2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題對點練7 立體幾何 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題對點練7 立體幾何 理 一、選擇題 1．(2017·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E， ∴＝，＝(0,1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0,1)， ＝(－1,1,0)， ∴·≠0，·≠0，·＝0，·≠0，∴A1E⊥BC1. 故選

2、C.] 2．已知a，b為異面直線，下列結(jié)論不正確的是(　　 ) A．必存在平面α使得a∥α，b∥α B．必存在平面α使得a，b與α所成角相等 C．必存在平面α使得a?α，b⊥α D．必存在平面α使得a，b與α的距離相等 C　[由a，b為異面直線知，在A項中，在空間中任取一點O，過點O分別作a，b的平行線，則由過點O的a，b的平行線確定一個平面α，使得a∥α，b∥α，故A項正確；B項中，平移b至b′與a相交，因而確定一個平面α，在α上作a，b′夾角的平分線，明顯可以做出兩條．過角平分線且與平面α垂直的平面使得a，b′與該平面所成角相等，角平分線有兩條，所以有兩個平面都可以，故B項正確

3、；在C項中，當(dāng)a，b不垂直時，不存在平面α使得a?α，b⊥α，故C項錯誤；在D項中，過異面直線a，b的公垂線的中點作與公垂線垂直的平面α，則平面α使得a，b與α的距離相等，故D項正確．故選C.] 3．一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是，(1,1,0)，，(1,0,1)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以yOz平面為投影面，則得到的正視圖可以為(　　 ) A　　　B 　　　　C　　　　　D A　[由圖可得，選A. ] 4．如圖3是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　 ) 圖3 A．2 B．4 C. D. A　[由三視圖可知幾何體為直三棱柱

4、，直觀圖如圖所示， 其中，底面為直角三角形，AD＝2，AF＝，高為AB＝2. ∴該幾何體的體積為V＝×2××2＝2，故選A.] 5．若一個圓錐的軸截面是正三角形，則此圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為(　　) A．60° B．90° C．120° D．180° D　[設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為R，由該圓錐的軸截面是正三角形，得2r＝R， ∴2πr＝， 解得n＝180°.] 6．(2016·全國卷Ⅲ)如圖4所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 圖4 A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 B

5、　[由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故選B.] 7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈，人們還用過一些類似的近似公式，根據(jù)π＝3.141 59…判斷，下列近似公式中最精確的一個是(　　 ) A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ D　[根據(jù)球的體積公式V＝πR3＝π，得d＝，設(shè)選項中的常數(shù)為，則π＝，選項A代入得π＝＝3.1，選項B代入得π

6、＝＝3，選項C代入得π＝＝3.2，選項D代入得π＝＝3.142 857，D選項更接近π的真實值，故選D.] 8．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　 ) A. B. C. D．2π C　[過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，則該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×

7、12×1＝，故選C.] 9.如圖5，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中點，則AD與平面ABC所成角的大小是(　　) 圖5 A．30° B．45° C．60° D．90° A　[取BC的中點E，連接AE，DE，則DE⊥平面ABC， ∴∠DAE為AD與平面ABC所成的角， 設(shè)三棱柱的棱長為1，則AE＝，DE＝， ∴tan∠DAE＝＝， ∴∠DAE＝30°.故選A.] 10．在三棱錐S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱錐S-ABC的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　)

8、 A．4π B．16π C．36π D．72π B　[設(shè)SC的中點為D，連接BD，AD(圖略)，設(shè)BC＝a，則BD＝AD＝a，AB＝a， 因為SB＝BC，所以BD⊥SC，同理AD⊥SC，所以SC⊥平面ABD， 所以VS-ABC＝VS-ABD＋VC-ABD＝××a×2＝，所以a＝2. 因為DA＝DB＝DC＝DS＝2，所以點D就是三棱錐外接球的球心， 所以三棱錐外接球的半徑為2，所以外接球的表面積為4π×22＝16π.故選B.] 11．如圖6，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是(　　 ) 圖6 A．PB⊥AD

9、B．平面PAB⊥平面PBC C．直線BC∥平面PAE D．直線PD與平面ABC所成的角為45° D　[若PB⊥AD，則AD⊥AB，但AD與AB成60°角，A項錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B項錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C項錯誤；直線PD與平面ABC所成角為∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA，所以∠PDA＝45°，D項正確．] 12.如圖7所示，正方形ABCD的邊長為2，切去陰影部分圍成一個正四棱錐，則正四棱錐的側(cè)面積取值范圍為(　　) 圖7 A．(1,2) B．(1,2] C．(0,2] D．(0

10、,2) D　[設(shè)三棱錐一個側(cè)面為三角形APQ，∠APQ＝x，則 AH＝PQ×tan x＝＝＝－PQ，∴PQ＝，AH＝， ∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH ＝2××＝， x∈， ∵S＝＝ ＝≤＝2， (當(dāng)且僅當(dāng)tan x＝1，即x＝時取等號)， 而tan x＞0，故S＞0， ∵S＝2時，三角形APQ是等腰直角三角形， 頂角PAQ＝90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構(gòu)不成棱錐， ∴S的范圍為(0,2)，故選D.] 二、填空題 13．(2017·天津高考)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________．

11、 π　[設(shè)正方體的棱長為a， 則6a2＝18，∴a＝. 設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R＝＝3， ∴R＝. 故球的體積V＝πR3＝π×＝π.] 14.如圖8，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的命題序號是________． 圖8 ①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC； ③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC. ④　[因為在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45°，∠BAD＝9

12、0°，所以BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD， 所以CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，則CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D， 所以AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ADC.] 15．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________． 40π　[如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，∴SA2＝8

13、0，SA＝4.∵SA與底面所成的角為45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4×＝2.∴圓錐的側(cè)面積為π×2×4＝40π.] 16．已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值為________． 1　[如圖，設(shè)球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長為a，則AO1＝×a＝a. 由已知得O1O2⊥底面，在Rt△OAO1中， 由勾股定理得OO1＝＝，所以V三棱柱＝a2×2×＝， 令f(a)＝3a4－a6(0＜a＜2)，則f′(a)＝12a3－6a5＝－6a3(a2－2)，令f′(a)＝0，解得a＝. 因為當(dāng)a

14、∈(0，)時，f′(a)＞0；當(dāng)a∈(，2)時，f′(a)＜0，所以函數(shù)f(a)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減． 所以f(a)在a＝處取得極大值． 因為函數(shù)f(a)在區(qū)間(0,2)上有唯一的極值點， 所以a＝也是最大值點． 所以(V三棱柱)max＝＝1.] 小題對點練　立體幾何　【教師備選】 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　 ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n C　[由已知，α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C項正確．故選C.] 2．圓柱的側(cè)面展開圖

15、是一個邊長為2的正方形，那么這個圓柱的體積是(　　) A. B. C. D. A　[由題意可知，圓柱的高為2，底面周長為2，故半徑為，所以底面積為， 所以體積為，故選A.] 3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　 ) A．若α⊥β，m⊥α，則m∥β B．若m∥α，n?α，則m∥n C．若a∩β＝m，n∥α，n∥β，則m∥n D．若α⊥β，且α∩β＝m，點A∈α，直線AB⊥m，則AB⊥β C　[A項，若α⊥β，m⊥α，則m∥β或m?β； B項，若m∥α，n?α，則m，n無交點，即平行或異面； C項，若α∩β＝m，n∥α，n∥β

16、，過n作平面與α，β分別交于直線s，t，則s∥n，t∥n，所以s∥t，再根據(jù)線面平行判定定理得s∥β，因為α∩β＝m，s?α，所以s∥m，即m∥n； D項，若α⊥β，且α∩β＝m，點A∈α，直線AB⊥m，當(dāng)B在平面α內(nèi)時才有AB⊥β，綜上選C.] 4．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為(　　 ) A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 B　[該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4－x,3

17、,1的長方體，∴組合體的體積V＝V圓柱＋V長方體＝ π·×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π≈3)，解得x＝1.6.故選B.] 5．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖是A′B′C′，如圖(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝，則該幾何體的表面積為(　　 ) (1)　　　　　　　　　(2) A．36＋12 B．24＋8 C．24＋12 D．36＋8 C　[由圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個底面邊長為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長方體中，長、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐P-

18、ABC，且S△PAB＝S△PBC＝×4×6＝12, S△ABC＝×4×2＝4，△PAC是腰長為，底面邊長為4的等腰三角形，S△PAC＝8.綜上可知，該幾何體的表面積為2×12＋4＋8＝24＋12.故選C.] 6．某幾何體挖去兩個半球體后的三視圖如圖所示，若剩余幾何體的體積為，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．2 D. B　[由三視圖可知，該幾何體為高為a，底面半徑為的圓柱，挖去一個半徑為的球而得的幾何體．剩余幾何體的體積為π··a－π·＝a3＝，解得a＝2.故選B.] 7．(2018·唐山高三一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　 ) A．

19、5＋4 B．9 C．6＋5 D. A　[根據(jù)題意得到該幾何體是一個三棱柱切下了一個三棱錐，剩下的部分的表面積由一個等腰三角形，兩個直角梯形，一個等腰直角三角形，一個長方形構(gòu)成，面積和為4＋×2×＋×2＋3＝5＋4.] 8．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD1與平面ABCD所成角的大小為60°，DC1與平面ABCD所成角的大小為30°，那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. B　[由題得∠D1AD＝60°，∠C1DC＝30°，設(shè)AD＝1，則CC1＝，DC＝3，DC1＝2，BC1＝2，∴DB＝. 在△BDC1中，由余弦定理得cos∠

20、BC1D＝＝. 因為AD1∥BC1，所以異面直線AD1與DC1所成角的余弦值為.] 9．一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是(　　 ) A．96 B．16 C．24 D．48 D　[如圖，設(shè)球的半徑為R，由πR3＝，得R＝2. 所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝4. 設(shè)其底面邊長為a，則·a＝2，所以a＝4， 所以V＝×(4)2×4＝48.] 10．設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，∠BCA＝90°，BC＝CA＝2，若該棱柱的所有頂點都在體積為的球面上，則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為(　　 ) A．－ B.

21、 C．－ D. B　[由已知，若棱柱的所有頂點都在球面上，則同高的長方體8個頂點也在球面上，且外接球的直徑為長方體的體對角線，由球體體積可得直徑為4，由于長方體底面為邊長為2的正方形，故側(cè)面的對角線為2，由余弦定理可知，直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為＝.] 11．圓臺的高為2，上底面直徑AB＝2，下底面直徑CD＝4，AB與CD不平行，則三棱錐A-BCD體積的最大值是(　　) A. B. C. D. B　[如圖，設(shè)上、下底面的圓心分別為O1，O，因為VA-BCD＝VC-AOB＋VD-AOB，所以要使三棱錐A-BCD的體積最大，則需CD⊥平面AOB，所以三棱錐A-BCD的

22、體積最大為·S△ABO·(CO＋OD)＝·S△ABO·CD＝××2×2×4＝，故選B.] 12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC(0＜k＜1)，則(　　) A．當(dāng)k＝時，平面BPC⊥平面PCD B．當(dāng)k＝時，平面APD⊥平面PCD C．對任意k∈(0,1)，直線PA與底面ABCD都不垂直 D．存在k∈(0,1)，使直線PD與直線AC垂直 A　[取PB，PC的中點分別為M，N，連接MN，AM，DN(圖略)．由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM.又M為

23、PB中點，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，同時MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，則四邊形ADNM為平行四邊形，可得AM∥DN，則DN⊥平面BPC.又DN?平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD. 其余選項都錯誤，故選A.] 二、填空題 13.(2018·天津高考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體積為________． 　[連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因為E，H分別為AD1，CD1的中點，所以EH∥AC，E

24、H＝AC，因為F，G分別為B1A，B1C的中點，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形， 又點M到平面EHGF的距離為， 所以四棱錐M-EFGH的體積為××＝.] 14．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以B為圓心的圓與AB，BC分別交于點E，F(xiàn)，若tan∠CDF＝，則陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積等于________． 6π　[在Rt△DCF中，DC＝2，所以CF＝DCtan∠CDF＝2×＝1，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1. 正方形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成圓

25、柱，圓柱的底面半徑R1＝AB＝2，高h(yuǎn)1＝BC＝2，其體積V1＝πRh1＝π×22×2＝8π； Rt△DCF繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓錐，圓錐的底面半徑R2＝DC＝2，高h(yuǎn)2＝CF＝1，其體積V2＝πRh2＝π×22×1＝；扇形BEF是圓的，其繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個半球，球的半徑為r＝BE＝1， 故其體積V3＝×r3＝××13＝. 陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個圓柱挖掉上述的半球與圓錐，故其體積V＝V1－V2－V3＝8π－－＝6π.] 15．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于________．

26、　[設(shè)直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角為θ， 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正三棱柱的棱長為2，則A(0，－1,0)，B1(，0,2)， AB1＝(，1,2)，O(0,0,0)，B(，0,0)，所以BO＝(－，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量， 所以sin θ＝＝.] 16．(2018·東莞二調(diào))已知幾何體Ω是平面α截半徑為4的球O所得較大部分，△ABC是截面圓O′的內(nèi)接三角形，∠A＝90°，點P是幾何體Ω上的一動點，且P在圓O′上的投影在圓O′的圓周上，OO′＝1，則三棱錐P-ABC的體積的最大值為________． 10　[由對稱性知點P到平面ABC的距離為2，設(shè)圓O′的半徑為r，則r＝＝，BC＝2，當(dāng)點A到BC的距離為時，S△ABC取得最大值15，此時，三棱錐P-ABC的體積取得最大值，Vmax＝×2×15＝10.]