2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練1 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練1 文 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－2n＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若不等式2n2－n－3＜(5－λ)an對(duì)?n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，Sn＝2an－2n＋1，即S1＝a1＝2a1－22，得a1＝4. 當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn－1＝2an－1－2n， 則an＝2an－2an－1－2n，得an＝2an－1＋2n， 所以－＝1，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列． 所以＝n＋1，即an＝(n＋1)·2n. (2)原不等式即(n＋1)(2n－3)＜(5

2、－λ)(n＋1)2n，等價(jià)于5－λ＞. 記bn＝，則5－λ＞bn對(duì)?n∈N*恒成立，所以5－λ＞(bn)max. bn＋1－bn＝－＝，當(dāng)n＝1,2時(shí)，5－2n＞0，bn＋1＞bn，即b1＜b2＜b3； 當(dāng)n＞2，n∈N*時(shí)，5－2n＜0，bn＋1＜bn，即b3＞b4＞b5＞…；所以數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為b3＝，所以5－λ＞，解得λ＜. (教師備選) 1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，且C＝. (1)求證：a，b,2a成等比數(shù)列； (2)若△ABC的面積是2，求各邊的長(zhǎng)． [解]　(1)證明：∵A＋B＋C

3、＝π，sin(A＋C) ＝2sin Acos(A＋B)， ∴sin B＝－2sin Acos C， 在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos C, ∵C＝，∴b＝a， 則b2＝2a2＝a·2a ∴a，b,2a成等比數(shù)列． (2) S＝absin C＝ab＝2，則ab＝4， 由(1)知，b＝a，聯(lián)立兩式解得a＝2，b＝2， 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2×＝20， ∴c＝2. 2．在2018年3月鄭州第二次模擬考試中，某校共有100名文科學(xué)生參加考試，其中語(yǔ)文考試成績(jī)低于130的占95%，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖 61

4、 圖61 (1)如果成績(jī)不低于130的為特別優(yōu)秀，這100名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約各多少人？ (2)如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有3人． ①?gòu)?1)中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這兩人兩科成績(jī)都特別優(yōu)秀的概率； ②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀． 語(yǔ)文特別優(yōu)秀 語(yǔ)文不特別優(yōu)秀 合計(jì) 數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀 數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀 合計(jì) 參考數(shù)據(jù)：①K2＝； ② P(K2≥k0) 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 k0

5、 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828 [解]　(1)共有100名文科學(xué)生參加考試，其中語(yǔ)文考試成績(jī)低于130的占95%，語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為P1＝1－0.95＝0.05，語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)有100×0.05＝5人，數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為P2＝0.002×20＝0.04，數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有100×0.04＝4人． (2)①語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的有3人，單科特別優(yōu)秀的有3人， 記兩科都特別優(yōu)秀的3人分別為A1，A2，A3，單科特別優(yōu)秀的3人分別為B1，B2，B3，從中隨機(jī)抽取2人，共有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，

6、B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)共15種，其中這兩人兩科成績(jī)都特別優(yōu)秀的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)這3種，則這兩人兩科成績(jī)都特別優(yōu)秀的概率為：P＝＝. ②2×2列聯(lián)表： 語(yǔ)文特別優(yōu)秀 語(yǔ)文不特別優(yōu)秀 合計(jì) 數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀 3 1 4 數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀 2 94 96 合計(jì) 5 95 100 ∴K2＝＝≈42.982＞6.635， ∴有99%的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀．

7、2．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)為M，又PA＝AB＝4，AD＝CD，點(diǎn)N是CD中點(diǎn)． 圖62 (1)求證：MN∥平面PAD； (2)求點(diǎn)M到平面PBC的距離． [解]　(1)證明：在正三角形△ABC中，AB＝BC，在△ACD中，AD＝CD，又BD＝BD， 所以△ABD≌△CBD，所以M為AC的中點(diǎn)， 又點(diǎn)N是CD中點(diǎn)，所以MN∥AD， 又AD?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD； (2)設(shè)M到平面PBC的距離為h，在Rt△PAB中，PA＝AB＝4，所以PB＝4， 在Rt△PAC中，PA＝AC＝4，所以PC

8、＝4， 在△PBC中，PB＝4，PC＝4，BC＝4，所以S△PBC＝4， 由VM-PBC＝VP-BMC，即×4×h＝×2×4，解得h＝， 所以點(diǎn)M到平面PBC的距離為. 3．某高校在2018年自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分為五組，得到如下的頻率分布表： 組號(hào) 分組 頻數(shù) 頻率 第一組 [145,155) 5 0.05 第二組 [155,165) 35 0.35 第三組 [165,175) 30 a 第四組 [175,185) b c 第五組 [185,195) 10 0.1 (1)請(qǐng)寫出頻率分布表中a、b、

9、c的值，若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組中間值代替，請(qǐng)估計(jì)全體考生的平均成績(jī)； (2)為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生，該高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名考生進(jìn)入第二輪面試． ①求第3、4、5組中每組各抽取多少名考生進(jìn)入第二輪面試； ②在(2)的前提下，學(xué)校要求每個(gè)學(xué)生需從A、B兩個(gè)問題中任選一題作為面試題目，求第三組和第五組中恰好有兩個(gè)學(xué)生選到問題B的概率． [解]　(1)由題意知，a＝0.3，b＝20，c＝0.2， ＝150×0.05＋160×0.35＋170×0.3＋180×0.2＋190×0.1＝169.5. (2)①第3、4、5組共60名學(xué)生，現(xiàn)抽取6名，因此

10、第三組抽取的人數(shù)為×30＝3人， 第四組抽取的人數(shù)為×20＝2人，第五組抽取的人數(shù)為×10＝1人． ②所有基本事件如下：(A，A，A，A)，(B，A，A，A)，(A，B，A，A)，(A，A，B，A)，(A，A，A，B)，(B，B，A，A)，(B，A，B，A)，(B，A，A，B)，(A，B，B，A)，(A，B，A，B)，(A，A，B，B)，(B，B，B，A)，(B，B，A，B)，(B，A，B，B)，(A，B，B，B)，(B，B，B，B)．基本事件總數(shù)有16個(gè)，其中第三組和第五組恰有兩個(gè)學(xué)生選到問題B的基本事件如下：(B，B，A，A)，(B，A，B，A)，(B，A，A，B)，(A，B，B，A)

11、，(A，B，A，B)，(A，A，B，B)，共包含6個(gè)基本事件． 故第三組和第五組中恰好有兩個(gè)學(xué)生選到問題B的概率P＝＝. 4．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－2,0)，B(0，－2)，M是曲線C上任意一點(diǎn)，求△ABM面積的最小值． [解]　(1)由，得(x－3)2＋(y－4)2＝4， 將代入得ρ2－6ρcos θ－8ρsin θ＋21＝0，即為曲線C的極坐標(biāo)方程． (2)設(shè)點(diǎn)M(3＋2cos θ，4＋2

12、sin θ)到直線AB：x＋y＋2＝0的距離為d，則 d＝＝， 當(dāng)sin＝－1時(shí)，d有最小值. 所以△ABM面積Smin＝×|AB|×d＝9－2. [選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋2|. (1)解不等式f(x)＞4－|x＋1|； (2) 已知a＋b＝2(a＞0，b＞0)，求證－f(x)≤＋. [解]　(1)不等式f(x)＞4－|x＋1|，即|x＋1|＋|x＋2|＞4， 當(dāng)x＜－2時(shí)，不等式化為－(x＋1)－(x＋2)＞4，解得x＜－3.5； 當(dāng)－2≤x≤－1時(shí)，不等式化為－(x＋1)＋(x＋2)＞4，無解； 當(dāng)x≥－1時(shí)，不等式化為(x＋1)＋(x＋2)＞4，解得x＞0.5； 綜上所述：不等式的解集為{x|x＜－3.5或x＞0.5}． (2)＋＝(a＋b)＝≥4.5， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立． 由題意知，－f(x)＝－|x＋2|≤＝4.5， 所以－f(x)≤＋.