2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.1.1 平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5

《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.1.1 平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.1.1 平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.1.1　平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式 1.認(rèn)識(shí)并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式，以及定理3、定理4、定理5等幾種不同形式，理解它們的幾何意義. 2.會(huì)用柯西不等的代數(shù)形式和向量形式以及定理3、定理4、定理5，證明比較簡(jiǎn)單的不等式，會(huì)求某些函數(shù)的最值. 自學(xué)導(dǎo)引 1.若a1，a2，b1，b2∈R，則(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，等號(hào)成立?a1b2＝a2b1. 2.設(shè)α，β為平面上的兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，等號(hào)成立?α與β共線?α＝λβ(λ≠0)；|α|＋|β|≥|α＋β|，等號(hào)成立的條件為〈α，β〉＝0或α與β同向或α＝λβ(λ

2、>0). 3.設(shè)a1，a2，b1，b2為實(shí)數(shù)，則＋≥，等號(hào)成立?存在非負(fù)實(shí)數(shù)μ及λ，使得μa1＝λb1，μa2＝λb2. 4.設(shè)平面上三點(diǎn)坐標(biāo)為A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，則＋≥ ，其幾何意義為：|AB|＋|BC|≥|AC|. 5.設(shè)α，β，γ為平面向量，則|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等號(hào)成立的充要條件為α－β＝λ(β－γ)__(λ>0). 基礎(chǔ)自測(cè) 1.已知a，b∈R*且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的關(guān)系是(　　) A.P≤Q B.PQ 解析　P＝(ax＋by)2＝[(x)

3、＋(y)]2 ≤(ax2＋by2)(a＋b)＝ax2＋by2＝Q ∴P≤Q，選A. 答案　A 2.下列說法： ①二維形式的柯西不等式中a，b，c，d沒有取值限制. ②二維形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取數(shù)，不能為代數(shù)式. ③柯西不等式的向量式中取等號(hào)的條件是α＝β. ④柯西不等式只能應(yīng)用于證明不等式或求最值. 其中正確的個(gè)數(shù)有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析　由柯西不等式的概念知，只①正確，a，b，c，d是實(shí)數(shù)，沒有其取值限制. 答案　A 3.設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________. 解

4、析　運(yùn)用柯西不等式求解. 根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為. 答案　 知識(shí)點(diǎn)1　利用柯西不等式證明不等式 【例1】 已知3x2＋2y2≤6，求證：2x＋y≤. 證明　由于2x＋y＝(x)＋(y). 由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得 (2x＋y)2≤(3x2＋2y2) ≤×6＝×6＝11， ∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤. ●反思感悟：柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2? ≥|a1b1＋a2b2|，應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵是對(duì)已知條件的變形. 1.

5、已知a，b，c，d∈R，x>0，y>0，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求證：xy≥ac＋bd. 證明　由柯西不等式知：ac＋bd≤＝·＝xy.∴xy≥ac＋bd. 【例2】 (二維形式的三角不等式)設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，用代數(shù)的方法證明 ＋≥ . 證明　(＋)2 ＝x＋y＋2 ＋x＋y ≥x＋y＋2|x1x2＋y1y2|＋x＋y ≥x＋y－2(x1x2＋y1y2)＋x＋y ＝x－2x1x2＋x＋y－2y1y2＋y ＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ∴＋≥ ●反思感悟：在平面中設(shè)α＝(x1，y1)，β＝(x2，y2)，則α±β＝(x1±x2，y1±y2

6、)由向量加法的三角形法則知： |α|＋|β|≥|α＋β|?＋≥ ，由向量減法的幾何意義知： |α|＋|β|≥|α－β|?＋≥ . 2.利用柯西不等式證明：≥. 證明?。? ≤(a2＋b2)＝. 知識(shí)點(diǎn)2　利用柯西不等式求函數(shù)的最值 【例3】 求函數(shù)y＝5＋的最大值. 解　函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤5}. y＝5＋≤ ＝×2＝6當(dāng)且僅當(dāng)5＝ 即x＝時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為6. ●反思感悟：解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，使形式上適合應(yīng)用柯西不等式，還要注意求出使函數(shù)取得最值時(shí)的自變量的值. 3.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值. 解　2x2＋3

7、y2＝[(x)2＋(y)2]× ≥ ＝(x＋y)2＝. 課堂小結(jié) 1.二維形式的柯西不等式 (a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2當(dāng)且僅當(dāng)a1b2＝a2b1時(shí)等號(hào)成立. 2.推論：(1)(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2； (2)·≥|a1b1＋a2b2|； (3)·≥|a1b1|＋|a2b2|. 3.柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|.當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ≠0，使α＝λβ時(shí)等號(hào)成立. 4.二維形式的三角不等式 (1)＋≥(或 ＋≥)； (2)＋≥ . 隨堂演練 1.寫出空間直角坐標(biāo)系中柯西不等式的代數(shù)形式. 解　(a＋a＋a)(b＋b＋b) ≥(

8、a1b1＋a2b2＋a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)等號(hào)成立. 2.寫出空間代數(shù)形式的三角不等式. 解　有兩種形式分別對(duì)應(yīng)定理3、定理4. 定理3為＋ ≥ 定理4為＋ ≥ . 3.已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1. 求證：ax＋by＋cz≤1. 證明　由柯西不等式得： (a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2 ∵a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1， ∴|ax＋by＋cz|≤1. ∴ax＋by＋cz≤1. 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.函數(shù)y＝＋的最小值是(　　) A.20 B.2

9、5 C.27 D.18 解析　y＝＋＝[2x＋(1－2x)] ＝[()2＋()2] ≥＝(2＋3)2＝25. 答案　B 2.若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是(　　) A.[－2，2] B.[－2，2] C.[－，] D.[－，] 解析　∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2 ∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2]. 答案　A 3.已知4x2＋5y2＝1，則2x＋y的最大值是(　　) A. B.1 C.3 D.9 解析　∵2x＋y＝2x·1＋y·1 ≤ ·＝·＝. ∴2x＋y的最大值為. 答案　A 4.設(shè)a、b

10、、c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值是________. 解析　∵(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2][( )2＋( )2＋( )2]≥＝18. ∴＋＋≥2. 答案　2 5.若a2＋b2＋c2＝2，x2＋y2＋z2＝4，則ax＋by＋cz的取值范圍是__________. 解析　∵(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2， ∴(ax＋by＋cz)2≤8，∴－2≤ax＋by＋cz≤2. 答案　[－2，2 ] 6.已知a2＋b2＝1，a，b∈R，求證：|acos θ＋bsin θ|≤1. 證明　∵(acos θ＋bsin θ)2≤(a2

11、＋b2)(cos2θ＋sin2θ) ＝1·1＝1，∴|acos θ＋bsin θ|≤1. 綜合提高 7.已知x，y∈R＋，且xy＝1，則·的最小值為(　　) A.4 B.2 C.1 D. 解析　(1＋)＝≥＝＝22＝4. 答案　A 8.設(shè)a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，則(　　) A.P>Q B.P≥Q C.P0，b>0，∴a＋b>0. ∴≥＝(a＋b) 又∵a≠b，而等號(hào)成立的條件是·＝· 即a＝b，∴>a＋b. 即P>Q. 答案　A 9.設(shè)a，b，

12、c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，P＝＋，Q＝·，則P與Q的大小________. 解析　由柯西不等式，得P＝＋≤×＝·＝Q. 答案　P≤Q 10.函數(shù)y＝2＋的最大值為________. 解析　y＝2＋＝＋1·≤· ＝·＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)·1＝·取等號(hào). 即2－2x＝4x＋2，∴x＝0時(shí)取等號(hào). 答案　3 11.若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值點(diǎn). 解　由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1， ∴4x2＋9y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)2x·1＝3y·1， 即2x＝3y時(shí)取等號(hào). 由　得 ∴4x2＋9y2的最小值為，最小值點(diǎn)為. 12.設(shè)a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值. 解　∵(a＋b) ＝[()2＋()2] ≥＝(1＋1)2＝4. ∴2≥4， 即≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)·＝·， 即a＝b時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，＋的最小值為2. 8