(全國通用版)2022年高考數(shù)學一輪復習 第十一單元 空間位置關(guān)系 高考達標檢測(三十)平行問題3角度——線線、線面、面面 理

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1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學一輪復習 第十一單元 空間位置關(guān)系 高考達標檢測(三十)平行問題3角度——線線、線面、面面 理 一、選擇題 1.(2018·惠州模擬)設(shè)直線l,m,平面α,β,則下列條件能推出α∥β的是(  ) A.l?α,m?α,且l∥β,m∥β B.l?α,m?β,且l∥m C.l⊥α,m⊥β,且l∥m D.l∥α,m∥β,且l∥m 解析:選C 借助正方體模型進行判斷.易排除選項A、B、D,故選C. 2.如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,下列直線與平面AD′C平行的是(  ) A.B′C′         B.A′B C.A′B′ D.BB′

2、 解析:選B 連接A′B,∵A′B∥CD′,CD′?平面AD′C, ∴A′B∥平面AD′C. 3.設(shè)α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線,l1,l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α∥β的一個充分不必要條件是(  ) A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2 C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α 解析:選A 由m∥l1,m?α,l1?β,得l1∥α,同理l2∥α, 又l1,l2相交,所以α∥β,反之不成立, 所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個充分不必要條件. 4.(2018·福州模擬)已知直線a,b異面,給出以下命題: ①一定存在平行于a的平面α

3、使b⊥α; ②一定存在平行于a的平面α使b∥α; ③一定存在平行于a的平面α使b?α; ④一定存在無數(shù)個平行于a的平面α與b交于一定點. 則其中命題正確的是(  ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④ 解析:選D 對于①,若存在平面α使得b⊥α,則有b⊥a,而直線a,b未必垂直,因此①不正確; 對于②,注意到過直線a,b外一點M分別引直線a,b的平行線a1,b1,顯然由直線a1,b1可確定平面α,此時平面α與直線a,b均平行,因此②正確; 對于③,注意到過直線b上的一點B作直線a2與直線a平行,顯然由直線b與a2可確定平面α,此時平面α與直線a平行,且b?α,因此

4、③正確; 對于④,在直線b上取一定點N,過點N作直線c與直線a平行,經(jīng)過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行,且與直線b相交于一定點N,因此④正確. 綜上所述,②③④正確. 5.如圖,透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面四個命題: ①沒有水的部分始終呈棱柱形; ②水面EFGH所在四邊形的面積為定值; ③棱A1D1始終與水面所在平面平行; ④當容器傾斜如圖所示時,BE·BF是定值. 其中正確命題的個數(shù)是(  ) A.1 B.2

5、C.3 D.4 解析:選C 由題圖,顯然①是正確的,②是錯誤的; 對于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG, ∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH, ∴A1D1∥平面EFGH(水面). ∴③是正確的; 對于④,∵水是定量的(定體積V), ∴S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V. ∴BE·BF=(定值),即④是正確的,故選C. 6.(2018·合肥模擬)在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB和BC上的點,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是(  ) A.平行 B.相交 C.在平面內(nèi) D.不能確定 解析:選A 如圖,

6、由=得AC∥EF. 又因為EF?平面DEF,AC?平面DEF, 所以AC∥平面DEF. 二、填空題 7.有下列四個命題,其中正確命題的序號是________. ①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α; ②若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行; ③若平面α與平面β平行,直線l在平面α內(nèi),則l∥β; ④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點. 解析:①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α或l與α相交,故①錯誤; ②若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行或異面,故②錯誤; ③由面面平行的定義可知,③正確;

7、 ④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點,故④正確. 答案:③④ 8.在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,則點Q滿足條件________時,有平面D1BQ∥平面PAO. 解析:如圖所示,假設(shè)Q為CC1的中點, 因為P為DD1的中點,所以QB∥PA. 連接DB,因為P,O分別是DD1,DB的中點, 所以D1B∥PO, 又D1B?平面PAO,QB?平面PAO, 所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO, 又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO. 故Q滿足條件Q為CC1的中點

8、時,有平面D1BQ∥平面PAO. 答案:Q為CC1的中點 9.如圖,在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為側(cè)棱VC,VB上的點,且滿足VC=3EC,AF∥平面BDE,則=________. 解析:連接AC交BD于點O,連接EO,取VE的中點M,連接AM,MF,由VC=3EC?VM=ME=EC,又AO=CO?AM∥EO?AM∥平面BDE,又由題意知AF∥平面BDE,且AF∩AM=A,∴平面AMF∥平面BDE?MF∥平面BDE?MF∥BE?VF=FB?=2. 答案:2 三、解答題 10.如圖所示,在三棱柱ABC -A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB

9、⊥BC,D為AC的中點,AA1=AB=2. (1)求證:AB1∥平面BC1D; (2)設(shè)BC=3,求四棱錐B -AA1C1D的體積. 解:(1)證明:連接B1C,設(shè)B1C與BC1相交于點O,連接OD. ∵四邊形BCC1B1是平行四邊形, ∴點O為B1C的中點. ∵D為AC的中點, ∴OD為△AB1C的中位線, ∴OD∥AB1. ∵OD?平面BC1D, AB1?平面BC1D, ∴AB1∥平面BC1D. (2)∵AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C1C, ∴平面ABC⊥平面AA1C1C. ∵平面ABC∩平面AA1C1C=AC, 作BE⊥AC,垂足為E, 則BE⊥

10、平面AA1C1C. ∵AB=AA1=2,BC=3,AB⊥BC, ∴在Rt△ABC中,AC===, ∴BE==, ∴四棱錐B -AA1C1D的體積V=×(A1C1+AD)·AA1·BE=××2×=3. 11.如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC. 若BE=1,在折疊后的線段AD上是否存在一點P,且=λ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,說明理由. 解:AD上存在一點P,使得CP∥平面ABEF,此時λ=. 理由如下: 當λ=時,

11、=,可知=, 如圖,過點P作MP∥FD交AF于點M,連接EM,PC, 則有==, 又BE=1,可得FD=5,故MP=3, 又EC=3,MP∥FD∥EC,所以MP綊EC, 故四邊形MPCE為平行四邊形, 所以CP∥ME,又CP?平面ABEF,ME?平面ABEF, 所以CP∥平面ABEF. 12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,E為PA的中點,∠BAD=60°. (1)求證:PC∥平面EBD; (2)求三棱錐P-EDC的體積. 解:(1)證明:設(shè)AC與BD相交于點O,連接OE.由題意知,底面ABCD是菱形,則O為AC的中點

12、,又E為AP的中點,所以O(shè)E∥PC.因為OE?平面EBD,PC?平面EBD,所以PC∥平面EBD. (2)S△PCE=S△PAC=××2×2=.因為四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以DO⊥平面PAC,即DO是三棱錐D-PCE的高,且DO=1,則VP-EDC=VD-PCE=××1=. 如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是邊長為2的正三角形,E,F(xiàn)分別為AD,A1D1的中點. (1)求證:DD1⊥平面ABCD; (2)求證:平面A1BE⊥平面ADD

13、1A1; (3)若CF∥平面A1BE,求棱BC的長度. 解:(1)證明:因為側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形, 所以DD1⊥AD,且DD1⊥CD. 因為AD∩CD=D, 所以DD1⊥平面ABCD. (2)證明:因為△ABD是正三角形,且E為AD中點, 所以BE⊥AD. 因為DD1⊥平面ABCD, 而BE?平面ABCD, 所以BE⊥DD1. 因為AD∩DD1=D, 所以BE⊥平面ADD1A1. 因為BE?平面A1BE, 所以平面A1BE⊥平面ADD1A1. (3)因為BC∥AD, 而F為A1D1的中點, 所以BC∥A1F. 所以B,C,F(xiàn),A1四點共面. 因為CF∥平面A1BE, 而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B, 所以CF∥A1B. 所以四邊形BCFA1為平行四邊形. 所以BC=A1F=AD=1.

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