2022年高中數(shù)學 第三章 不等式學案 新人教A版必修5

2022年高中數(shù)學 第三章 不等式學案 新人教A版必修5不等關系與不等式提出問題在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠酥荆簡栴}1：你知道各圖中的標志有何作用？其含義是什么嗎？提示：最低限速：限制行駛時速v不得低于50公里；限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量G不得超過10 t；限制高度：裝載高度h不得超過3.5米；限制寬度：裝載寬度a不得超過3米；時間范圍：t7.5,10問題2：你能用一個數(shù)學式子表示上述關系嗎？如何表示？提示：v50；G10；h3.5；a3；7.5t10.導入新知不等式的概念我們用數(shù)學符號“”、“”、“”、“”、“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系含有這些不等號的式子叫做不等式化解疑難1不等關系強調(diào)的是關系，可用符號“”“”“”“”“”表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用“ab”“ab”“ab”“ab”“ab”等式子表示，不等關系是可以通過不等式來體現(xiàn)的。2不等式中文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超過符號語言兩實數(shù)大小的比較提出問題實數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，數(shù)軸上的每個點都表示一個實數(shù)，且右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大問題1：怎樣判斷兩個實數(shù)a、b的大?。刻崾荆喝鬭b是正數(shù)，則ab；若ab是負數(shù)，則a<b；若ab是零，則ab.問題2：你能否由問題1得出兩個實數(shù)比較大小的方法？提示：能通過兩個實數(shù)作差，判斷差的正負比較大小導入新知比較兩個實數(shù)a、b大小的依據(jù)文字語言符號表示如果ab，那么ab是正數(shù)；如果ab，那么ab是負數(shù)；如果ab，那么ab等于0，反之亦然a>bab>0a<bab<0abab0化解疑難1上面的“”表示“等價于”，即可以互相推出2“”右邊的式子反映了實數(shù)的運算性質(zhì)，左邊的式子反映的是實數(shù)的大小順序，二者結(jié)合起來即是實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關系.不等式的基本性質(zhì)提出問題問題1：若a>b，b>c，則a>c，對嗎？為什么？提示：正確a>b，b>c，ab>0，bc>0.(ab)(bc)>0.即ac>0.a>c.問題2：若ab，則acbc，對嗎？為什么？提示：正確ab，ab0，acbc0即acbc.問題3：若ab，則acbc，對嗎？試舉例說明提示：不一定正確，若a2，b1，c2正確c2時不正確導入新知不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>ca>c；(3)可加性：a>bac>bc.推論(同向可加性)：ac>bd；(4)可乘性：ac>bc；ac<bc；推論(同向同正可乘性)：ac>bd；(5)正數(shù)乘方性：a>b>0an>bn(nN*，n1)；(6)正數(shù)開方性：a>b>0>(nN*，n2)化解疑難1在應用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件不可強化或弱化成立的條件2要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是否具有可逆性用不等式(組)表示不等關系例1某礦山車隊有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式解設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛由題意得即類題通法用不等式表示不等關系的方法(1)認真審題，設出所求量，并確認所求量滿足的不等關系(2)找出體現(xiàn)不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等用代數(shù)式表示相應各量，并用關鍵詞連接特別需要考慮的是“”“”中的“”能否取到活學活用1用不等式(組)表示下列問題中的不等關系：(1)限速80 km/h的路標；(2)橋頭上限重10 噸的標志；(3)某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%.解：(1)設汽車行駛的速度為v km/h，則v80.(2)設汽車的重量為噸，則10.(3)比較兩數(shù)(式)的大小例2比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小：(1)x23與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2的大小解(1)(x23)2xx22x32220，x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0，且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.類題通法比較兩個代數(shù)式大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進行變形；(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設條件判斷差的符號；(4)作出結(jié)論這種比較大小的方法通常稱為作差比較法其思維過程：作差變形判斷符號結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提活學活用2比較x36x與x26的大小解：(x36x)(x26)x3x26x6x2(x1)6(x1)(x1)(x26)x260.當x1時，(x1)(x26)0，即x36xx26.當x1時，(x1)(x26)0，即x36xx26.當x1時，(x1)(x26)0，即x36xx26.不等式的性質(zhì)例3已知ab0，cd0，e0，求證：.證明cd0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e0，.類題通法利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用(2)應用不等式的性質(zhì)進行推導時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則. 活學活用3已知ab，mn，p0，求證：napmbp.證明：ab，又p0，apbp.apbp，又mn，即nm.napmbp.典例已知1a4,2b8.試求2a3b與ab的取值范圍解1a4,2b8，22a8,63b2482a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范圍是(8,32)，ab的取值范圍是(7,2)【探究一】利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍要注意：同向不等式的兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍【探究二】同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應用時，要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍，注意變形的等價性在本例條件下，求的取值范圍解2b8，而1a4，1×a·4×，即2.故的取值范圍是(，2)探究三不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號方向不變，同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變，求解中，應明確所乘數(shù)的正負例：已知6a8,2b3，求的取值范圍解：因6a8,2b3.，(1)當0a8時，04；(2)當6a0時，30.由(1)(2)得：34.探究四利用不等式性質(zhì)求范圍，應注意減少不等式使用次數(shù)例已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范圍解設a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，解得1，2.又(ab)，2(a2b)，所以a3b1.(注：本題可以利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解)隨堂即時演練1完成一項裝修工程，請木工共需付工資每人500無，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預算20 000元，設木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關系式是()A5x4y200B5x4y200C5x4y200D5x4y200解析：選D據(jù)題意知，500x400y20 000，即5x4y200，故選D.2若x2且y1，則Mx2y24x2y的值與5的大小關系是()AM5 BM5CM5DM5解析：選AM(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)20，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3如果ab，那么c2a與c2b中較大的是_解析：c2a(c2b)2b2a2(ba)0.答案：c2b4若10ab8，則|a|b的取值范圍是_解析：10a8，0|a|10，又10b8，10|a|b18.答案：(10,18)5(1)已知x1，比較3x3與3x2x1的大??；(2)若1ab0，試比較，a2，b2的大小解：(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1，x10.又3x210，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)1ab0，ab0，a2b20.ab0，a·b·0，即0，a2b2.課時達標檢測一、選擇題1設Mx2，Nx1，則M與N的大小關系是()AMN BMNCMND與x有關解析：選AMNx2x1(x)20.MN.2某校對高一美術生劃定錄取分數(shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式(組)表示就是()A.B.C. D解析：選D由題中x不低于95即x95，y高于380即y>380，z超過45即z>45.3若abcd0，且a0，bc，d0，則()Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0D0cb或cb0解析：選D由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.4設，則2的范圍是()A.BC. D解析：選D02，0，0，由同向不等式相加得到2.5已知：a，b，c，dR，則下列命題中必成立的是()A若ab，cb，則acB若ab，則cacbC若ab，cd，則D若a2b2，則ab解析：選B選項A，若a4，b2，c5，顯然不成立，選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如ab0，c0d時，不成立；選項D只有ab0時才可以否則如a1，b0時不成立，故選B.二、填空題6比較大?。篴2b2c2_2(abc)4.解析：a2b2c22(abc)4a2b2c22a2b2c4(a1)2(b1)2(c1)2110，故a2b2c22(abc)4.答案：7已知|a|1，則與1a的大小關系為_解析：由|a|1，得1a1.1a0,1a0.即01a21，1，1a.答案：1a8某公司有20名技術人員，計劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預計產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類7.5B類6今制定計劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應生產(chǎn)_件，最高產(chǎn)值為_萬元解析：設應開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50x)件，則20，解得x20.由題意，得總產(chǎn)值y7.5x6×(50x)3001.5x330，當且僅當x20時，y取最大值330.所以應開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元答案：20330三、解答題9某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人；每個工人的年工作時間約為2 100 h；預計此產(chǎn)品明年的銷售量至少為80 000袋；生產(chǎn)每袋需用4 h；生產(chǎn)每袋需用原料20 kg；年底庫存原料600 t，明年可補充1 200 t試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預測明年的產(chǎn)量解：設明年的產(chǎn)量為x袋，則，解得80 000x90 000.預計明年的產(chǎn)量在80 000到90 000袋之間10(1)ab0，求證：；(2)已知ab，求證：ab0.證明：(1)由于，ab0，ba0，ba0，ab0，0，故.(2)，0，即0，而ab，ba0，ab0._3.2一元二次不等式及其解法第一課時一元二次不等式及其解法一元二次不等式的概念提出問題觀察下列不等式：(1)x2>0；(2)x22x0；(3)x25x6>0.問題1：以上給出的3個不等式，它們含有幾個未知數(shù)？未知數(shù)的最高次數(shù)是多少？提示：它們只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是2.問題2：上述三個不等式在表達形式上有何共同特點？提示：形如ax2bxc>0(或0)，其中a，b，c為常數(shù)，且a0.導入新知1一元二次不等式我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集. 化解疑難1定義的簡單應用：判斷一個不等式是否為一元二次不等式，應嚴格按照定義去判斷，即未知數(shù)只有1個，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且最高次的系數(shù)不能為0.2解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式.一元二次不等式的解法提出問題已知：一元二次函數(shù)yx22x，一元二次方程x22x0，一元二次不等式x22x0.問題1：試求二次函數(shù)與x軸交點坐標提示：(0,0)、(2,0)問題2：一元二次方程根是什么？提示：x10，x22.問題3：問題1中的坐標與問題2中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？提示：交點的橫坐標為方程的根問題4：觀察二次函數(shù)圖象，x滿足什么條件，圖象在x軸上方？提示：x2或x0.問題5：能否利用問題4得出不等式x22x0，x22x0的解集？提示：能，不等式的解集為x|x2或x0，x|0x2導入新知一元二次不等式與相應的二次函數(shù)及一元二次方程的關系如表判別式b24ac>00<0一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2，(x1x2)有兩相等實根x1x2沒有實數(shù)根二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象ax2bxc>0(a>0)的解集或x>x2Rax2bxc<0(a>0)的解集化解疑難一元二次方程的根對應于二次函數(shù)圖象與x軸的交點，一元二次不等式的解對應于二次函數(shù)圖象在x軸上方(下方)，或在x軸上的點，由此得出二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點情況確定的一元二次不等式的圖象解法，這樣就形成了二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合的解一元二次不等式的方法一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x27x30；(2)x24x50；(3)4x218x0；(4)x23x50；(5)2x23x20.解(1)因為724×2×3250，所以方程2x27x30有兩個不等實根x13，x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為x|x，或x3(2)原不等式可化為(x5)(x1)0，所以原不等式的解集為x|1x5(3)原不等式可化為20，所以原不等式的解集為.(4)原不等式可化為x26x100，(6)24040，所以方程x26x100無實根，又二次函數(shù)yx26x10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.(5)原不等式可化為2x23x20，因為94×2×270，所以方程2x23x20無實根，又二次函數(shù)y2x23x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.類題通法解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；(2)計算對應方程的判別式；(3)求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集活學活用1解下列不等式：(1)x25x6>0；(2)x27x>6.(3)(2x)(x3)<0；(4)4(2x22x1)>x(4x)解：(1)方程x25x60的兩根為x11，x26.結(jié)合二次函數(shù)yx25x6的圖象知，原不等式的解集為x|x<1或x>6(2)原不等式可化為x27x6<0.解方程x27x60得，x11，x26.結(jié)合二次函數(shù)yx27x6的圖象知，原不等式的解集為x|1<x<6(3)原不等式可化為(x2)(x3)>0.方程(x2)(x3)0兩根為2和3.結(jié)合二次函數(shù)y(x2)(x3)的圖象知，原不等式的解集為x|x<3或x>2(4)由原不等式得8x28x4>4xx2.原不等式等價于9x212x4>0.解方程9x212x40，得x1x2.結(jié)合二次函數(shù)y9x212x4的圖象知，原不等式的解集為x|x.解含參數(shù)的一元二次不等式例2解關于x的不等式x2(1a)xa0.解方程x2(1a)xa0的解為x11，x2a，函數(shù)yx2(1a)xa的圖象開口向上，則當a1時，原不等式解集為x|ax1；當a1時，原不等式解集為；當a1時，原不等式解集為x|1xa類題通法解含參數(shù)的一元二次不等式時：(1)若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0與小于0進行討論；(2)若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式進行討論；(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論活學活用2解關于x的不等式：ax2(a1)x10(aR)解：原不等式可化為：(ax1)(x1)0，當a0時，x1，當a0時(x1)0x1.當a1時，x1，當1a0時，(x1)0，x或x1.當a1時，1，x1或x，綜上原不等式的解集是：當a0時，x|x1；當a0時，；當a1時，x|x1；當1a0時，.當a1時，一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的關系例3已知關于x的不等式x2axb0的解集為x|1x2，求關于x的不等式bx2ax10的解集解x2axb0的解集為x|1x2，1,2是x2axb0的兩根由韋達定理有得代入所求不等式，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x或x1.bx2ax10的解集為(1，)類題通法1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端點值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函數(shù)yax2bxc與x軸交點的橫坐標2二次函數(shù)yax2bxc的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化活學活用3已知方程ax2bx20的兩根為和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx10.解：(1)方程ax2bx20的兩根為和2，由根與系數(shù)的關系，得解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx10可變?yōu)?x23x10，即2x23x10，解得x1.不等式ax2bx10的解集為x|x1典例已知關于x的不等式ax2bxc0的解集是，求ax2bxc0的解集解題流程規(guī)范解答由題意，2，是方程ax2bxc0的兩個根，(2分)且a0，故，(4分)解得ac，bc.(6分)所以不等式ax2bxc0即為2x25x20，(8分)解得x2.即不等式ax2bxc0的解集為.(12分)名師批注 不注意判斷a的符號，誤認為a0. 學生常出現(xiàn)解集不用集合表示的失誤活學活用已知一元二次不等式x2pxq0的解集為，求不等式qx2px10的解集解：因為x2pxq0的解集為，所以x1與x2是方程x2pxq0的兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系得解得所以不等式qx2px10即為x2x10，整理得x2x60，解得2x3.即不等式qx2px10的解集為x|2x3隨堂即時演練1不等式x(2x)0的解集為()Ax|x0Bx|x2Cx|x2或x0Dx|0x2解析：選D原不等式化為x(x2)0，故0x2.2已知集合Mx|x23x280，Nx|x2x60，則MN為()Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x7Cx|x2或x3Dx|x2或x3解析：選AMx|x23x280x|4x7，Nx|x2x60x|x2或x3，MNx|4x2或3x73二次函數(shù)yx24x3在y0時x的取值范圍是_解析：由y0得x24x30，1x3答案：(1,3)4若不等式ax2bx20的解集為，則實數(shù)a_，實數(shù)b_.解析：由題意可知，2是方程ax2bx20的兩個根由根與系數(shù)的關系得解得a2，b3.答案：235解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解：(1)原不等式可化為x27x120，因為方程x27x120的兩根為x13，x24，所以原不等式的解集為x|3x4(2)原不等式可以化為x22x20，因為判別式4840，方程x22x20無實根，而拋物線yx22x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.課時達標檢測一、選擇題1下列不等式x20；x2x5；ax22；x35x60；mx25y0；ax2bxc0.其中是一元二次不等式的有()A5個 B4個C3個D2個解析：選D根據(jù)一元二次不等式的定義知正確2不等式9x26x10的解集是()A.BC D解析：選D不等式可化為(3x1)20，因此只有x，即解集為，故選D.3設集合Mx|x2x0，Nx|x|2，則()AMN BMNMCMNMDMNR解析：選B Mx|0x1，Nx|2x2，MN，即MNM.4關于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集是全體實數(shù)的條件是()A.BC. D解析：選D由于不等式ax2bxc0的解集為全體實數(shù)，所以，與之相對應的二次函數(shù)yax2bxc的圖象恒在x軸下方，則有5不等式x2|x|2<0的解集是()Ax|2<x<2 Bx|x<2或x>2Cx|1<x<1Dx|x<1或x>1解析：選A令t|x|，則原不等式可化為t2t2<0，即(t2)(t1)<0.t|x|0.t2<0.t<2.|x|<2，得2<x<2.二、填空題6不等式x(3x)x(x2)1的解集是_解析：原不等式即為3xx2x22x1，可化為2x2x10，由于判別式70，所以方程2x2x10無實數(shù)根，因此原不等式的解集是.答案：7不等式組的解集為_解析：由得0x1.答案：x|0x18已知2a10，關于x的不等式x24ax5a20的解集是_解析：方程x24ax5a20的兩個根為x1a，x25a，又2a10，即a，x1x2.故原不等式解集為x|5axa答案：x|5axa三、解答題9已知ax22xc0的解集為，試求a，c的值，并解不等式cx22xa0.解：由ax22xc0的解集是，知a0，且方程ax22xc0的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關系知解得a12，c2.此時，cx22xa0，即2x22x120，其解集為x|2x310解關于x的不等式：ax222xax(a<0)解：原不等式移項得ax2(a2)x20，化簡為(x1)(ax2)0.a<0，(x1)(x)0.當2<a<0時，x1；當a2時，x1；當a<2時，1x.綜上所述，當2<a<0時，解集為x|x1；當a2時，解集為x|x1；當a<2時，解集為x|1x第二課時一元二次不等式及其解法(習題課)1如何理解一元二次不等式的解集與二次函數(shù)和一元二次方程之間的關系？ 2判別式的值對一元二次不等式的解集有何影響？ 簡單的分式不等式例1解下列不等式(1)<0；(2)2.解(1)由<0，得>0，此不等式等價于(x2)(x1)>0，原不等式的解集為x|x<2或x>1(2)法一：移項得20，左邊通分并化簡有0，即0，它的同解不等式為x<2或x5.原不等式的解集為x|x<2或x5法二：原不等式可化為0，此不等式等價于或解得x5，解得x<2，原不等式的解集為x|x<2或x5類題通法1對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零2對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解活學活用1解下列不等式：(1)0；(2)>1.解：(1)原不等式等價于即2x<3.原不等式的解集為x|2x<3(2)原不等式可化為1>0，即<0.等價于(3x2)(4x3)<0.<x<.原不等式的解集為x|<x<.不等式中的恒成立問題例2關于x的不等式(1m)x2mxmx21對xR恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解原不等式等價于mx2mxm10，對xR恒成立，當m0時，0·x20·x10對xR恒成立當m0時，由題意，得m0.綜上，m的取值范圍為m0.類題通法不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2bxc0，它的解集為R的條件為一元二次不等式ax2bxc0，它的解集為R的條件為一元二次不等式ax2bxc0的解集為的條件為活學活用2若關于x的不等式ax22x20在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：當a0時，原不等式可化為2x20，其解集不為R，故a0不滿足題意，舍去；當a0時，要使原不等式的解集為R，只需解得a.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為.一元二次不等式的實際應用例3某農(nóng)貿(mào)公司按每擔200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購a萬擔，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個百分點，預測收購量可增加2x個百分點(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關系式；(2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍解(1)降低稅率后的稅率為(10x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(12x%)萬擔，收購總金額為200a(12x%)依題意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原計劃稅收為200a·10%20a(萬元)依題意得，a(1002x)(10x)20a×83.2%，化簡得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范圍是x|0x2類題通法用一元二次不等式解決實際問題的操作步驟是：(1)理解題意，搞清量與量之間的關系；(2)建立相應的不等關系，把實際問題抽象為數(shù)學中的一元二次不等式問題；(3)解這個一元二次不等式，得到實際問題的解活學活用3某校園內(nèi)有一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍解：設花卉帶的寬度為x m，則中間草坪的長為(8002x) m，寬為(6002x) m根據(jù)題意可得(8002x)(6002x)×800×600，整理得x2700x600×1000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合題意，舍去故所求花卉帶寬度的范圍為(0,100 m.典例已知f(x)x22(a2)x4，如果對一切xR，f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；解由題意可知，只有當二次函數(shù)f(x)x22(a2)x4的圖象與直角坐標系中的x軸無交點時，才滿足題意，則其相應方程x22(a2)40此時應滿足0，即4(a2)2160，解得0a4.故a的取值范圍是a|0a4【探究一】解決此類問題要注意三個“二次”之間的相互聯(lián)系，并能在一定條件下相互轉(zhuǎn)換，若一元二次不等式的解集為R或，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的范圍【探究二】若x2的系數(shù)為參數(shù)，應參考本節(jié)例2及變式的解法【探究三】對于xa，b，f(x)0(或0)恒成立，應利用函數(shù)圖象如：是否存在實數(shù)a，使得對任意x3,1，f(x)0恒成立若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由解若對任意，x3,1，f(x)0恒成立，則滿足題意的函數(shù)f(x)x22(a2)x4的圖象如圖所示由圖象可知，此時a應該滿足即解得這樣的實數(shù)a是不存在的，所以不存在實數(shù)a滿足：對任意x3,1，f(x)0恒成立【探究四】對此類問題，要弄清楚哪個是參數(shù)，哪個是自變量如：已知函數(shù)yx22(a2)x4，對任意a3,1，y0恒成立，試求x的取值范圍解：原函數(shù)可化為g(a)2xax24x4，是關于a的一元一次函數(shù)要使對任意a3,1，y0恒成立，只需滿足即因為x22x40的解集是空集，所以不存在實數(shù)x，使函數(shù)yx22(a2)x4，對任意a3,1，y0恒成立隨堂即時演練1若集合Ax|12x13，Bx|0，則AB()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x1解析：選BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12已知不等式x2ax40的解集為空集，則a的取值范圍是()A4a4 B4a4Ca4或a4Da4或a4解析：選A依題意應有a2160，解得4a4，故選A.3不等式3的解集為_解析：3300x(2x1)0且x0x<0或x.答案：4若函數(shù)f(x)log2(x22axa)的定義域為R，則a的取值范圍為_解析：已知函數(shù)定義域為R，即x22axa0對任意xR恒成立(2a)24a0.解得1a0.答案：(1,0)5你能用一根長為100 m的繩子圍成一個面積大于600 m2的矩形嗎？解：設圍成的矩形一邊的長為x m，則另一邊的長為(50x) m，且0x50.由題意，得圍成矩形的面積Sx(50x)600，即x250x6000，解得20x30.所以，當矩形一邊的長在(20,30)的范圍內(nèi)取值時，能圍成一個面積大于600 m2的矩形課時達標檢測一、選擇題1不等式0的解集是()A.BC. D解析：選A0(4x2)(3x1)0x或x，此不等式的解集為.2已知Ax|x2x60，Bx|xa0，AB，則a的取值范圍是()Aa3 Ba3Ca3Da3解析：選BAx|x2x60x|(x3)(x2)0x|2x3，Bx|xa0x|xa，因為AB，所以a3.故選B.3已知關于x的不等式axb>0的解集是(1，)，則關于x的不等式>0的解集是()A.BC. D解析：選A依題意，a>0且1.>0(axb)(x2)>0(x)(x2)>0，即(x1)(x2)>0x>2或x<1.4設集合Pm|1m0，QmR|mx24mx40對任意實數(shù)x恒成立，則下列關系式中成立的是()APQ BQPCPQDPQ解析：選A當m0時，40對任意實數(shù)xR恒成立；當m0時，由mx24mx40對任意實數(shù)xR恒成立可得解得1m0，綜上所述，Qm|1m0，PQ，故選A.5已知關于x的不等式x24xm對任意x(0,1恒成立，則有()Am3 Bm3C3m0Dm4解析：選A令f(x)x24x(x2)24，在(0,1上為減函數(shù)，當x1時，f(x)最小值3，所以m3.二、填空題6若a0，則不等式0的解集是_解析：原不等式可化為(x4a)(x5a)0，由于a0，所以4a5a，因此原不等式解集為x|x4a，或x5a答案：x|x4a，或x5a7若關于x的不等式mx2mx10的解集不是空集，則m的取值范圍是_解析：假設原不等式的解集為空集當m0時，原不等式化為10，此時不等式無解，滿足要求當m0時，即0m4.綜上可得0m4.故當原不等式的解集不是空集時，有m0或m4.答案：m0或m48有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升后再用水補滿，此時桶中的農(nóng)藥不超過容積的28%，則桶的容積的取值范圍是_解析：設桶的容積為x升，那么第一次倒出8升純農(nóng)藥液后，桶內(nèi)還有(x8)(x>8)升純農(nóng)藥液，用水補滿后，桶內(nèi)純農(nóng)藥液的濃度.第二次又倒出4升藥液，則倒出的純農(nóng)藥液為升，此時桶內(nèi)有純農(nóng)藥液(x8)升依題意，得(x8)28%·x.由于x>0，因而原不等式化簡為9x2150x4000，即(3x10)(3x40)0.解得x.又x>8，8<x.答案：(8，三、解答題9若不等式ax2bx10的解集是x|1x2(1)試求a、b的值；(2)求不等式0的解集解：(1)不等式ax2bx10的解集是x|1x2a0，且1和2是方程ax2bx10的兩根，由韋達定理可得于是得(2)由(1)得不等式0即為0，0，因此(x2)0，解得x2.即原不等式的解集是.10已知f(x)x22ax2，當x1，)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍解：法一：令g(x)f(x)ax22ax2a，x1，)，因此當x1，)時要使f(x)a恒成立，只要不等式x22ax2a0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象(如圖)4a24(2a)0或解得3a1.法二：f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa.當a(，1時，結(jié)合圖象知f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)最小值f(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)最小值a，即2a3a，解得3a1.當a(1，)時，f(x)最小值f(a)2a2，由2a2a，解得1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為3a1._3.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題3.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域二元一次不等式(組)提出問題給出以下兩個方程：2x3y60，x4y40.問題1：這兩個方程是什么類型的方程？它們的解有多少個？它們對應的幾何圖形是什么？提示：都是二元一次方程；都有無窮多解；對應的幾何圖形是直線問題2：若將上述方程變?yōu)椋?x3y60，x4y40.將得到什么？又有何特點？提示：得到兩個不等式，它們都含有2個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1.問題3：滿足不等式、的實數(shù)x、y存在嗎？若存在，試寫出兩組提示：都存在，滿足的(2,2)、(2,4)，滿足的(1,2)，(1,3)導入新知1二元一次不等式含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式2二元一次不等式組由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組3二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x、y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(x、y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集化解疑難二元一次不等式組要求由多于一個的二元一次不等式組成的不等式組，其中的不等式個數(shù)可以是二個、三個，當然也可以是多個.二元一次不等式表示平面區(qū)域提出問題已知直線l：xy10.問題1：點A(1,0)、B(1,1)、C(1,2)、D(0，2)、E(1，2)與直線l有何位置關系？提示：點A在直線l上，點B、C、D、E均不在直線l上問題2：通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，點B、C、D、E分別在直線l的哪個方向的區(qū)域內(nèi)？提示：點B、C在直線l的左上方，點D、E在直線l的右下方問題3：點B、C、D、E的坐標分別滿足下列哪個不等式？(1)xy1<0；(2)xy1>0.提示：點B、C的坐標滿足(1)，D、E的坐標滿足(2)問題4：滿足這兩個不等式的解有多少個？這些解對應的平面直角坐標系中的點在相應的直線上嗎？若不在直線上，它們在這條直線的同一側(cè)嗎？提示：這兩個不等式的解有無窮多個；它們對應的點不在直線上；而是在這條直線的同一側(cè)導入新知1二元一次不等式表示平面區(qū)域在平面直角坐標系中，二元一次不等式AxByC0表示直線AxByC0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界不等式AxByC0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線2二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定(1)直線AxByC0同一側(cè)的所有點的坐標(x，y)代入AxByC，所得的符號都相同(2)在直線AxByC0的一側(cè)取某個特殊點(x0，y0)，由Ax0By0C的符號可以斷定AxByC0表示的是直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域化解疑難確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法是“線定界，點定域”，定邊界時需分清虛實，定區(qū)域時常選原點(C0)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)2xy60；(2)解(1)如圖，先畫出直線2xy60，取原點O(0,0)代入2xy6中，2×01×0660，與點O在直線2xy60同一側(cè)的所有點(x，y)都滿足2xy60，因此2xy60表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)(2)先畫出直線xy50(畫成實線)，如圖，取原點O(0,0)代入xy5，00550，原點在xy50表示的平面區(qū)域內(nèi)，即xy50表示直線xy50上及其右下方的點的集合同理可得，xy0表示直線xy0上及其右上方的點的集合，x3表示直線x3上及其左方的點的集合右上圖中陰影部分就表示原不等式組的平面區(qū)域類題通法1在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時，應先畫出每個不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可其步驟為：畫線；定側(cè)；求“交”；表示2要判斷一個二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，只需在它所對應的直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)，從Ax0By0C的正負判定活學活用1畫出不等式組表示的平面區(qū)域解：不等式xy5表示直線xy50上及左下方的區(qū)域不等式x2y3表示直線x2y30右下方的區(qū)域不等式x2y0表示直線x2y0上及右上方的區(qū)域所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的面積例2不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A4B1C5D無窮大解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即為所求求出點A，B，C的坐標分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則ABC的面積為S×(21)×21.答案B類題通法求平面區(qū)域面積的方法求平面區(qū)域的面積，先畫