(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 高考達(dá)標(biāo)檢測(五十七)坐標(biāo)系 理

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1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 高考達(dá)標(biāo)檢測(五十七)坐標(biāo)系 理 1.在極坐標(biāo)系中,直線ρ(sin θ-cos θ)=a與曲線ρ=2cos θ-4sin θ相交于A,B兩點,若|AB|=2,求實數(shù)a的值. 解:直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x-y+a=0, 曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y+2)2=5, 所以圓心C的坐標(biāo)為(1,-2),半徑r=, 所以圓心C到直線的距離為 = =, 解得a=-5或a=-1. 故實數(shù)a的值為-5或-1. 2.在極坐標(biāo)系中,求直線ρcos=1與圓ρ=4sin θ的交點的極坐標(biāo). 解:

2、ρcos=1化為直角坐標(biāo)方程為x-y=2, 即y=x-2. ρ=4sin θ可化為x2+y2=4y, 把y=x-2代入x2+y2=4y, 得4x2-8x+12=0, 即x2-2x+3=0, 所以x=,y=1. 所以直線與圓的交點坐標(biāo)為(,1), 化為極坐標(biāo)為. 3.(2018·長春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2- 2ρcos=2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程. 解:(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4; 因為ρ2-2ρcos=2, 所以ρ2-2

3、ρ=2, 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減,得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x+y=1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=1, 即ρsin=. 4.已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點O為極點,x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2與曲線C相交于異于原點的兩點 A,B ,求△AOB的面積. 解:(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), ∴曲線C的普通方程為(x-2)2+(y-1)2=5, 將代入并化簡得ρ=4cos θ+2sin θ, 即曲線C的極坐標(biāo)方程

4、為ρ=4cos θ+2sin θ. (2)在極坐標(biāo)系中,C:ρ=4cos θ+2sin θ, ∴由得|OA|=2+1, 同理:|OB|=2+. 又∵∠AOB=,∴S△AOB=|OA|·|OB|sin∠AOB=, 即△AOB的面積為. 5.在坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2acos θ(a>0),直線l:ρcosθ-=,C與l有且只有一個公共點. (1)求a的值; (2)若原點O為極點,A,B為曲線C上兩點,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值. 解:(1)由已知在直角坐標(biāo)系中, C:x2+y2-2ax=0?(x-a)2+y2=a2(a>0); l:x+y-3=0. 因為C

5、與l只有一個公共點,所以l與C相切, 即=a,則a=1. (2)設(shè)A(ρ1,θ),則B, ∴|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cos θ+2cos=3cos θ-sin θ=2cos. 所以,當(dāng)θ=-時,(|OA|+|OB|)max=2. 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x+y-4=0,曲線C2:x2+(y-1)2=1,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)若曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α,且曲線C3分別交C1,C2于點A,B,求的最大值. 解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴C1:ρcos θ+ρsin

6、 θ-4=0,C2:ρ=2sin θ. (2)曲線C3為θ=α, 設(shè)A(ρ1,α),B(ρ2,α),ρ1=,ρ2=2sin α, 則==×2sin α(cos α+sin α)=2sin2α-+1, ∴當(dāng)α=時,max=. 7.平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為+y2=1,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin,射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=α0(ρ≥0). (1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若射線OM平分曲線C2,且與曲線C1交于點A,曲線C1上的點滿足∠AOB=,求|AB|. 解:(1)曲線C1的

7、極坐標(biāo)方程為ρ2=, 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x-)2+(y-1)2=4. (2)曲線C2是圓心為(,1),半徑為2的圓, ∴射線OM的極坐標(biāo)方程為θ= (ρ≥0), 代入ρ2=,可得ρ=2. 又∠AOB=,∴ρ=, ∴|AB|===. 8.已知在一個極坐標(biāo)系中點C的極坐標(biāo)為. (1)求出以C為圓心,半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)并畫出圖形; (2)在直角坐標(biāo)系中,以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,點P是圓C上任意一點,Q(5,-),M是線段PQ的中點,當(dāng)點P在圓C上運動時,求點M的軌跡的普通方程. 解:(1)作出圖形如圖所示, 設(shè)圓C上任意一點A(ρ,θ), 則∠AOC=θ-或-θ. 由余弦定理得,4+ρ2-4ρcosθ-=4, ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos. (2)在直角坐標(biāo)系中,點C的坐標(biāo)為(1,), 可設(shè)圓C上任意一點P(1+2cos α,+2sin α), 設(shè)M(x,y),由Q(5,-),M是線段PQ的中點, 得點M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 即(α為參數(shù)), ∴點M的軌跡的普通方程為(x-3)2+y2=1.

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