2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題分類練2 數(shù)列 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題分類練2 數(shù)列 理 1．(2018·海南省二模)已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，且a4，a6，a9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝(－2)an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和． [解]　(1)因?yàn)閍4，a6，a9成等比數(shù)列，所以a＝a4·a9，又因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，a6＝a1＋5，a4＝a1＋3，a9＝a1＋8， 所以(a1＋5)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n. (2)由(1)可知an＝n，因?yàn)閎n＝(－2)an＋(

2、－1)nan，所以bn＝(－2)n＋(－1)nn. 所以S2n＝－2＋(－2)2＋…＋(－2)2n＋(－1＋2－3＋4－5＋…＋2n) ＝＋n＝n＋. 【教師備選】 (2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． [解]　(1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)記的

3、前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知＝＝－， 則Sn＝＋＋…＋－＝. 2．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)． (1)證明：{an＋1}為等比數(shù)列； (2)求{an}的通項(xiàng)公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？ [解]　(1)證明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3， ∴an＝2an－1＋1，∴a1＝1，＝＝2(n≥2)， ∴{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知，an＋1＝2n，∴an＝2n－1， ∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2， ∴n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，

4、∴n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差數(shù)列． 【教師備選】 已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋. (1)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)由an＋1＝an＋可得＝＋. 又∵bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1， 累加法可得：(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋， 化簡(jiǎn)并代入b1＝1得：bn＝2－. (2)由(1)可知an＝2n－，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn， 則Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋…＋，② Tn＝＋＋＋…＋－＝－ ＝2－， ∴Tn＝4－.

5、∴Sn＝n(n＋1)＋－4. 3．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. [解]　(1)當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝a－4(n－1)－1， 4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4， a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2， ∵an＞0，∴an＋1＝an＋2， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差d＝2的等差數(shù)列． ∵a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，∴a＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3，當(dāng)n＝1時(shí)，4a1＝a

6、－5＝4，∴a1＝1，∵a2－a1＝3－1＝2， ∴{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ＝×＋＋＋…＋ ＝·＜. 4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝λ·4n－3λ＋1(λ∈R)． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log2＋1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)由Sn＝λ·4n－3λ＋1，得Sn－1＝λ·4n－1－3λ＋1(x≥2)． ∴an＝Sn－Sn－1＝3λ·4n－1 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝λ＋1， ∵＝4.∴{an}是以λ＋1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列． ∵＝＝16，，∴λ＝. ∴an＝·4n－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，符合上式． ∴an＝·4n－1. (2)由(1)知bn＝log2＋1 ＝log2＋1＝2n. ∴＝＝. Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋…＋，② ①－②得： Tn＝1＋＋…＋－＝1＋－ ＝－， ∴Tn＝－·＝·＝.