《2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式學(xué)案 新人教A版必修5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式學(xué)案 新人教A版必修5（67頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式學(xué)案 新人教A版必修5不等關(guān)系與不等式提出問題在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：問題1：你知道各圖中的標(biāo)志有何作用？其含義是什么嗎？提示：最低限速：限制行駛時(shí)速v不得低于50公里；限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量G不得超過10 t；限制高度：裝載高度h不得超過3.5米；限制寬度：裝載寬度a不得超過3米；時(shí)間范圍：t7.5,10問題2：你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？如何表示？提示：v50；G10；h3.5；a3；7.5t10.導(dǎo)入新知不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”、“”、“”、“”、“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式化解疑難
2、1不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“”“”“”“”“”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“ab”“ab”“ab”“ab”“ab”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的。2不等式中文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超過符號(hào)語言兩實(shí)數(shù)大小的比較提出問題實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大問題1：怎樣判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大?。刻崾荆喝鬭b是正數(shù)，則ab；若ab是負(fù)數(shù)，則abab0ababb，bc，則ac，對嗎？為什么？提示：正確ab，bc，ab
3、0，bc0.(ab)(bc)0.即ac0.ac.問題2：若ab，則acbc，對嗎？為什么？提示：正確ab，ab0，acbc0即acbc.問題3：若ab，則acbc，對嗎？試舉例說明提示：不一定正確，若a2，b1，c2正確c2時(shí)不正確導(dǎo)入新知不等式的性質(zhì)(1)對稱性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc.推論(同向可加性)：acbd；(4)可乘性：acbc；acbd；(5)正數(shù)乘方性：ab0anbn(nN*，n1)；(6)正數(shù)開方性：ab0(nN*，n2)化解疑難1在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件不可強(qiáng)化或弱化成立的條件2要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)是
4、否具有可逆性用不等式(組)表示不等關(guān)系例1某礦山車隊(duì)有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式解設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛由題意得即類題通法用不等式表示不等關(guān)系的方法(1)認(rèn)真審題，設(shè)出所求量，并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系(2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等用代數(shù)式表示相應(yīng)各量，并用關(guān)鍵詞連接特別需要考慮的是“”“”中的“”能否取到活學(xué)活用1用不等式(組)表示下列問題中的不等
5、關(guān)系：(1)限速80 km/h的路標(biāo)；(2)橋頭上限重10 噸的標(biāo)志；(3)某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%.解：(1)設(shè)汽車行駛的速度為v km/h，則v80.(2)設(shè)汽車的重量為噸，則10.(3)比較兩數(shù)(式)的大小例2比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?1)x23與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2的大小解(1)(x23)2xx22x32220，x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0，且ab，(ab)20，
6、ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.類題通法比較兩個(gè)代數(shù)式大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進(jìn)行變形；(3)判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)；(4)作出結(jié)論這種比較大小的方法通常稱為作差比較法其思維過程：作差變形判斷符號(hào)結(jié)論，其中變形是判斷符號(hào)的前提活學(xué)活用2比較x36x與x26的大小解：(x36x)(x26)x3x26x6x2(x1)6(x1)(x1)(x26)x260.當(dāng)x1時(shí)，(x1)(x26)0，即x36xx26.當(dāng)x1時(shí)，(x1)(x26)0，即x36xx26.當(dāng)x1時(shí)，(x1)(x26)0，即x3
7、6xx26.不等式的性質(zhì)例3已知ab0，cd0，e0，求證：.證明cd0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e0，.類題通法利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則. 活學(xué)活用3已知ab，mn，p0，求證：napmbp.證明：ab，又p0，apbp.apbp，又mn，即nm.napmbp.典例已知1a4,2b8.試求2a3b與
8、ab的取值范圍解1a4,2b8，22a8,63b2482a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范圍是(8,32)，ab的取值范圍是(7,2)【探究一】利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某個(gè)不等式的范圍要注意：同向不等式的兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍【探究二】同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價(jià)性在本例條件下，求的取值范圍解2b8，而1a4，1a4，即2.故的取值范圍是(，2)探究三不等式兩邊同乘以一個(gè)正
9、數(shù)，不等號(hào)方向不變，同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，求解中，應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù)例：已知6a8,2b3，求的取值范圍解：因6a8,2b3.，(1)當(dāng)0a8時(shí)，04；(2)當(dāng)6a0時(shí)，30.由(1)(2)得：34.探究四利用不等式性質(zhì)求范圍，應(yīng)注意減少不等式使用次數(shù)例已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范圍解設(shè)a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，解得1，2.又(ab)，2(a2b)，所以a3b1.(注：本題可以利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解)隨堂即時(shí)演練1完成一項(xiàng)裝修工程，請木工共需付工資每人500無，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，
10、則工人滿足的關(guān)系式是()A5x4y200B5x4y200C5x4y200D5x4y200解析：選D據(jù)題意知，500x400y20 000，即5x4y200，故選D.2若x2且y1，則Mx2y24x2y的值與5的大小關(guān)系是()AM5 BM5CM5DM5解析：選AM(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)20，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3如果ab，那么c2a與c2b中較大的是_解析：c2a(c2b)2b2a2(ba)0.答案：c2b4若10ab8，則|a|b的取值范圍是_解析：10a8，0|a|10，又10b8，10|a|b18.答案：(10,18
11、)5(1)已知x1，比較3x3與3x2x1的大?。?2)若1ab0，試比較，a2，b2的大小解：(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1，x10.又3x210，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)1ab0，ab0，a2b20.ab0，ab0，即0，a2b2.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1設(shè)Mx2，Nx1，則M與N的大小關(guān)系是()AMN BMNCMND與x有關(guān)解析：選AMNx2x1(x)20.MN.2某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式(組)表示就是()A.B
12、.C. D解析：選D由題中x不低于95即x95，y高于380即y380，z超過45即z45.3若abcd0，且a0，bc，d0，則()Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0D0cb或cb0解析：選D由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.4設(shè)，則2的范圍是()A.BC. D解析：選D02，0，0，由同向不等式相加得到2.5已知：a，b，c，dR，則下列命題中必成立的是()A若ab，cb，則acB若ab，則cacbC若ab，cd，則D若a2b2，則ab解析：選B選項(xiàng)A，若a4，b2，c5，顯然不成立，選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如ab0，c0d時(shí)，不成立；選項(xiàng)D只有ab0
13、時(shí)才可以否則如a1，b0時(shí)不成立，故選B.二、填空題6比較大?。篴2b2c2_2(abc)4.解析：a2b2c22(abc)4a2b2c22a2b2c4(a1)2(b1)2(c1)2110，故a2b2c22(abc)4.答案：7已知|a|1，則與1a的大小關(guān)系為_解析：由|a|1，得1a1.1a0,1a0.即01a21，1，1a.答案：1a8某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類7.5B類6今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)_件，最高產(chǎn)值為_萬元解析：設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類
14、電子器件(50x)件，則20，解得x20.由題意，得總產(chǎn)值y7.5x6(50x)3001.5x330，當(dāng)且僅當(dāng)x20時(shí)，y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元答案：20330三、解答題9某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人；每個(gè)工人的年工作時(shí)間約為2 100 h；預(yù)計(jì)此產(chǎn)品明年的銷售量至少為80 000袋；生產(chǎn)每袋需用4 h；生產(chǎn)每袋需用原料20 kg；年底庫存原料600 t，明年可補(bǔ)充1 200 t試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測明年的產(chǎn)量解：設(shè)明年的產(chǎn)量為x袋，則，解得80 000x90 000.預(yù)計(jì)明年的產(chǎn)量在80 00
15、0到90 000袋之間10(1)ab0，求證：；(2)已知ab，求證：ab0.證明：(1)由于，ab0，ba0，ba0，ab0，0，故.(2)，0，即0，而ab，ba0，ab0._3.2一元二次不等式及其解法第一課時(shí)一元二次不等式及其解法一元二次不等式的概念提出問題觀察下列不等式：(1)x20；(2)x22x0；(3)x25x60.問題1：以上給出的3個(gè)不等式，它們含有幾個(gè)未知數(shù)？未知數(shù)的最高次數(shù)是多少？提示：它們只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是2.問題2：上述三個(gè)不等式在表達(dá)形式上有何共同特點(diǎn)？提示：形如ax2bxc0(或0)，其中a，b，c為常數(shù)，且a0.導(dǎo)入新知1一元二次不等式我們
16、把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集. 化解疑難1定義的簡單應(yīng)用：判斷一個(gè)不等式是否為一元二次不等式，應(yīng)嚴(yán)格按照定義去判斷，即未知數(shù)只有1個(gè)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且最高次的系數(shù)不能為0.2解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式.一元二次不等式的解法提出問題已知：一元二次函數(shù)yx22x，一元二次方程x22x0，一元二次不等式
17、x22x0.問題1：試求二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)提示：(0,0)、(2,0)問題2：一元二次方程根是什么？提示：x10，x22.問題3：問題1中的坐標(biāo)與問題2中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？提示：交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的根問題4：觀察二次函數(shù)圖象，x滿足什么條件，圖象在x軸上方？提示：x2或x0.問題5：能否利用問題4得出不等式x22x0，x22x0的解集？提示：能，不等式的解集為x|x2或x0，x|0x2導(dǎo)入新知一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表判別式b24ac000)的根有兩相異實(shí)根x1，x2，(x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象ax2bxc0
18、(a0)的解集或xx2Rax2bxc0)的解集化解疑難一元二次方程的根對應(yīng)于二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，一元二次不等式的解對應(yīng)于二次函數(shù)圖象在x軸上方(下方)，或在x軸上的點(diǎn)，由此得出二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點(diǎn)情況確定的一元二次不等式的圖象解法，這樣就形成了二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合的解一元二次不等式的方法一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x27x30；(2)x24x50；(3)4x218x0；(4)x23x50；(5)2x23x20.解(1)因?yàn)?2423250，所以方程2x27x30有兩個(gè)不等實(shí)根x13，x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集
19、為x|x，或x3(2)原不等式可化為(x5)(x1)0，所以原不等式的解集為x|1x5(3)原不等式可化為20，所以原不等式的解集為.(4)原不等式可化為x26x100，(6)24040，所以方程x26x100無實(shí)根，又二次函數(shù)yx26x10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.(5)原不等式可化為2x23x20，因?yàn)?42270，所以方程2x23x20無實(shí)根，又二次函數(shù)y2x23x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.類題通法解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；(
20、4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集活學(xué)活用1解下列不等式：(1)x25x60；(2)x27x6.(3)(2x)(x3)x(4x)解：(1)方程x25x60的兩根為x11，x26.結(jié)合二次函數(shù)yx25x6的圖象知，原不等式的解集為x|x6(2)原不等式可化為x27x60.解方程x27x60得，x11，x26.結(jié)合二次函數(shù)yx27x6的圖象知，原不等式的解集為x|1x0.方程(x2)(x3)0兩根為2和3.結(jié)合二次函數(shù)y(x2)(x3)的圖象知，原不等式的解集為x|x2(4)由原不等式得8x28x44xx2.原不等式等價(jià)于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.結(jié)合二次
21、函數(shù)y9x212x4的圖象知，原不等式的解集為x|x.解含參數(shù)的一元二次不等式例2解關(guān)于x的不等式x2(1a)xa0.解方程x2(1a)xa0的解為x11，x2a，函數(shù)yx2(1a)xa的圖象開口向上，則當(dāng)a1時(shí)，原不等式解集為x|ax1；當(dāng)a1時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)a1時(shí)，原不等式解集為x|1xa類題通法解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0與小于0進(jìn)行討論；(2)若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式進(jìn)行討論；(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論活學(xué)活用2解關(guān)于x的不等式：ax2(a1)x10(aR)解：原不等式可化為：(ax
22、1)(x1)0，當(dāng)a0時(shí)，x1，當(dāng)a0時(shí)(x1)0x1.當(dāng)a1時(shí)，x1，當(dāng)1a0時(shí)，(x1)0，x或x1.當(dāng)a1時(shí)，1，x1或x，綜上原不等式的解集是：當(dāng)a0時(shí)，x|x1；當(dāng)a0時(shí)，；當(dāng)a1時(shí)，x|x1；當(dāng)1a0時(shí)，.當(dāng)a1時(shí)，一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系例3已知關(guān)于x的不等式x2axb0的解集為x|1x2，求關(guān)于x的不等式bx2ax10的解集解x2axb0的解集為x|1x2，1,2是x2axb0的兩根由韋達(dá)定理有得代入所求不等式，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x或x1.bx2ax10的解集為(1，)類題通法1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端點(diǎn)值是
23、一元二次方程ax2bxc0的根，也是函數(shù)yax2bxc與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2二次函數(shù)yax2bxc的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化活學(xué)活用3已知方程ax2bx20的兩根為和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx10.解：(1)方程ax2bx20的兩根為和2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx10可變?yōu)?x23x10，即2x23x10，解得x1.不等式ax2bx10的解集為x|x1典例已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集是，求ax2bxc
24、0的解集解題流程規(guī)范解答由題意，2，是方程ax2bxc0的兩個(gè)根，(2分)且a0，故，(4分)解得ac，bc.(6分)所以不等式ax2bxc0即為2x25x20，(8分)解得x2.即不等式ax2bxc0的解集為.(12分)名師批注 不注意判斷a的符號(hào)，誤認(rèn)為a0. 學(xué)生常出現(xiàn)解集不用集合表示的失誤活學(xué)活用已知一元二次不等式x2pxq0的解集為，求不等式qx2px10的解集解：因?yàn)閤2pxq0的解集為，所以x1與x2是方程x2pxq0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得解得所以不等式qx2px10即為x2x10，整理得x2x60，解得2x3.即不等式qx2px10的解集為x|2x3隨堂即時(shí)演練1不等
25、式x(2x)0的解集為()Ax|x0Bx|x2Cx|x2或x0Dx|0x2解析：選D原不等式化為x(x2)0，故0x2.2已知集合Mx|x23x280，Nx|x2x60，則MN為()Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x7Cx|x2或x3Dx|x2或x3解析：選AMx|x23x280x|4x7，Nx|x2x60x|x2或x3，MNx|4x2或3x73二次函數(shù)yx24x3在y0時(shí)x的取值范圍是_解析：由y0得x24x30，1x3答案：(1,3)4若不等式ax2bx20的解集為，則實(shí)數(shù)a_，實(shí)數(shù)b_.解析：由題意可知，2是方程ax2bx20的兩個(gè)根由根與系數(shù)的關(guān)系得解得a2，b3.答案：235解下
26、列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解：(1)原不等式可化為x27x120，因?yàn)榉匠蘹27x120的兩根為x13，x24，所以原不等式的解集為x|3x4(2)原不等式可以化為x22x20，因?yàn)榕袆e式4840，方程x22x20無實(shí)根，而拋物線yx22x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1下列不等式x20；x2x5；ax22；x35x60；mx25y0；ax2bxc0.其中是一元二次不等式的有()A5個(gè) B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)解析：選D根據(jù)一元二次不等式的定義知正確2不等式9x26x10的解集是()A.BC D解析：選D不等式可化為(3x1)20，因此只有
27、x，即解集為，故選D.3設(shè)集合Mx|x2x0，Nx|x|2，則()AMN BMNMCMNMDMNR解析：選B Mx|0x1，Nx|2x2，MN，即MNM.4關(guān)于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)的條件是()A.BC. D解析：選D由于不等式ax2bxc0的解集為全體實(shí)數(shù)，所以，與之相對應(yīng)的二次函數(shù)yax2bxc的圖象恒在x軸下方，則有5不等式x2|x|20的解集是()Ax|2x2 Bx|x2Cx|1x1Dx|x1解析：選A令t|x|，則原不等式可化為t2t20，即(t2)(t1)0.t|x|0.t20.t2.|x|2，得2x2.二、填空題6不等式x(3x)x(x2)1的解集是_解
28、析：原不等式即為3xx2x22x1，可化為2x2x10，由于判別式70，所以方程2x2x10無實(shí)數(shù)根，因此原不等式的解集是.答案：7不等式組的解集為_解析：由得0x1.答案：x|0x18已知2a10，關(guān)于x的不等式x24ax5a20的解集是_解析：方程x24ax5a20的兩個(gè)根為x1a，x25a，又2a10，即a，x1x2.故原不等式解集為x|5axa答案：x|5axa三、解答題9已知ax22xc0的解集為，試求a，c的值，并解不等式cx22xa0.解：由ax22xc0的解集是，知a0，且方程ax22xc0的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知解得a12，c2.此時(shí)，cx22xa0，即2x22
29、x120，其解集為x|2x310解關(guān)于x的不等式：ax222xax(a0)解：原不等式移項(xiàng)得ax2(a2)x20，化簡為(x1)(ax2)0.a0，(x1)(x)0.當(dāng)2a0時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，1x.綜上所述，當(dāng)2a0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)a2時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)a2時(shí)，解集為x|1x第二課時(shí)一元二次不等式及其解法(習(xí)題課)1如何理解一元二次不等式的解集與二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系？ 2判別式的值對一元二次不等式的解集有何影響？ 簡單的分式不等式例1解下列不等式(1)0；(2)2.解(1)由0，此不等式等價(jià)于(x2)(x1)0，原不等式的解集為x|x1(2)法一：移項(xiàng)得
30、20，左邊通分并化簡有0，即0，它的同解不等式為x2或x5.原不等式的解集為x|x2或x5法二：原不等式可化為0，此不等式等價(jià)于或解得x5，解得x2，原不等式的解集為x|x1.解：(1)原不等式等價(jià)于即2x3.原不等式的解集為x|2x0，即0.等價(jià)于(3x2)(4x3)0.x.原不等式的解集為x|x.不等式中的恒成立問題例2關(guān)于x的不等式(1m)x2mxmx21對xR恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解原不等式等價(jià)于mx2mxm10，對xR恒成立，當(dāng)m0時(shí)，0x20x10對xR恒成立當(dāng)m0時(shí)，由題意，得m0.綜上，m的取值范圍為m0.類題通法不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次
31、不等式ax2bxc0，它的解集為R的條件為一元二次不等式ax2bxc0，它的解集為R的條件為一元二次不等式ax2bxc0的解集為的條件為活學(xué)活用2若關(guān)于x的不等式ax22x20在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為2x20，其解集不為R，故a0不滿足題意，舍去；當(dāng)a0時(shí)，要使原不等式的解集為R，只需解得a.綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為.一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例3某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)
32、(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍解(1)降低稅率后的稅率為(10x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(12x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(12x%)依題意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原計(jì)劃稅收為200a10%20a(萬元)依題意得，a(1002x)(10x)20a83.2%，化簡得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范圍是x|0x2類題通法用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟是：(1)理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)
33、系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；(3)解這個(gè)一元二次不等式，得到實(shí)際問題的解活學(xué)活用3某校園內(nèi)有一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍解：設(shè)花卉帶的寬度為x m，則中間草坪的長為(8002x) m，寬為(6002x) m根據(jù)題意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合題意，舍去故所求花卉帶寬度的范圍為(0,100 m.典例已知f(x)x2
34、2(a2)x4，如果對一切xR，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解由題意可知，只有當(dāng)二次函數(shù)f(x)x22(a2)x4的圖象與直角坐標(biāo)系中的x軸無交點(diǎn)時(shí)，才滿足題意，則其相應(yīng)方程x22(a2)40此時(shí)應(yīng)滿足0，即4(a2)2160，解得0a4.故a的取值范圍是a|0a4【探究一】解決此類問題要注意三個(gè)“二次”之間的相互聯(lián)系，并能在一定條件下相互轉(zhuǎn)換，若一元二次不等式的解集為R或，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍【探究二】若x2的系數(shù)為參數(shù)，應(yīng)參考本節(jié)例2及變式的解法【探究三】對于xa，b，f(x)0(或0)恒成立，應(yīng)利
35、用函數(shù)圖象如：是否存在實(shí)數(shù)a，使得對任意x3,1，f(x)0恒成立若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由解若對任意，x3,1，f(x)0恒成立，則滿足題意的函數(shù)f(x)x22(a2)x4的圖象如圖所示由圖象可知，此時(shí)a應(yīng)該滿足即解得這樣的實(shí)數(shù)a是不存在的，所以不存在實(shí)數(shù)a滿足：對任意x3,1，f(x)0恒成立【探究四】對此類問題，要弄清楚哪個(gè)是參數(shù)，哪個(gè)是自變量如：已知函數(shù)yx22(a2)x4，對任意a3,1，y0恒成立，試求x的取值范圍解：原函數(shù)可化為g(a)2xax24x4，是關(guān)于a的一元一次函數(shù)要使對任意a3,1，y0恒成立，只需滿足即因?yàn)閤22x40的解集是空集，所以不存在實(shí)數(shù)x，使
36、函數(shù)yx22(a2)x4，對任意a3,1，y0恒成立隨堂即時(shí)演練1若集合Ax|12x13，Bx|0，則AB()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x1解析：選BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12已知不等式x2ax40的解集為空集，則a的取值范圍是()A4a4 B4a4Ca4或a4Da4或a4解析：選A依題意應(yīng)有a2160，解得4a4，故選A.3不等式3的解集為_解析：3300x(2x1)0且x0x0的解集是(1，)，則關(guān)于x的不等式0的解集是()A.BC. D解析：選A依題意，a0且1.0(axb)(x2)0(x)(x2)0，即(x1)(x2)0x2或x8)升純農(nóng)藥液，用水補(bǔ)
37、滿后，桶內(nèi)純農(nóng)藥液的濃度.第二次又倒出4升藥液，則倒出的純農(nóng)藥液為升，此時(shí)桶內(nèi)有純農(nóng)藥液(x8)升依題意，得(x8)28%x.由于x0，因而原不等式化簡為9x2150x4000，即(3x10)(3x40)0.解得x.又x8，8x.答案：(8，三、解答題9若不等式ax2bx10的解集是x|1x2(1)試求a、b的值；(2)求不等式0的解集解：(1)不等式ax2bx10的解集是x|1x2a0，且1和2是方程ax2bx10的兩根，由韋達(dá)定理可得于是得(2)由(1)得不等式0即為0，0，因此(x2)0，解得x2.即原不等式的解集是.10已知f(x)x22ax2，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取
38、值范圍解：法一：令g(x)f(x)ax22ax2a，x1，)，因此當(dāng)x1，)時(shí)要使f(x)a恒成立，只要不等式x22ax2a0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象(如圖)4a24(2a)0或解得3a1.法二：f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa.當(dāng)a(，1時(shí)，結(jié)合圖象知f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)最小值f(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)最小值a，即2a3a，解得3a1.當(dāng)a(1，)時(shí)，f(x)最小值f(a)2a2，由2a2a，解得1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為3a1._3.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題3.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域二元
39、一次不等式(組)提出問題給出以下兩個(gè)方程：2x3y60，x4y40.問題1：這兩個(gè)方程是什么類型的方程？它們的解有多少個(gè)？它們對應(yīng)的幾何圖形是什么？提示：都是二元一次方程；都有無窮多解；對應(yīng)的幾何圖形是直線問題2：若將上述方程變?yōu)椋?x3y60，x4y40.將得到什么？又有何特點(diǎn)？提示：得到兩個(gè)不等式，它們都含有2個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1.問題3：滿足不等式、的實(shí)數(shù)x、y存在嗎？若存在，試寫出兩組提示：都存在，滿足的(2,2)、(2,4)，滿足的(1,2)，(1,3)導(dǎo)入新知1二元一次不等式含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式2二元一次不等式組由幾個(gè)二元一次不等
40、式組成的不等式組稱為二元一次不等式組3二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x、y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(x、y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集化解疑難二元一次不等式組要求由多于一個(gè)的二元一次不等式組成的不等式組，其中的不等式個(gè)數(shù)可以是二個(gè)、三個(gè)，當(dāng)然也可以是多個(gè).二元一次不等式表示平面區(qū)域提出問題已知直線l：xy10.問題1：點(diǎn)A(1,0)、B(1,1)、C(1,2)、D(0，2)、E(1，2)與直線l有何位置關(guān)系？提示：點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B、C、D、E均不在直線l上問題2：通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)B、C、D、E分
41、別在直線l的哪個(gè)方向的區(qū)域內(nèi)？提示：點(diǎn)B、C在直線l的左上方，點(diǎn)D、E在直線l的右下方問題3：點(diǎn)B、C、D、E的坐標(biāo)分別滿足下列哪個(gè)不等式？(1)xy10.提示：點(diǎn)B、C的坐標(biāo)滿足(1)，D、E的坐標(biāo)滿足(2)問題4：滿足這兩個(gè)不等式的解有多少個(gè)？這些解對應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)在相應(yīng)的直線上嗎？若不在直線上，它們在這條直線的同一側(cè)嗎？提示：這兩個(gè)不等式的解有無窮多個(gè)；它們對應(yīng)的點(diǎn)不在直線上；而是在這條直線的同一側(cè)導(dǎo)入新知1二元一次不等式表示平面區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式AxByC0表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界不等式AxByC0
42、表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線2二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定(1)直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)代入AxByC，所得的符號(hào)都相同(2)在直線AxByC0的一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，由Ax0By0C的符號(hào)可以斷定AxByC0表示的是直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域化解疑難確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法是“線定界，點(diǎn)定域”，定邊界時(shí)需分清虛實(shí)，定區(qū)域時(shí)常選原點(diǎn)(C0)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)2xy60；(2)解(1)如圖，先畫出直線2xy60，取原點(diǎn)O(0,0)代入2xy6中，2010660，與點(diǎn)O在直
43、線2xy60同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)都滿足2xy60，因此2xy60表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)(2)先畫出直線xy50(畫成實(shí)線)，如圖，取原點(diǎn)O(0,0)代入xy5，00550，原點(diǎn)在xy50表示的平面區(qū)域內(nèi)，即xy50表示直線xy50上及其右下方的點(diǎn)的集合同理可得，xy0表示直線xy0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線x3上及其左方的點(diǎn)的集合右上圖中陰影部分就表示原不等式組的平面區(qū)域類題通法1在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可其步驟為：畫線；定側(cè)；求“交”；表示2要判斷一個(gè)二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，只需在它所對應(yīng)的直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，從Ax0By0C的正負(fù)判定活學(xué)活用1畫出不等式組表示的平面區(qū)域解：不等式xy5表示直線xy50上及左下方的區(qū)域不等式x2y3表示直線x2y30右下方的區(qū)域不等式x2y0表示直線x2y0上及右上方的區(qū)域所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的面積例2不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A4B1C5D無窮大解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即為所求求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則ABC的面積為S(21)21.答案B類題通法求平面區(qū)域面積的方法求平面區(qū)域的面積，先畫
2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式學(xué)案 新人教A版必修5
