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1、2022屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章 2.3 垂徑定理練習(xí) (新版)湘教版
基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 垂徑定理
1.(長(zhǎng)沙中考改編)如圖,在⊙O中,弦AB=6,圓心O到AB的距離OC=2,則⊙O的半徑長(zhǎng)為(B)
A. B. C.2 D.4
2.如圖,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于D,交⊙O于E,則下列說法錯(cuò)誤的是(D)
A.AD=BD B.∠AOE=∠BOE
C.= D.OD=DE
3.如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于弦AB.若∠C=25°,則∠BOD的度數(shù)是(D)
A.25° B.30° C.40° D.50°
2、
4.如圖,AB是⊙O的弦,半徑OC⊥AB于點(diǎn)D.若⊙O的半徑為5,AB=8,則CD的長(zhǎng)是(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,OC=5 cm,CD=6 cm,則OE=4cm.
6.(教材P59例1變式)如圖,在⊙O中,直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)M,AM=18,BM=8,則CD的長(zhǎng)為24.
7.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M在⊙O上,MD恰好經(jīng)過圓心O,連接MB.若CD=16,BE=4,求⊙O的直徑.
解:∵AB⊥CD,CD=16,
∴CE=DE=8.
設(shè)OB=x,∵BE=4,
3、
∴x2=(x-4)2+82.
解得x=10.
∴⊙O的直徑是20.
知識(shí)點(diǎn)2 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
8.(教材P60習(xí)題T1變式)一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑OB=10,截面圓圓心O到水面的距離OC是6,則水面寬AB是(A)
A.16
B.10
C.8
D.6
9.如圖所示,某窗戶是由矩形和弓形組成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高EF=1 m,現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃,請(qǐng)幫工程師求出所在圓O的半徑r.
解:由題意,知OA=OE=r.
∵EF=1,∴OF=r-1.
∵OE⊥AB,
∴AF=AB=×3=1.5.
在Rt△OAF中,OF2+AF
4、2=OA2,
即(r-1)2+1.52=r2.解得r=.
∴圓O的半徑為 m.
易錯(cuò)點(diǎn) 忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”
10.下列說法正確的是(D)
A.過弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧
B.弦的垂直平分線平分它所對(duì)的兩條弧,但不一定過圓心
C.過弦的中點(diǎn)的直徑垂直于弦
D.平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑平分弦
中檔題
11.如圖,將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長(zhǎng)為(C)
A.2 cm B. cm C.2 cm D.2 cm
12.(xx·棗莊)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,AP=2,
5、BP=6,∠APC=30°.則CD的長(zhǎng)為(C)
A. B.2 C.2 D.8
提示:過點(diǎn)O作OH⊥PD于H,連接OD.AP=2,BP=6,則AO=BO=4,則PO=2,又∠OPH=∠APC=30°,∴OH=1,OD=OB=4,在Rt△HOD中,HD==,∴CD=2HD=2.
13.如圖,以點(diǎn)P為圓心的圓弧與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0).
14.(xx·黃岡)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB.若AD=6,則AC=2.
15.(xx·孝感)已知
6、⊙O的半徑為10 cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,則弦AB和CD之間的距離是2或14cm.
16.(xx·安徽)如圖,⊙O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5.
(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長(zhǎng).
解:(1)畫圖如圖所示.
(2)∵AE平分∠BAC,
∴=.
連接OE,OC,EC,則OE⊥BC于點(diǎn)F,EF=3.
在Rt△OFC中,由勾股定理可得,
FC===.
在Rt△EFC中,由勾股定理可得,
CE===
7、.
17.如圖,CD為⊙O的直徑,弦AB交CD于點(diǎn)E,連接BD,OB.
(1)求證:△AEC∽△DEB;
(2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求⊙O的半徑.
解:(1)證明:根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”,
得∠A=∠D,∠C=∠ABD,
∴△AEC∽△DEB.
(2)∵CD⊥AB,O為圓心,
∴BE=AB=4.
設(shè)⊙O的半徑為r,∵DE=2,則OE=r-2.
∴在Rt△OEB中,由勾股定理,得OE2+EB2=OB2,
即(r-2)2+42=r2,解得r=5.
∴⊙O的半徑為5.
綜合題
18.如圖,已知∠MAN=30°,O為邊AN上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,
8、2為半徑作⊙O,交AN于D,E兩點(diǎn),設(shè)AD=x.當(dāng)x為何值時(shí),⊙O與AM相交于B,C兩點(diǎn),且∠BOC=90°?
解:過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F.
∵∠BOC=90°,OB=OC=2,
∴∠OBC=45°,
BC==2.
∵OF⊥BC,∴BF=BC=,∠BOF=45°.
∴∠OBF=∠BOF.
∴OF=BF=.
∵∠MAN=30°,∴OA=2OF=2.
∴AD=2-2,
即當(dāng)x=2-2時(shí),∠BOC=90°.
小專題(五) 與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明
1.已知:如圖,A,B,C,D是⊙O上的點(diǎn),∠1=∠2,AC=3 cm.
(1)求證:=;
(2)求BD的長(zhǎng).
9、
解:(1)證明:∵∠1=∠2,
∴=,
∴+=+.
∴=.
(2)∵=,
∴AC=BD.
∵AC=3 cm,
∴BD=3 cm.
2.A,B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn),P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)(P不與A,B重合),我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A,B的滑動(dòng)角.已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A,B的滑動(dòng)角.
(1)若AB是⊙O的直徑,則∠APB=90°;
(2)如圖,若⊙O的半徑是1,AB=,求∠APB的度數(shù).
解:連接OA,OB,AB.
∵⊙O的半徑是1,即OA=OB=1,
又∵AB=,
∴OA2+OB2=AB2.
由勾股定理的逆定理可得,∠AOB=90°.
∴∠APB=
10、∠AOB=45°.
3.如圖,AB是⊙O的直徑,C,D兩點(diǎn)在⊙O上.若∠C=45°.
(1)求∠ABD的度數(shù);
(2)若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O的半徑.
解:(1)連接AD.
∵∠BCD=45°,
∴∠DAB=∠BCD=45°.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
∴∠ABD=45°.
(2)連接AC.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3,
∴AB=6.
∴⊙O的半徑為3.
4.如圖,A,P,B,C是圓上的四個(gè)點(diǎn),∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.
(1)求證
11、:△ABC是等邊三角形;
(2)若∠PAC=90°,AB=2,求PD的長(zhǎng).
解:(1)證明:∵A,P,B,C是圓上的四個(gè)點(diǎn),
∴∠ABC=∠APC,∠CPB=∠BAC.
∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴∠ACB=60°.
∴△ABC是等邊三角形.
(2)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,AC=AB=BC=2.
∵∠PAC=90°,∴∠DAB=∠D=30°.
∴BD=AB=2.
∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形,∠PAC=90°,
∴∠PBC=∠PBD=90°.
在Rt△PBD中,PD===4.
5.如圖,一圓
12、弧形橋拱的圓心為E,拱橋的水面跨度AB=80米,橋拱到水面的最大高度為20米.求:
(1)橋拱的半徑;
(2)現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米,求水面上漲的高度為多少米?
解:(1)過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,延長(zhǎng)EF交圓于點(diǎn)D,則由題意得DF=20.
由垂徑定理知,
點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),AF=FB=AB=40米,
EF=ED-FD=AE-DF,
由勾股定理知,AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-DF)2.
設(shè)圓的半徑是r,
則r2=402+(r-20)2,
解得r=50.
即橋拱的半徑為50米.
(2)設(shè)水面上漲后水面跨度MN為60米,
MN交ED于H,連接EM,
13、
則MH=NH=MN=30米,
∴EH==40(米).
∵EF=50-20=30(米),
∴HF=EH-EF=10米.
6.已知△ABC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,連接ED.若ED=EC.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2,求CD的長(zhǎng).
解:(1)證明:∵ED=EC,
∴∠EDC=∠C.
∵∠EDC+∠ADE=180°,∠ADE+∠B=180°,
∴∠EDC=∠B.
∴∠B=∠C.∴AB=AC.
(2)連接AE,∵AB為直徑,
∴AE⊥BC.
由(1)知,AB=AC,
∴BE=CE=BC=.
在△ABC與△EDC中
14、,
∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,
∴△ABC∽△EDC.
∴=.
∴CE·CB=CD·CA.
∵AC=AB=4,
∴×2=4CD.
∴CD=.
7.如圖,在△ABC中,AB=BC=2,以AB為直徑的⊙O分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,且點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).
(1)求證:△ABC為等邊三角形;
(2)求DE的長(zhǎng);
(3)在線段AB的延長(zhǎng)線上是否存在一點(diǎn)P,使△PBD≌△AED,若存在,請(qǐng)求出PB的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)證明:連接AD.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),
∴AD是線段BC的垂直平分線.
∴AB=AC.
∵AB=BC,∴AB=BC=AC.
∴△ABC為等邊三角形.
(2)連接BE.
∵AB是直徑,∴∠AEB=90°.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是等邊三角形,
∴AE=EC,即E為AC的中點(diǎn).
∵D是BC的中點(diǎn),故DE為△ABC的中位線,
∴DE=AB=×2=1.
(3)存在點(diǎn)P使△PBD≌△AED,
由(1)(2)知,BD=ED,
∵∠BAC=60°,DE∥AB,∴∠AED=120°.
∵∠ABC=60°,∴∠PBD=120°.
∴∠PBD=∠AED.
要使△PBD≌△AED,只需PB=AE=1.