺階時的走法f(n)等于(  ). A.

2、f(n-1)+1 B.f(n-2)+2 C.f(n-2)+1 D.f(n-1)+f(n-2) 3.觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特點,問第100項為(  ). A.10 B.14 C.13 D.100 4.由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則: ①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xtm=x”類比得到“p≠0,a·p=x·pa=x”; ⑤

3、“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“”類比得到“”. 以上式子中,類比得到的結論正確的個數(shù)是(  ). A.1 B.2 C.3 D.4 5.命題“對任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(  ). A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.對任意的x∈R,x3-x2+1>0 6.證明命題:“在(0,+∞)上是增函數(shù)”.現(xiàn)給出的證法如下:因為.所以.因為x>0.所以ex>1,0<<1.所以ex->0即f′(x)>0.所以f(x)在(0

4、,+∞)上是增函數(shù),使用的證明方法是(  ). A.綜合法 B.分析法 C.反證法 D.以上都不是 7.“因為指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以是增函數(shù)(結論)”,上面推理的錯誤是(  ). A.大前提錯誤導致結論錯誤 B.小前提錯誤導致結論錯誤 C.推理形式錯誤導致結論錯誤 D.大前提和小前提都錯誤導致結論錯誤 8.,(m,n,a,b,c,d均為正數(shù)),則p,q的大小為(  ). A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不確定 9.對于直角坐標平面內的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2),定義它

5、們之間的一種“距離”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|. 給出下列三個命題: ①若點C在線段AB上,則||AC||+||CB||=||AB||; ②在△ABC中,若C=90°,則||AC||2+||CB||2=||AB||2; ③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||. 其中真命題的個數(shù)為(  ). A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若f(x)在區(qū)間[1,a](a>2)上單調遞增且f(x)>0,則以下不等式不一定成立的是(  ). A.f(a)>f(0) B.

6、 C. D. 二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上) 11.若符號“*”表示求實數(shù)a與b的算術平均數(shù)的運算,即,則兩邊均含有運算符號“*”和“+”,且對于任意3個實數(shù)a,b,c都能成立的一個等式可以是______________. 12.觀察下面的幾個算式,找出規(guī)律. 1+2+1=4; 1+2+3+2+1=9; 1+2+3+4+3+2+1=16; 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25. 利用上面的規(guī)律,請你迅速算出1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=________. 13.設n∈N+,則4×6n+5n+1除

7、以20的余數(shù)為______. 14.用反證法證明命題:“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內角和為180°相矛盾,∠A=∠B=90°不成立; ②所以一個三角形中不能有兩個直角; ③假設∠A,∠B,∠C中有兩個角是直角,不妨設∠A=∠B=90°.正確順序的序號排列為________. 15.用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中,由n=k推導n=k+1時,不等式的左邊增加的式子是________. 三、解答題(本大題共2小題,共25分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16.(10分)用分析法和綜

8、合法證明. 17.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=1,3Sn=(n+2)an,則是否存在實數(shù)a,b,c,使得an=an2+bn+c對一切n∈N+都成立?若存在,求出a,b,c;若不存在,說明理由. 參考答案 1. 答案:D 從n到n2共有n2-n+1個自然數(shù),即S(n)共有n2-n+1項. 2. 答案:D 要到達第n級臺階有兩種走法:(1)在第n-2級的基礎上到達;(2)在第n-1級的基礎上到達. 3. 答案:B 由于1有1個,2有2個,3有3個……則13有13個,所以1~13的總個數(shù)為,從而第100個數(shù)為14. 4. 答案:B 只有①②對,其余錯誤

9、5. 答案:C 6. 答案:A 從已知條件出發(fā)進行推證,為綜合法. 7. 答案:A 8. 答案:B q=≥==p 9. 答案:B?、佼旤cC在線段AB上時,可知||AC||+||CB||=||AB||,故①是正確的. ②取A(0,0),B(1,1),C(1,0),則||AC||2=1,||BC||2=1,||AB||2=(1+1)2=4,故②是不正確的. ③取A(0,0),B(1,1),C(1,0),可證明||AC||+||CB||=||AB||,故③不正確.故選B. 10. 答案:D ∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,又已知a>2,∴f(a)>f(1)>0=f(0)

10、,∴選項A成立;∵,∴選項B成立;當a>2時,1-3a<0,又f(x)為奇函數(shù),∴,f(-a)=-f(a),且, ∴選項C即=<0,∴選項C成立,對于選項D,有,由于a>2時,a-3的符號不確定,∴未必成立. 11. 答案:a+(b*c)=(a+b)*(a+c) 答案不唯一.因為a+(b*c)=,又(a+b)*(a+c)==,因此a+(b*c)=(a+b)*(a+c).同理:(a*b)+c=(a*c)+(b*c);a*(b+c)=(a+b)*c=(b+c)*a=(a+c)*b;(a*b)+c=(b*a)+c也符合題意. 12. 答案:10 000 觀察歸納中間數(shù)為2,結果為4=22;中間

11、數(shù)為3,結果為9=32;中間數(shù)為4,結果為16=42;于是中間數(shù)為100,結果應為1002=10 000. 13. 答案:9 取n=1,則4×6+52=24+25=49,被20除余數(shù)為9. 14. 答案:③①② 15. 答案: 不等式左邊增加的式子是=. 16. 答案:證法一:(分析法)要證,只需證log1930<log19192,即證30<192,又∵30<192恒成立,∴原不等式成立. 證法二:(綜合法)=log195+log193+log192=log1930<log19192=2. 17. 答案:分析:應用歸納、猜想、證明的方法求解. 解:假設滿足條件的a,b,c存在,將n=2,3代入3Sn=(n+2)an中,可得a2=3,a3=6,代入an=an2+bn+c,可得解得∴. 下面用數(shù)學歸納法證明:(1)當n=1時,a1=×12+×1=1,與已知符合.(2)假設當n=k時,結論成立,即ak=k2+k,則當n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=(k+3)ak+1-(k+2)ak,∴3ak+1=(k+3)ak+1-(k+2)ak.∴kak+1=(k+2)ak.∴ak+1====(k+1)2+(k+1),故當n=k+1時,結論也成立.綜合(1)和(2),知存在實數(shù),,c=0使得an=an2+bn+c對一切nN+都成立.

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