2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 小專題(八)圓中常見輔助線的作法練習(xí) (新版)湘教版
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2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 小專題(八)圓中常見輔助線的作法練習(xí) (新版)湘教版
2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 小專題(八)圓中常見輔助線的作法練習(xí) (新版)湘教版圓中常見輔助線的添加口訣及技巧半徑與弦長計算,弦心距來中間站圓上若有一切線,切點圓心半徑連要想證明是切線,半徑垂線仔細(xì)辨是直徑,成半圓,想成直角徑連弦弧有中點圓心連,垂徑定理要記全圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連還要作個內(nèi)切圓,內(nèi)角平分線夢圓三角形與扇形聯(lián)姻,巧妙陰影部分算一、連半徑構(gòu)造等腰三角形1如圖,在O中,AB為O的弦,C,D是直線AB上的兩點,且ACBD.求證:OCD是等腰三角形證明:連接OA,OB.OA,OB是O的半徑,OAOB.OABOBA.OACOBD.在AOC和BOD中,AOCBOD(SAS)OCOD,即OCD是等腰三角形二、半徑與弦長計算,弦心距來中間站 在圓中,求弦長、半徑或圓心到弦的距離時,常過圓心作弦的垂線段,再連接半徑構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理進(jìn)行計算在弦長、弦心距、半徑三個量中,已知任意兩個可求另一個2如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1 m,其中水面的寬AB為0.8 m,求排水管內(nèi)水的深度解:過點O作OCAB,垂足為C,交O于點D,E,連接OA.OA0.5 m,AB0.8 m.OCAB,ACBC0.4 m.在RtAOC中,OA2AC2OC2,OC0.3 m,則CE0.30.50.8(m)答:排水管內(nèi)水的深度為0.8m.三、見到直徑構(gòu)造直徑所對的圓周角 構(gòu)造直徑所對的圓周角,這是圓中常用的輔助線作法,可充分利用“半圓(或直徑)所對的圓周角是直角”這一性質(zhì)3如圖,AB為O的直徑,弦CD與AB相交于點E.ACD60°,ADC50°,求CEB的度數(shù)解:連接BD.AB為O的直徑,ADB90°.又ADC50°,CDBADBADC40°.CDBCAB40°.CEBCABACD40°60°100°.四、有圓的切線時,常常連接圓心和切點得切線垂直于半徑 已知圓的切線時,常把切點與圓心連接起來,得半徑與切線垂直,構(gòu)造直角三角形,再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題4如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于點H,過CD延長線上一點E作O的切線交AB的延長線于點F,切點為G,連接AG交CD于點K.求證:KEGE.證明:連接OG.FE切O于點G,OGE90°.OGAAGE90°.CDAB,OAKAKH90°.又AKHGKE,OAKGKE90°.OGOA,OGAOAG.KGEGKE.KEGE.五、“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”判定直線與圓相切 證明一條直線是圓的切線,當(dāng)直線與圓有公共點時,只需“連半徑、證垂直”即可;當(dāng)已知條件中沒有指出圓與直線有公共點時,常運(yùn)用“dr”進(jìn)行判斷,輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線,證明垂線段的長等于半徑5如圖,點A,B,C分別是O上的點,B60°,AC3,CD是O的直徑,P是CD延長線上的一點,且APAC.求證:AP是O的切線證明:連接OA. B60°,AOC2B120°.又OAOC,ACPCAO30°.AOP60°.又ACAP,PACP30°.OAP90°.OAAP.又OA為O的半徑,AP是O的切線6如圖,ABC為等腰三角形,ABAC,O是底邊BC的中點,O與腰AB相切于點D,求證:AC與O相切證明:連接OD,過點O作OEAC于點E,則OEC90°.AB切O于點D,ODAB.ODB90°.ODBOEC.又O是BC的中點,OBOC.ABAC,BC.OBDOCE(AAS)OEOD,即OE是O的半徑AC與O相切六、內(nèi)切圓,連接內(nèi)角平分線把夢圓 利用內(nèi)心與頂點的連線平分這個內(nèi)角以及三角形的外角,同弧所對的圓周角相等進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換7如圖,在ABC中,E是內(nèi)心,AE的延長線交ABC的外接圓于點D.求證:DEDB.證明:連接BE.E為ABC的內(nèi)心,ABECBE,BADDAC.DEBABEBAD,DBECBEDBC,而DBCDACBAD,DEBDBE.DEDB.七、構(gòu)造扇形與三角形,化不規(guī)則圖形的面積為規(guī)則圖形的面積 通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形,在等積轉(zhuǎn)化中,(1)可以根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱等圖形變換;(2)可根據(jù)同底(等底)同高(等高)的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化8如圖,A是半徑為2的O外一點,OA4,AB是O的切線,B為切點,弦BCOA,連接AC,求陰影部分的面積解:連接OB,OC.BCOA,OBC和ABC同底等高SABCSOBC.S陰影S扇形OBC.AB是O的切線,OBAB.OA4,OB2,AOB60°.BCOA,AOBOBC60°.OBOC,OBC為等邊三角形COB60°.S陰影S扇形OBC.