山東省德州市2022年中考數學同步復習 第三章 函數 第六節(jié) 二次函數的應用訓練

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1、山東省德州市2022年中考數學同步復習 第三章 函數 第六節(jié) 二次函數的應用訓練 1．(xx·衡陽中考)如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸、y軸于點A，B，拋物線經過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D. (1)若拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N. ①求點M，N的坐標； ②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由； (2)當點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的表達式；若不存在，請說明理由．

2、 2．(xx·衢州中考)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系． (1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式； (2)王師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？ (3)經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原

3、裝飾物(高度不變)處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度． 3．(xx·黃岡中考)我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準扶貧”活動中銷售一農產品，經分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y(萬件)與月份x(月)的關系為y＝每件產品的利潤z(元)與月份x(月)的關系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1)請你根據表格求出每件產品利潤z(元)與月份x(月)的關系式； (2)若月利潤w(萬元)＝當月銷售量y(萬件)×當月每件產品的利潤z(

4、元)，求月利潤w(萬元)與月份x(月)的關系式； (3)當x為何值時，月利潤w有最大值，最大值為多少？ 4．(xx·隨州中考)如圖1，拋物線C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.已知點A的坐標為(－1，0)，點O為坐標原點，OC＝3OA，拋物線C1的頂點為G. (1)求出拋物線C1的表達式，并寫出點G的坐標； (2)如圖2，將拋物線C1向下平移k(k＞0)個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′，B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值； (3)在(2)的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點

5、，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于P，Q兩點，試探究在直線y＝－1上是否存在點N，使得以P，Q，N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由． 5．(xx·棗莊中考)如圖1，已知二次函數y＝ax2＋x＋c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0，4)，與x軸交于點B，C，點C坐標為(8，0)，連接AB，AC. (1)請直接寫出二次函數y＝ax2＋x＋c的表達式； (2)判斷△ABC的形狀，并說明理由； (3)若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標； (4)如

6、圖2，若點N在線段BC上運動(不與點B，C重合)，過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標． 圖1 　 圖2 參考答案 1．解：(1)①如圖， ∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋， ∴頂點M的坐標為(，)． 當x＝時，y＝－2×＋4＝3， 則點N的坐標為(，3)． ②不存在．理由如下： MN＝－3＝. 假設存在點P，設P點坐標為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)， ∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m. ∵PD∥MN， ∴當PD＝MN時

7、，四邊形MNPD為平行四邊形， 即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝， 此時P點坐標為(，1)． ∵PN＝＝， ∴PN≠MN， ∴平行四邊形MNPD不為菱形， ∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形． (2)存在． 如圖， OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2. 當x＝1時，y＝－2x＋4＝2， 則P(1，2)， ∴PB＝＝. 設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋4， 把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2， ∴拋物線的表達式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4. 當x＝1時，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，

8、則D(1，2－a)， ∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB， ∴∠DPB＝∠OBA， ∴當＝時，△PDB∽△BOA，即＝， 解得a＝－2， 此時拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4. 當＝時，△PDB∽△BAO，即＝， 解得a＝－， 此時拋物線的表達式為y＝－x2＋3x＋4. 綜上所述，滿足條件的拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4. 2．解：(1)設水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式為y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，將(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5， 解得a＝－， ∴水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式為 y＝－

9、(x－3)2＋5(0＜x＜8)． (2)當y＝1.8時，有－(x－3)2＋5＝1.8， 解得x1＝－1(舍去)，x2＝7， ∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內． (3)當x＝0時，y＝－(x－3)2＋5＝. 設改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式為y＝－x2＋bx＋. ∵該函數圖象過點(16，0)， ∴0＝－×162＋16b＋，解得b＝3， ∴改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式為y＝－x2＋3x＋＝－(x－)2＋， ∴擴建改造后噴水池水柱的最大高度為米． 3．解：(1)根據表格可知當1≤x≤10(x為整數)時，z＝－

10、x＋20， 當11≤x≤12(x為整數)時，z＝10， ∴z與x的關系式為 z＝ (2)當1≤x≤8時， w＝(－x＋20)(x＋4)＝－x2＋16x＋80； 當9≤x≤10時， w＝(－x＋20)(－x＋20)＝x2－40x＋400； 當11≤x≤12時， w＝10(－x＋20)＝－10x＋200， ∴w與x的關系式為 w＝ (3)當1≤x≤8時， w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144， ∴x＝8時，w有最大值為144萬元； 當9≤x≤10時，w＝x2－40x＋400＝(x－20)2， w隨x的增大而減小， ∴x＝9時，w有最大值為121萬元；

11、 當11≤x≤12時，w＝－10x＋200， w隨x的增大而減小， ∴x＝11時，w有最大值為90萬元． ∵90<121<144， ∴x＝8時，w有最大值為144萬元． 4．解：(1)∵點A的坐標為(－1，0)，∴OA＝1. ∵OC＝3OA，∴點C的坐標為(0，3)． 將A，C點坐標代入y＝ax2－2ax＋c得 解得 ∴拋物線C1的表達式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴點G的坐標為(1，4)． (2)設拋物線C2的表達式為y＝－x2＋2x＋3－k， 即y＝－(x－1)2＋4－k. 如圖，過點G′作G′D⊥x軸于點D， 設B′D＝m. ∵△A′

12、B′G′為等邊三角形， ∴G′D＝B′D＝m， 則點B′的坐標為(m＋1，0)，點G′的坐標為(1，m)． 將點B′，G′的坐標代入y＝－(x－1)2＋4－k得 解得(舍去)或 ∴k＝1. (3)存在．M1(，0)，N1(，－1)；M2(，0)，N2(1，－1)；M3(4，0)，N3(10，－1)；M4(4，0)，N4(－2，－1)． 5．解：(1)y＝－x2＋x＋4. 提示：∵二次函數y＝ax2＋x＋c的圖象與y軸交于點A(0，4)，與x軸交于點B，C，點C坐標為(8，0)， ∴解得 ∴拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋4. (2)△ABC是直角三角形．理由如下：

13、令y＝0，則－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝8，x2＝－2， ∴點B的坐標為(－2，0)． 在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20， 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80. 又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10， ∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． (3)∵A(0，4)，C(8，0)， ∴AC＝＝4. ①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點N，此時N的坐標為(－8，0)； ②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點N，此時N的坐標為(8－4，0)或(8＋4，0)； ③作A

14、C的垂直平分線，交x軸于點N，此時N的坐標為(3，0)． 綜上所述，若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)． (4)設點N的坐標為(n，0)，則BN＝n＋2. 如圖，過點M作MD⊥x軸于點D， ∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO， ∴＝. ∵MN∥AC，∴＝，∴＝. ∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)． ∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BN·OA－BN·MD ＝(n＋2)×4－×(n＋2)2 ＝－(n－3)2＋5， 當n＝3時，S△AMN最大， ∴當△AMN面積最大時，N點坐標為(3，0)．