2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理 北師大版

第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型1有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN，且n1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN，且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)yaxa10a1圖像定義域R值域(0，)性質(zhì)過定點(0,1)當(dāng)x0時，y1；當(dāng)x0時，0y1當(dāng)x0時，0y1；當(dāng)x0時，y1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)1指數(shù)函數(shù)圖像的畫法畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖像，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，.2指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來研究一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函數(shù)yax21(a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0且a1)，則mn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1函數(shù)f(x)21x的大致圖像為()A BCDAf(x)21xx1，又f(0)2，f(1)1，故排除B，C，D，故選A.2若函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)的圖像經(jīng)過點P，則f(1)_.由題意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.3化簡(x0，y0)_.答案2x2y4已知a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_cbayx是減函數(shù)，0，則ab1，又c01，cba.考點1指數(shù)冪的運算指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答1.化簡·(a0，b0)_.原式2×213×101.2計算：0.00210(2)10_.原式250011010201.3化簡：_(a0)a2原式×a2.運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一考點2指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過平移、對稱、翻折變換得到其圖像(2)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解(1)函數(shù)f(x)axb的圖像如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲線y|3x1|與直線ym有兩個不同交點，則實數(shù)m的取值范圍是_(1)D(2)(0,1)(1)由f(x)axb的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖像是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.故選D.(2)曲線y|3x1|的圖像是由函數(shù)y3x的圖像向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線ym的圖像是平行于x軸的一條直線，它的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y|3x1|與直線ym有兩個公共點，則m的取值范圍是(0,1)母題探究1(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?|x|1m有兩個不同實根，則實數(shù)m的取值范圍是_(0，)作出函數(shù)y3|x|1與ym的圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍是(0，)2(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y|3x1|m的圖像不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是_(，1作出函數(shù)y|3x1|m的圖像如圖所示由圖像知m1，即m(，1應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖像的技巧(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是取特殊點，判斷所給的圖像是否過這些點，若不滿足則排除(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、對稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論1.函數(shù)f(x)1e|x|的圖像大致是() A B C DAf(x)1e|x|是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，又e|x|1，f(x)0，符合條件的圖像只有A.2函數(shù)yaxb(a0，且a1)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是_(0,1)因為函數(shù)yaxb的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)yaxb單調(diào)遞減且其圖像與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸上令x0，則ya0b1b，由題意得解得故ab(0,1)3已知實數(shù)a，b滿足等式2 019a2 020b，下列五個關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有_(填序號)作出y2 019x及y2 020x的圖像如圖所示，由圖可知ab0，ab0或ab0時，有2 019a2 020b，故不可能成立考點3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用主要是利用單調(diào)性解決相關(guān)問題，而指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按0a1和a1進行分類討論比較指數(shù)式的大小(1)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，則()AabcBacbCcabDbca(2)設(shè)函數(shù)f(x)x2a與g(x)ax(a1且a2)在區(qū)間(0，)上具有不同的單調(diào)性，則M(a1)0.2與N0.1的大小關(guān)系是()AMNBMNCMNDMN(1)A(2)D(1)由0.20.6,0.41，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像可知0.40.20.40.6，即bc.因為a20.21，b0.40.21，所以ab.綜上，abc.(2)因為f(x)x2a與g(x)ax(a1且a2)在區(qū)間(0，)上具有不同的單調(diào)性，所以a2，所以M(a1)0.21，N0.11，所以MN.故選D.指數(shù)式的大小比較，依據(jù)的就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，原則上化為同底的指數(shù)式，并要注意底數(shù)范圍是(0,1)還是(1，)，若不能化為同底，則可化為同指數(shù)，或利用中間變量比較，如本例(1)解簡單的指數(shù)方程或不等式(1)已知函數(shù)f(x)a的圖像過點，若f(x)0，則實數(shù)x的取值范圍是_(2)方程4x|12x|11的解為_(1)(2)xlog23(1)f(x)a的圖像過點，a，即a.f(x).f(x)0，0，24x13，即14x2，0x.(2)當(dāng)x0時，原方程化為4x2x120，即(2x)22x120.(2x3)(2x4)0，2x3，即xlog23.當(dāng)x0時，原方程化為4x2x100.令t2x，則t2t100(0t1)由求根公式得t均不符合題意，故x0時，方程無解(1)af(x)ag(x)f(x)g(x)(2)af(x)ag(x)，當(dāng)a1時，等價于f(x)g(x)；當(dāng)0a1時，等價于f(x)g(x)(3)有些含參指數(shù)不等式，需要分離變量，轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問題與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)f(x)x22x1的單調(diào)減區(qū)間為_(2)函數(shù)f(x)4x2x1的單調(diào)增區(qū)間是_(1)(，1(2)0，)(1)設(shè)ux22x1，yu在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)x22x1的減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間又ux22x1的增區(qū)間為(，1，所以f(x)的減區(qū)間為(，1(2)設(shè)t2x(t0)，則yt22t的單調(diào)增區(qū)間為1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)4x2x1的單調(diào)增區(qū)間是0，)逆向問題已知函數(shù)f(x)2|2xm|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間2，)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是_(，4令t|2xm|，則t|2xm|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減而y2t在R上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)f(x)2|2xm|在2，)上單調(diào)遞增，則有2，即m4，所以m的取值范圍是(，4求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)a(a，bR)是奇函數(shù)，且圖像經(jīng)過點，則函數(shù)f(x)的值域為()A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)(2)若不等式12x4x·a0在x(，1時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_(1)A(2)(1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，定義域是R，則f(0)a0，函數(shù)圖像過點，則f(ln 3)a.結(jié)合可得a1，b2，則f(x)1.因為ex0，所以ex11，所以02，所以111，即函數(shù)f(x)的值域為(1,1)(2)從已知不等式中分離出實數(shù)a，得a.因為函數(shù)yx和yx在R上都是減函數(shù)，所以當(dāng)x(，1時，x，x，所以xx，從而得.故實數(shù)a的取值范圍為a.指數(shù)函數(shù)的綜合問題，主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問題，應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行解決，而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點是單調(diào)性，注意利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化1.函數(shù)yx22x1的值域是()A(，4) B(0，)C(0,4 D4，)C設(shè)tx22x1，則yt.因為01，所以yt為關(guān)于t的減函數(shù)因為t(x1)222，所以0yt24，故所求函數(shù)的值域為(0,42已知實數(shù)a1，函數(shù)f(x)若f(1a)f(a1)，則a的值為_當(dāng)a1時，41a21，所以a；當(dāng)a1時，代入可知不成立，所以a的值為.3設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)1，則實數(shù)a的取值范圍是_(3,1)當(dāng)a0時，不等式f(a)1可化為a71，即a8，即a3，a3.又a0，3a0.當(dāng)a0時，不等式f(a)1可化為1.0a1，綜上，a的取值范圍為(3,1)9