中考數(shù)學(xué)全程演練 第46課時 二次函數(shù)綜合型問題

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1、中考數(shù)學(xué)全程演練 第46課時 二次函數(shù)綜合型問題 (50分) 一、選擇題(每題10分，共10分) 圖46－1 1．[xx·嘉興]如圖46－1，拋物線y＝－x2＋2x＋m＋1交x軸于點A(a，0)和B(b，0)，交y軸于點C，拋物線的頂點為D.下列四個判斷：①當(dāng)x>0時，y>0；②若a＝－1，則b＝4；③拋物線上有兩點P(x1，y1)和Q(x2，y2)若x1<12，則y1>y2；④點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝2時，四邊形EDFG周長最小值為6.其中正確判斷的序號是 (C) A．① B．② C．③

2、 D．④ 【解析】?、俑鶕?jù)二次函數(shù)所作象限，判斷出y的符號； ②根據(jù)A，B關(guān)于對稱軸對稱，求出b的值； ③根據(jù)＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點距離對稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出y1＞y2； ④作D關(guān)于y軸的對稱點D′，E關(guān)于x軸的對稱點E′，連結(jié)D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．求出D，E，D′，E′的坐標(biāo)即可解答． 二、填空題(每題10分，共10分) 圖46－2 2．[xx·衢州]如圖46－2，已知直線y＝－x＋3分別交x軸，y軸于點A，B，P是拋物線y＝－x2＋2x＋5上一個動點，其橫坐標(biāo)是a，過點P且平行y軸的直線交直線y＝－x＋

3、3于點Q，則PQ＝BQ時，a的值是__4，－1，4＋2或4－2__. 【解析】　P點橫坐標(biāo)為a，因為P點在拋物線y＝－x2＋2x＋5上，所以P點坐標(biāo)為，又 PQ∥y軸，且Q點在函數(shù)y＝－x＋3上，所以點Q坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為(0，3)，根據(jù)平面內(nèi)兩點間的距離公式，可得PQ＝，BQ＝，根據(jù)題意，PQ＝BQ，所以 ＝，解得a的值分別為－1，4，4＋2或4－2. 三、解答題(共30分) 3．(15分)[xx·內(nèi)江改編]如圖46－3，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點A(－3，0)，C(0，4)，點B在拋物線上，CB∥x軸．且AB平分∠CAO. (1)求拋物線的解析式； (2)線段AB上有一

4、動點P，過P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值． 圖46－3 解：(1)A(－3，0)，C(0，4)， ∴AC＝5， ∵AB平分∠CAO， ∴∠CAB＝∠BAO， ∵CB∥x軸，∴∠CBA＝∠BAO， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴AC＝BC＝5，∴B(5，4)， A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入y＝ax2＋bx＋c得 解得 所以y＝－x2＋x＋4； 第3題答圖 (2)設(shè)AB的解析式為y＝kx＋b，把A(－3，0)，B(5，4)代入得解得 ∴直線AB的解析式為y＝x＋； 可設(shè)P，Q， 則PQ＝－x2＋x＋4－＝－(x－1)2＋，當(dāng)x＝1

5、時，PQ最大，且最大值為. 4．(15分)[xx·福州改編]如圖46－4，拋物線y＝x2－4x與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y＝x＋m與對稱軸交于點Q. (1)這條拋物線的對稱軸是__x＝2__；直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是__45°__； (2)若兩個三角形面積滿足S△POQ＝S△PAQ，求m的值． 解：(2)設(shè)直線PQ交x軸于點B，分別過點O，A作PQ的垂線，垂足分別為E，F(xiàn). 當(dāng)點B在OA的延長線上時，顯然S△POQ＝S△PAQ不成立． ①如答圖①所示， 當(dāng)點B落在線段OA上時，＝＝， 圖46－4 由△OBE∽△ABF，得＝＝， ∴AB

6、＝3OB. ∴OB＝OA. 由y＝x2－4x得點A(4，0)， ∴OB＝1， ∴B(1，0)． 第4題答圖① ∴1＋m＝0，∴m＝－1； ②如答圖②所示， 當(dāng)點B落在線段AO的延長線上時， ＝＝， 由△OBE∽△ABF，得＝＝， ∴AB＝3OB. ∴OB＝OA. 第4題答圖② 由y＝x2－4x得點A(4，0)， ∴OB＝2， ∴B(－2，0)． ∴－2＋m＝0， ∴m＝2. 綜上所述，當(dāng)m＝－1或2時，S△POQ＝S△PAQ. (30分) 圖46－5 5．(15分)[xx·株洲]如圖46－5，已知拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋6x＋c. (1)若拋物

7、線與x軸有交點，求c的取值范圍； (2)設(shè)拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，若x＋x＝26，求c的值； (3)若P，Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點，PA，QB都垂直于x軸，垂足分別為A，B，且△OPA與△OQB全等，求證：c>－. 解：(1)∵y＝－x2＋6x＋c與x軸有交點， ∴－x2＋6x＋c＝0有實數(shù)根， ∴b2－4ac≥0， 即62－4×(－1)×c≥0， 解得c≥－9； (2)∵－x2＋6x＋c＝0有解，且x＋x＝26， ∴c≥－9，(x1＋x2)2－2x1x2＝26， 即－2×＝26， 解得c＝－5； (3)設(shè)P的坐標(biāo)為(m，n)，則Q點坐標(biāo)

8、為(n，m)，且m>0，n>0，m≠n， 將這兩個點的坐標(biāo)代入方程得 ①－②得 n2－m2＋7(m－n)＝0， (m－n)(m＋n－7)＝0， ∴m＋n＝7， ∴n＝7－m， 代入方程①得， －m2＋7m＋(c－7)＝0， ∵存在這樣的點，∴以上方程有解， ∴72－4×(－1)×(c－7)≥0， 解得c≥－， 而當(dāng)c＝－時，m＝，此時n＝， 故c>－. 圖46－6 6．(15分)[xx·溫州]如圖46－6拋物線y＝－x2＋6x交x軸正半軸于點A，頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B，過點C(2，0)作射線CD交MB于點D(D在x軸上方)，OE∥CD交MB于點E，E

9、F∥x軸交CD的延長線于點F，作直線MF. (1)求點A，M的坐標(biāo)； (2)當(dāng)BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？ (3)當(dāng)BD＝1時， ①求直線MF的解析式，并判斷點A是否落在該直線上； ②延長OE交FM于點G，取CF中點P，連結(jié)PG，△FPG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S1，S2，S3，則S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__. 解：(1)令y＝0，則－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴對稱軸是直線x＝3，∴M(3，9)； (2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)， ∴EF＝OC＝2，∴BC＝1， ∴點F的橫坐標(biāo)為5， ∵點

10、F落在拋物線y＝－x2＋6x上， ∴F(5，5)，BE＝5.∵＝＝， ∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝； (3)①當(dāng)BD＝1時，BE＝3，∴F(5，3)． 第6題答圖 設(shè)MF的解析式為y＝kx＋b，將M(3，9)，F(xiàn)(5，3)代入， 得解得 ∴y＝－3x＋18. ∵當(dāng)x＝6時，y＝－3×6＋18＝0，∴點A落在直線MF上； ②∵BD＝1，BC＝1， ∴△BDC為等腰直角三角形， ∴△OBE為等腰直角三角形， ∴CD＝，CF＝OE＝3， ∴DP＝，PF＝， 根據(jù)MF及OE的解析式求得點G的坐標(biāo)為，作GN⊥EF交EF于點N，則EN＝GN＝，所以EG＝，S△FPG

11、，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面積比等于底之比， 故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE ＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE) ＝∶∶(3＋1) ＝∶2∶4＝3∶4∶8. (20分) 7．(20分)[xx·成都]如圖46－7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC. 圖46－7　 　備用圖 (1)直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式(其中k，b用

12、含a的式子表示)； (2)點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值； (3)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由． 解：(1)令ax2－2ax－3a＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴A點坐標(biāo)為(－1，0)； ∵直線l經(jīng)過點A，∴0＝－k＋b，b＝k， ∴y＝kx＋k， 令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0， ∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標(biāo)為4， ∴－3－＝－1×4，∴k＝a， ∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋

13、a； (2)如答圖①，過點E作EF∥y軸，交直線l于點F， 設(shè)E(x，ax2－2ax－3a)，則F(x，ax＋a)， EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a， 第7題答圖① S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a－a， ∴△ACE的面積的最大值為－a. ∵△ACE的面積的最大值為， ∴－a＝，解得a＝－； (3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a， 即ax2－3ax－4a＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴D(4，5a)， ∵y＝ax2－2ax－3a，∴拋

14、物線的對稱軸為x＝1， 設(shè)P(1，m)， ①如答圖②，若AD是矩形的一條邊，則Q(－4，21a)， m＝21a＋5a＝26a，則P(1，26a)， ∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°， ∴AD2＋PD2＝AP2， ∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2， 即a2＝，∵a＜0，∴a＝－， ∴P1； 第7題答圖 ②如答圖③，若AD是矩形的一條對角線， 則線段AD的中點坐標(biāo)為，Q(2，－3a)， m＝5a－(－3a)＝8a，則P(1，8a)， ∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°， ∴AP2＋PD2＝AD2， ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2， 即a2＝，∵a＜0，∴a＝－， ∴P2(1，－4)， 綜上所述，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P的坐標(biāo)為或(1，－4)．