2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 小專題（八）圓中常見輔助線的作法練習(xí) （新版）湘教版

2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 小專題（八）圓中常見輔助線的作法練習(xí) （新版）湘教版圓中常見輔助線的添加口訣及技巧半徑與弦長計算，弦心距來中間站圓上若有一切線，切點圓心半徑連要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨是直徑，成半圓，想成直角徑連弦弧有中點圓心連，垂徑定理要記全圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連還要作個內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓三角形與扇形聯(lián)姻，巧妙陰影部分算一、連半徑構(gòu)造等腰三角形1如圖，在O中，AB為O的弦，C，D是直線AB上的兩點，且ACBD.求證：OCD是等腰三角形證明：連接OA，OB.OA，OB是O的半徑，OAOB.OABOBA.OACOBD.在AOC和BOD中，AOCBOD(SAS)OCOD，即OCD是等腰三角形二、半徑與弦長計算，弦心距來中間站 在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常過圓心作弦的垂線段，再連接半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計算在弦長、弦心距、半徑三個量中，已知任意兩個可求另一個2如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1 m，其中水面的寬AB為0.8 m，求排水管內(nèi)水的深度解：過點O作OCAB，垂足為C，交O于點D，E，連接OA.OA0.5 m，AB0.8 m.OCAB，ACBC0.4 m.在RtAOC中，OA2AC2OC2，OC0.3 m，則CE0.30.50.8(m)答：排水管內(nèi)水的深度為0.8m.三、見到直徑構(gòu)造直徑所對的圓周角 構(gòu)造直徑所對的圓周角，這是圓中常用的輔助線作法，可充分利用“半圓(或直徑)所對的圓周角是直角”這一性質(zhì)3如圖，AB為O的直徑，弦CD與AB相交于點E.ACD60°，ADC50°，求CEB的度數(shù)解：連接BD.AB為O的直徑，ADB90°.又ADC50°，CDBADBADC40°.CDBCAB40°.CEBCABACD40°60°100°.四、有圓的切線時，常常連接圓心和切點得切線垂直于半徑 已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題4如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點H，過CD延長線上一點E作O的切線交AB的延長線于點F，切點為G，連接AG交CD于點K.求證：KEGE.證明：連接OG.FE切O于點G，OGE90°.OGAAGE90°.CDAB，OAKAKH90°.又AKHGKE，OAKGKE90°.OGOA，OGAOAG.KGEGKE.KEGE.五、“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”判定直線與圓相切 證明一條直線是圓的切線，當(dāng)直線與圓有公共點時，只需“連半徑、證垂直”即可；當(dāng)已知條件中沒有指出圓與直線有公共點時，常運(yùn)用“dr”進(jìn)行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑5如圖，點A，B，C分別是O上的點，B60°，AC3，CD是O的直徑，P是CD延長線上的一點，且APAC.求證：AP是O的切線證明：連接OA. B60°，AOC2B120°.又OAOC，ACPCAO30°.AOP60°.又ACAP，PACP30°.OAP90°.OAAP.又OA為O的半徑，AP是O的切線6如圖，ABC為等腰三角形，ABAC，O是底邊BC的中點，O與腰AB相切于點D，求證：AC與O相切證明：連接OD，過點O作OEAC于點E，則OEC90°.AB切O于點D，ODAB.ODB90°.ODBOEC.又O是BC的中點，OBOC.ABAC，BC.OBDOCE(AAS)OEOD，即OE是O的半徑AC與O相切六、內(nèi)切圓，連接內(nèi)角平分線把夢圓 利用內(nèi)心與頂點的連線平分這個內(nèi)角以及三角形的外角，同弧所對的圓周角相等進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換7如圖，在ABC中，E是內(nèi)心，AE的延長線交ABC的外接圓于點D.求證：DEDB.證明：連接BE.E為ABC的內(nèi)心，ABECBE，BADDAC.DEBABEBAD，DBECBEDBC，而DBCDACBAD，DEBDBE.DEDB.七、構(gòu)造扇形與三角形，化不規(guī)則圖形的面積為規(guī)則圖形的面積 通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，在等積轉(zhuǎn)化中，(1)可以根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱等圖形變換；(2)可根據(jù)同底(等底)同高(等高)的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化8如圖，A是半徑為2的O外一點，OA4，AB是O的切線，B為切點，弦BCOA，連接AC，求陰影部分的面積解：連接OB，OC.BCOA，OBC和ABC同底等高SABCSOBC.S陰影S扇形OBC.AB是O的切線，OBAB.OA4，OB2，AOB60°.BCOA，AOBOBC60°.OBOC，OBC為等邊三角形COB60°.S陰影S扇形OBC.