2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明練習(xí) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明練習(xí) 文 考點 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測熱度 1.合情推理與演繹推理 1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運用它們進行簡單的推理 3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 Ⅱ 2017課標全國Ⅱ,9; 2017北京,14; 2016課標全國Ⅱ,16; 2016北京,8; 2016山東,12 選擇題、 填空題、 解答題 ★★★ 2.直接證明與間接證明 1.了解直接證明的兩種基本方

2、法:分析法與綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點 2.了解間接證明的一種基本方法:反證法;了解反證法的思考過程、特點 Ⅲ 2016江蘇,20; 2014山東,4; 2013湖北,20 分析解讀 本部分是新課標內(nèi)容,高考考查以下幾個方面:1.歸納推理與類比推理以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的邏輯推理能力,而演繹推理多出現(xiàn)在立體幾何的證明中;2.直接證明與間接證明作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)為載體,考查綜合法、分析法及反證法.本節(jié)內(nèi)容在高考中的分值分配:①歸納推理與類比推理分值為5分左右,屬中檔題;②證明問題以解答題形式出現(xiàn),

3、分值為12分左右,屬中高檔題. 五年高考 考點一　合情推理與演繹推理 1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊. 學(xué)生序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠(單位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩(單位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 在這10名學(xué)生中,進入立定

4、跳遠決賽的有8人,同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則(　　) A.2號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 B.5號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 C.8號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 D.9號學(xué)生進入30秒跳繩決賽 答案　B　 2.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件: (i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù); (ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù); (iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù). ①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為　　　　; ②該小組人數(shù)的最小值為　　　　. 答案?、?　②12 3.(2016課標全國Ⅱ,16,5分)有三張卡片,

5、分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是　　　　. 答案　1和3 4.(2016山東,12,5分)觀察下列等式: +=×1×2; +++=×2×3; +++…+=×3×4; +++…+=×4×5; …… 照此規(guī)律, +++…+=　　　　. 答案　 5.(2015陜西,16,5分)觀察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為　　　　　

6、　　　　　　. 答案　1-+-+…+-=++…+ 6.(2014課標Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時, 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為　　　　. 答案　A 教師用書專用(7—11) 7.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個正確,則100a+10b+c等于　　　　. 答案　201 8.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標系中,若點P(x,y)的坐標x,

7、y均為整數(shù),則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為N,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4. (1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是　　　　; (2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=　　　　(用數(shù)值作答). 答案　(1)3,1,6　(2)79 9.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(

8、3+3)=23×1×3×5 …… 照此規(guī)律,第n個等式可為　. 答案　(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) 10.(2014江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,…,n(n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù),F(n)為這個數(shù)的位數(shù)(如n=12時,此數(shù)為123 456 789 101 112,共有15個數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率. (1)求p(100); (2)當n≤2 014時,求F(n)的表達式; (3)令g(n)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù),f(n)為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù),h(n)=f(n)-g(n

9、),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求當n∈S時p(n)的最大值. 解析　(1)當n=100時,這個數(shù)中總共有192個數(shù)字,其中數(shù)字0的個數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=. (2)F(n)= (3)當n=b(1≤b≤9,b∈N*)時,g(n)=0; 當n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)時,g(n)=k; 當n=100時,g(n)=11, 即g(n)= 同理有f(n) = 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90. 所以當n≤100時,S={9,19,29,39,

10、49,59,69,79,89,90}. 當n=9時,p(9)=0; 當n=90時,p(90)===; 當n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時,p(n)===,由于y=關(guān)于k單調(diào)遞增,故當n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時,p(n)的最大值為p(89)=. 又<,所以當n∈S時,p(n)的最大值為. 11.(2013江西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=a為常數(shù)且a∈(0,1). (1)當a=時,求f; (2)若x0滿足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點.證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2; (3)

11、對于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a2,0),記△ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值. 解析　(1)當a=時, f=, f=f=2=. (2)f(f(x))= 當0≤x≤a2時,由x=x解得x=0, 因為f(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點; 當a2

12、2-a+1≤x≤1時, 由(1-x)=x解得x=∈(a2-a+1,1), 因f=· =≠, 故x=為f(x)的二階周期點. 因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點,x1=,x2=. (3)由(2)得A,B, 則S(a)=·, S'(a)=·, 因為a∈,a2+a<1, 所以S'(a)=· =·>0. 或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2 =3, 因a∈(0,1),g'(a)<0,所以g(a)在區(qū)間上的最小值為g=>0, 故對于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0, S'(a)=·>0. 則S(a)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

13、故S(a)在區(qū)間上的最小值為S=,最大值為S=. 考點二　直接證明與間接證明 1.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設(shè)是(　　) A.方程x3+ax+b=0沒有實根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根 答案　A　 2.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是(　　) A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,

14、1+e] D.[0,1] 答案　A　 3.(2016江蘇,20,16分)記U={1,2,…,100}.對數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=?,定義ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定義ST=++…+.例如:T={1,3,66}時,ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè){an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列,且當T={2,4}時,ST=30. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)對任意正整數(shù)k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求證:ST

15、,n∈N*. 于是當T={2,4}時,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1. 又ST=30,故30a1=30,即a1=1. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1,n∈N*. (2)因為T?{1,2,…,k},an=3n-1>0,n∈N*, 所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=(3k-1)<3k. 因此,ST

16、=D∩?UC,則E≠?,F≠?,E∩F=?. 于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,進而由SC≥SD得SE≥SF. 設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k≥1,l≥1,k≠l. 由(2)知,SE

17、已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M={0,1,2,…,q-1}, 集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)當q=2,n=3時,用列舉法表示集合A; (2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.證明:若an

18、anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an

19、

20、1B2=d2,C1C2=d3,且d1

21、中截面DEFG是梯形. (2)V估0,d3-d1>0,故V估

22、 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點一　合情推理與演繹推理 1.(2018江西上饒一模,7)老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試,考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況,四名學(xué)生的回答如下: 甲說:“我們四人都沒考好.” 乙說:“我們四人中有人考得好.” 丙說:“乙和丁至少有一人沒考好.” 丁說:“我沒考好.” 成績出來后發(fā)現(xiàn),四名學(xué)生中有且只有兩人說對了,他們是(　　) A.甲、丙 B.乙、丁 C.丙、丁 D.乙、丙 答案　D　 2.(2018福建六校聯(lián)考,16)圖甲是應(yīng)用分形幾何學(xué)作出的一個分形規(guī)律圖,按照圖甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示

23、的一個樹形圖,我們采用“坐標”來表示圖乙各行中的白圈、黑圈的個數(shù)(橫坐標表示白圈的個數(shù),縱坐標表示黑圈的個數(shù)),比如第1行記為(0,1),第2行記為(1,2),第3行記為(4,5),照此下去,第5行中白圈與黑圈的“坐標”為　　　. 答案　(40,41) 3.(2017河北邯鄲質(zhì)檢,15)2016年6月23日15時前后,江蘇鹽城市阜寧、射陽等地突遭強冰雹、龍卷風(fēng)雙重災(zāi)害襲擊,風(fēng)力達12級.災(zāi)害發(fā)生后,有甲、乙、丙、丁4個輕型救援隊從A,B,C,D四個不同的方向前往災(zāi)區(qū).已知下面四種說法都是正確的: (1)甲輕型救援隊所在方向不是C方向,也不是D方向; (2)乙輕型救援隊所在方向不是A

24、方向,也不是B方向; (3)丙輕型救援隊所在方向不是A方向,也不是B方向; (4)丁輕型救援隊所在方向不是A方向,也不是D方向. 此外還可確定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,有下列判斷:①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向. 其中判斷正確的序號是　　　　. 答案?、? 4.(2017廣東七校第二次聯(lián)考,15)如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)字2,3出現(xiàn)在第2行,數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行,……,依此類推,則第20行從左到右第4個

25、數(shù)字為　　　　. 答案　194 5.(人教A選1—2,二,1,例7,變式)證明函數(shù)f(x)=-x3+3x在(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù). 證明　f '(x)=-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1). 當x>2時,(x+1)(x-1)>0,∴f '(x)=-3(x+1)(x-1)<0. ∴f(x)=-x3+3x在(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù). 考點二　直接證明與間接證明 6.(2018吉林三校聯(lián)考,4)用反證法證明“自然數(shù)a,b,c中至多有一個偶數(shù)”時,假設(shè)原命題不成立,等價于(　　) A.a,b,c中沒有偶數(shù) B.a,b,c中恰好有一個偶數(shù) C.a,b,c

26、中至少有一個偶數(shù) D.a,b,c中至少有兩個偶數(shù) 答案　D　 7.(2017山西大學(xué)附中第二次模擬,17)在等比數(shù)列{an}中,a3=,S3=. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=log2,且{bn}為遞增數(shù)列,若cn=,求證:c1+c2+c3+…+cn<. 解析　(1)設(shè){an}的公比為q(q≠0).∵a3=,S3=, ∴?或 ∴an=或an=6. (2)證明:由題意知bn=log2=log2=log222n=2n, ∴cn===, ∴c1+c2+c3+…+cn===-<. 8.(2016河南南陽期中,18)已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為

27、等差數(shù)列,且a1=3,a3=9. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)證明++…+<1. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d. 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1. 所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1. (2)證明:因為==, 所以++…+=+++…+==1-<1,原不等式得證. B組　2016—2018年模擬·提升題組 (滿分:30分　時間:30分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2018遼寧大連調(diào)研,5)如圖,A,B,C三個開關(guān)控制著1,2,3,4

28、號四盞燈.若開關(guān)A控制著2,3,4號燈(即按一下開關(guān)A,2,3,4號燈亮,再按一下開關(guān)A,2,3,4號燈熄滅),同樣,開關(guān)B控制著1,3,4號燈,開關(guān)C控制著1,2,4號燈.開始時,四盞燈都亮著,那么下列說法正確的是(　　) A.只需要按開關(guān)A,C,可以將四盞燈全部熄滅 B.只需要按開關(guān)B,C,可以將四盞燈全部熄滅 C.按開關(guān)A,B,C,可以將四盞燈全部熄滅 D.按開關(guān)A,B,C,無法將四盞燈全部熄滅 答案　D　 2.(2017遼寧六校期中聯(lián)考,10)已知整數(shù)對按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3)

29、,(3,2),(4,1),……,則第60個數(shù)對是(　　) A.(10,1) B.(2,10) C.(5,7) D.(7,5) 答案　C　 二、填空題(共5分) 3.(2017山東濟寧3月模擬,11)已知ai>0(i=1,2,3,…,n),觀察下列不等式: ≥; ≥; ≥; …… 照此規(guī)律,當n∈N*,n≥2時,≥　　　　　. 答案　 三、解答題(共15分) 4.(2017湖北華中師大一附中期中模擬,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)當a=2時,函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求證x1+x2>4.

30、 解析　(1)∵f(x)=ln x+,∴f '(x)=-=,x>0, 當a≤0時, f '(x)≥0總成立; 當a>0時,令f '(x)=0,得x=a. 當x∈(0,a)時, f '(x)<0;當x∈(a,+∞)時, f '(x)>0. 綜上所述,當a≤0時, f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當a>0時, f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增. (2)當a=2時, f(x)=ln x+.不妨令x1x1>0, 要證明x1+x2>4,即證x2>4-x1. 由(1)知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增, 則0

31、x2>2,只需證f(x2)>f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即證f(x1)>f(4-x1). 設(shè)g(x)=f(x)-f(4-x)(0g(2)=0, 所以f(x)>f(4-x)(0f(4-x1).所以x1+x2>4. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　合情推理與演繹推理 1.(2018廣東肇慶一模,14)觀察下列不等式:1+<,1++<,1+++<,……,照此規(guī)律,第五個不等式為　　　

32、　　　　　　　　　. 答案　1+++++< 2.(2017上海浦東期中聯(lián)考,12)在Rt△ABC中,兩直角邊長分別為a、b,設(shè)h為斜邊上的高,則=+,由此類比:三棱錐P-ABC中的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,且長度分別為a、b、c,設(shè)棱錐底面△ABC上的高為h,則　　　　　　　　. 答案　=++ 方法2　直接證明的方法 3.(2017皖南八校聯(lián)考,17)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,bn=,且a2·b2=,S5=. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)求證:b1+b2+…+bn<. 解析　(1)設(shè){an}的公差為d. ∵bn=,a2·b2=,S5=, ∴解得 ∴an=n+,Sn=,∴bn=. (2)證明:b1+b2+…+bn=+++…+ =1-+-+-+…+-+-=--<.