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1、2022屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 小專題(一)求二次函數(shù)的表達(dá)式練習(xí) (新版)湘教版
類型1 已知二次函數(shù)的表達(dá)式,確定各項(xiàng)的系數(shù)
1.若拋物線y=-ax2-4ax-經(jīng)過點(diǎn)(-3,0),則該拋物線的表達(dá)式是 (C)
A.y=x2-x- B.y=-x2+x-
C.y=-x2-x- D.y=x2+x-
2.已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-3),且該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)A,則該拋物線的表達(dá)式為(A)
A.y=x2+2x B.y=-x2+2x
C.y=x2-2x D.y=-x2-2x
3.已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)
2、為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),則該拋物線的表達(dá)式是y=x2-2x-3.
4.如圖,已知拋物線y=ax2-x+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn),并與直線y=x-2交于B,C兩點(diǎn),其中點(diǎn)C是直線y=x-2與y軸的交點(diǎn),求拋物線的表達(dá)式.
解:∵直線y=x-2交x軸,y軸于B,C兩點(diǎn),
∴B(4,0),C(0,-2).
∵y=ax2-x+c經(jīng)過點(diǎn)B,C,
∴解得
∴y=x2-x-2.
類型2 利用“三點(diǎn)式”求二次函數(shù)的表達(dá)式
若已知二次函數(shù)圖象上任意三點(diǎn)的坐標(biāo),則可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c.
5.已知:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2
3、+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(2,-3),C(0,-3),則拋物線的表達(dá)式是y=x2-2x-3.
6.將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C,A分別在x軸、y軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,C及點(diǎn)B(-3,0).求該拋物線的表達(dá)式.
解:設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0).
∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,6),B(-3,0),C(6,0),
∴解得
∴該拋物線的表達(dá)式為y=-x2+x+6.
類型3 利用“頂點(diǎn)式”求二次函數(shù)的表達(dá)式
如果已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)和圖象上的另一點(diǎn),那么設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-
4、h)2+k;如果已知對(duì)稱軸、最大值(最小值)或者二次函數(shù)的增減性,那么考慮利用“頂點(diǎn)式”.
7.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,10),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),則此二次函數(shù)的表達(dá)式為(A)
A.y=3x2+6x+1 B.y=3x2+6x-1
C.y=3x2-6x+1 D.y=-3x2-6x+1
8.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),且與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離為1,則該函數(shù)的表達(dá)式為y=-2(x+1)2+3或y=-4(x+1)2+3.
9.如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,6),對(duì)稱軸為直線x=2,求二次函數(shù)的表達(dá)式并寫出圖
5、象最低點(diǎn)的坐標(biāo).
解:設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-2)2+k,
把A(1,0),C(0,6)代入,得
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2(x-2)2-2=2x2-8x+6,二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).
類型4 利用“交點(diǎn)式”求二次函數(shù)的表達(dá)式
如果已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0),那么設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-x1)(x-x2).
10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B,C分別為坐標(biāo)軸上的三個(gè)點(diǎn),且OA=1,OB=3,OC=4,則經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=-(x+4)(x-1).
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6、.已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=2,且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6,與y軸交點(diǎn)為(0,-2),求此二次函數(shù)的表達(dá)式.
解:∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6,
∴拋物線與x軸的兩交點(diǎn)為(-1,0),(5,0).
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+1)(x-5).
將點(diǎn)(0,-2)代入上式,得-2=a(0+1)×(0-5),
∴a=.
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(x+1)(x-5),
即y=x2-x-2.
類型5 利用“平移”或“翻折”求二次函數(shù)的表達(dá)式
利用“平移”或“翻折”求二次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟:①先根據(jù)平移規(guī)律或折疊的性質(zhì)求出平移或翻折后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);②根據(jù)平移不改變拋物線的形狀和大小,翻折后的拋物線與原拋物線的形狀、大小相同,但開口方向相反,確定a的值;③利用頂點(diǎn)式,設(shè)平移或翻折后的拋物線的表達(dá)式是y=a(x-h(huán))2+k,再代入a的值和頂點(diǎn)坐標(biāo),即可求出平移或翻折后的拋物線的表達(dá)式.
12.已知二次函數(shù)y=-3x2+1的圖象如圖所示,將其沿x軸翻折后得到的拋物線的表達(dá)式為(D)
A.y=-3x2-1 B.y=3x2
C.y=3x2+1 D.y=3x2-1
13.如圖所示,將拋物線C0:y=x2-2x向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到拋物線C1,則拋物線C1的表達(dá)式是y=x2-6x+8.