（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第九單元 不等式學案 文

（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第九單元 不等式學案 文不等式、一元二次不等式(2)作商法2不等式的性質(1)對稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>ca>c；(3)可加性：a>bacbc；a>b，c>dacbd；(4)可乘性：a>b，c>0acbc；a>b>0，c>d>0acbd；(5)可乘方性：a>b>0anbn(nN，n1)；(6)可開方性：a>b>0(nN，n2)3三個“二次”間的關系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實根x1，x2 (x1x2)有兩相等實根x1x2沒有實數(shù)根ax2bxc0 (a0)的解集x|x>x2或x<x1ax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx21若a>b>0，則下列不等式中恒成立的是()A.>Ba>bCa>b D.>解析：選C由a>b>00<<a>b，故選C.2設M2a(a2)，N(a1)(a3)，則()AM >N BM NCMN DMN解析：選A由題意知，MN2a(a2)(a1)(a3)2a24a(a22a3)(a1)22>0恒成立，所以M>N.3已知一元二次不等式f(x)0的解集為xx1或x，則f(10x)0的解集為()Ax|x1或xlg 2 Bx|1xlg 2Cx|xlg 2 Dx|xlg 2解析：選C一元二次不等式f(x)0的解集為xx1或x，則不等式f(10x)0可化為10x1或10x，解得xlg ，即xlg 2，所以所求不等式的解集為x|xlg 24不等式6x22x的解集是_解析：不等式6x22x可化為6x2x20，即(3x2)(2x1)0，解不等式得x<或x>，所以該不等式的解集是.答案：清易錯1在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”，例如當c0時，有a>bac2>bc2；若無c0這個條件，a>bac2>bc2就是錯誤結論(當c0時，取“”)2對于不等式ax2bxc>0，求解時不要忘記討論a0時的情形3當<0時，ax2bxc>0(a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別a的符號1若(m1)x2(m1)x3(m1)<0對任何實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1，) B(，1)C. D.(1，)解析：選C當m1時，不等式為2x6<0，即x<3，不符合題意當m1時，則解得m<，符合題意故實數(shù)m的取值范圍為.2對于實數(shù)a，b，c，有下列命題：若ab，則acbc；若ac2bc2，則ab；若ab0，則a2abb2；若cab0，則；若ab，則a0，b0.其中真命題的序號是_解析：當c0時，若ab，則acbc，故為假命題；若ac2bc2，則c0，c20，故ab，故為真命題；若ab0，則a2ab且abb2，即a2abb2，故為真命題；若cab0，則，則，則，故為真命題；若ab，即>0，故ab0，則a0，b0，故為真命題故為真命題答案：3若不等式ax2bxc0的解集是(2,3)，則不等式bx2axc0的解集是_解析：不等式ax2bxc0的解集是(2,3)，a0，且對應方程ax2bxc0的實數(shù)根是2和3，由根與系數(shù)的關系，得即6，1，b0，且1，6，不等式bx2axc0可化為x2x60，解得3x2，該不等式的解集為(3,2)答案：(3,2)簡單的線性規(guī)劃問題過雙基1一元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0不包括邊界直線AxByC0直線AxByC0某一側的所有點組成的平面區(qū)域包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數(shù)關于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標函數(shù)關于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題1不等式(x2y1)(xy3)0在坐標平面內表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應是()解析：選C由(x2y1)(xy3)0或結合圖形可知選C.2(2017·全國卷)設x，y滿足約束條件則zxy的最大值為()A0 B1C2 D3解析：選D不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，平移直線yx，當直線經(jīng)過點A(3,0)時，zxy取得最大值，此時zmax303.3在平面直角坐標系xOy中，P為不等式組所表示的平面區(qū)域上一動點，則直線OP斜率的最大值為()A2 B.C. D1解析：選D作出可行域如圖中陰影部分所示，當點P位于的交點(1,1)時，(kOP)max1.4已知z2xy，實數(shù)x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是()A. B.C. D.解析：選A根據(jù)題意畫出如圖所示的可行域如圖中陰影部分所示平移直線l：2xy0，當l過點A(m，m)時z最小，過點B(1,1)時z最大，由題意知，zmax4zmin，即34×3m，解得m.清易錯1畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先把二元一次不等式化為axbyc>0(a>0)2線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內使目標函數(shù)取得最值的點不一定只有一個，也可能有無數(shù)多個，也可能沒有實數(shù)x，y滿足使zaxy取得最大值的最優(yōu)解有2個，則z1axy1的最小值為()A0 B2C1 D1解析：選A畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，zaxy取得最大值的最優(yōu)解有2個，a1，a1，當x1，y0或x0，y1時，zaxyxy有最小值1，axy1的最小值是0.基本不等式 過雙基1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab.2幾個重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)(a，b同號)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果xy是定值q，那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)1若實數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2C2 D4解析：選C由，知a0，b0，所以2 ，即ab2，當且僅當即a，b2時取“”，所以ab的最小值為2.2已知直線2axby20(a0，b0)過點(1,2)，則的最小值是()A2 B3C4 D1解析：選C由直線2axby20(a0，b0)過點(1,2)，可得2a2b2，即ab1.則(ab)222 4，當且僅當ab時取等號的最小值為4.3已知x，yR且2x2y1，則xy的取值范圍為_解析：根據(jù)題意知，2x0,2y0，所以12x2y22，即2xy22，xy2，所以xy的取值范圍為(，2答案：(，2 清易錯1求最值時要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件2多次使用基本不等式時，易忽視取等號的條件的一致性1在下列函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()AyxBycos xCyDyex2解析：選D當x<0時，yx2，故A錯誤；因為0<x<，所以0<cos x<1，所以ycos x>2，故B錯誤；因為，所以y>2，故C錯誤；因為ex>0，所以yex2222，當且僅當ex，即ex2時等號成立，故選D.2(2017·天津高考)若a，bR，ab>0，則的最小值為_解析：因為ab>0，所以4ab24，當且僅當時取等號，故的最小值是4.答案：4一、選擇題1(2018·洛陽統(tǒng)考)已知a<0，1<b<0，那么()Aa>ab>ab2Bab2>ab>aCab>a>ab2 Dab>ab2>a解析：選D1<b<0，b<b2<1，又a<0，ab>ab2>a.2下列不等式中正確的是()A若aR，則a29>6aB若a，bR，則2C若a>0，b>0，則2lglg alg bD若xR，則x2>1解析：選Ca26a9(a3)20，A錯誤；顯然B不正確；a>0，b>0，.2lg2lglg(ab)lg alg b，C正確；當x0時，x21，D錯誤，故選C.3若角，滿足<<<，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B<<，<<，<<，<<.又<，<0，從而<<0.4若關于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a()A. B.C. D.解析：選A由條件知x1，x2為方程x22ax8a20，(a>0)的兩根，則x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24×(8a2)36a2152，解得a.5不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A1 B.C. D.解析：選D作出不等式組對應的區(qū)域為BCD，由題意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD×(21)×.6(2018·成都一診)已知x，y(0，)，且log2xlog2y2，則的最小值是()A4 B3C2 D1解析：選D，當且僅當xy時取等號log2xlog2ylog2(xy)2，xy4.1.故的最小值為1.7設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)zy2x的最小值為()A7 B4C1 D2解析：選A法一：將zy2x化為y2xz，作出可行域和直線y2x(如圖所示)，當直線y2xz向右下方平移時，直線y2xz在y軸上的截距z減小，數(shù)形結合知當直線y2xz經(jīng)過點A(5，3)時，z取得最小值3107.法二：易知平面區(qū)域的三個頂點坐標分別為B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分別代入zy2x，得z的值為1，4，7，故z的最小值為7.8(2017·山東高考改編)若直線1(a0，b0)過點(1,2)，則2ab的最小值為()A4 B32C8 D4解析：選C直線1(a0，b0)過點(1,2)，1，a0，b0，2ab(2ab)4428，當且僅當，即a2，b4時等號成立，2ab的最小值為8.二、填空題9(2018·沈陽模擬)已知實數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值為_解析：因為x2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy13×2，當且僅當xy時等號成立，即(xy)24，解得2xy2.所以xy的最大值為2.答案：210(2017·鄭州二模)某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設這所學校今年計劃招聘教師最多x名，則x_.解析：畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：ba0，平移直線l，再由a，bN，可知當a6，b7時，招聘的教師最多，此時xab13.答案：1311一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，則這個矩形的長為_ m，寬為_ m時菜園面積最大解析：設矩形的長為x m，寬為y m則x2y30，所以Sxyx·(2y)2，當且僅當x2y，即x15，y時取等號答案：1512(2018·邯鄲質檢)若不等式組表示的平面區(qū)域為一個銳角三角形及其內部，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：直線ykx3恒過定點(0,3)，作出不等式組表示的可行域知，要使可行域為一個銳角三角形及其內部，需要直線ykx3的斜率在0與1之間，即k(0,1)答案：(0,1)三、解答題13已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解關于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集為(1,3)，求實數(shù)a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化為a26a3<0，解得32<a<32.原不等式的解集為a|32<a<32(2)f(x)>b的解集為(1,3)等價于方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1,3，故解得14(2018·濟南一模)已知x>0，y>0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解：(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，當且僅當2x5y時等號成立因此有解得此時xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)x>0，y>0，·，當且僅當時等號成立的最小值為.高考研究課(一)不等式性質、一元二次不等式全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度不等式性質5年2考比較大小一元二次不等式解法5年8考與集合交匯命題考查解法不等式恒成立問題5年1考利用不等式恒成立求參數(shù)不等式的性質及應用典例若<<0，給出下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2.其中正確的不等式是()ABC D解析法一：用“特值法”解題因為<<0，故可取a1，b2.顯然|a|b121<0，所以錯誤；因為ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 4>0，所以錯誤，綜上所述，可排除A、B、D，選C.法二：用“直接法”解題由<<0，可知b<a<0.中，因為ab<0，ab>0，所以<，故正確；中，因為b<a<0，所以b>a>0.故b>|a|，即|a|b<0，故錯誤；中，因為b<a<0，又<<0，則>>0，所以a>b，故正確；中，因為b<a<0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故錯誤由以上分析，知正確答案C方法技巧不等式性質應用問題的3大常見類型及解題策略(1)利用不等式性質比較大小熟記不等式性質的條件和結論是基礎，靈活運用是關鍵，要注意不等式性質成立的前提條件(2)與充要條件相結合問題用不等式的性質分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應用(3)與命題真假判斷相結合問題解決此類問題除根據(jù)不等式的性質求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法 即時演練1(2018·泰安調研)設a，bR，若p：a<b，q：<<0，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B當a<b時，<<0不一定成立；當<<0時，a<b<0.綜上可得，p是q的必要不充分條件2若ab0，給出下列不等式：a21b2；|1a|b1|；，其中正確的個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選D因為ab0，所以ab0，則1a1b1，所以a21b2正確；|1a|b1|正確；因為ab0，所以abab0，所以正確，故選D.3已知ab>0，則與的大小關系是_解析：(ab)·.ab>0，(ab)20，0.答案：一元二次不等式的解法典例解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集為.(2)原不等式等價于借助于數(shù)軸，如圖所示，故原不等式的解集為.(3)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，因為a0，所以a(x1)0.所以當a1時，解為x1；當a1時，解集為；當0a1時，解為1x.綜上，當0a1時，不等式的解集為；當a1時，不等式的解集為；當a1時，不等式的解集為.方法技巧解一元二次不等式的4個步驟即時演練1若(x1)(x2)2，則(x1)(x3)的取值范圍是()A(0,3) B4，3)C4,0) D(3,4解析：選C解不等式(x1)(x2)2，可得0x3，(x1)(x3)x22x3，由二次函數(shù)的性質可得(x1)(x3)的取值范圍是4,0)2(2018·昆明、玉溪統(tǒng)考)若不等式ax2bxc>0的解集為x|1<x<2，則不等式a(x21)b(x1)c>2ax的解集為()Ax|2<x<1 Bx|x<2或x>1Cx|0<x<3 Dx|x<0或x>3解析：選C由題意a(x21)b(x1)c>2ax，整理得ax2(b2a)x(acb)>0，又不等式ax2bxc>0的解集為x|1<x<2，則a<0，且1,2分別為方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關系得即，將兩邊同除以a得x2x<0，將代入得x23x<0，解得0<x<3.一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式與其對應的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉換.對于一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍.,常見的命題角度有：(1)形如f(x)0(0)(xR)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)0(0)(xa，b)確定參數(shù)范圍；(3)形如f(x)0(0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍.角度一：形如f(x)0(0)(xR)確定參數(shù)的范圍1(2018·南昌一模)已知函數(shù)f(x)mx22xm1，是否存在實數(shù)m對所有的實數(shù)x，f(x)<0恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解：f(x)mx22xm10恒成立，即函數(shù)f(x)mx22xm1的圖象全部在x軸下方當m0時，12x0，則x，不滿足題意；當m0時，函數(shù)f(x)mx22xm1為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程mx22xm10無解，即不等式組的解集為空集，即m無解綜上可知不存在這樣的m.方法技巧對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方角度二：形如f(x)0(0)(xa，b)確定參數(shù)的范圍2(2018·西安八校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，則mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立有以下兩種方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3當m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，則0m.當m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，則m0.綜上所述，m的取值范圍是(，0).法二：因為x2x120，又因為m(x2x1)60，所以m.因為函數(shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可因為m0，所以m的取值范圍是(，0).方法技巧解決一元二次不等式的恒成立問題常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值角度三：形如f(x)0(0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍3對任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m0恒成立，求x的取值范圍解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x<1或x>3.故當x(，1)(3，)時，對任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零方法技巧解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)即把變元與參數(shù)交換位置，構造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解1(2014·全國卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，則AB()A2，1B1,2)C1,1 D1,2)解析：選AAx|x1或x3，故AB2，12(2014·全國卷)設集合M0,1,2，Nx|x23x20，則MN()A1 B2C0,1 D1,2解析：選DNx|x23x20x|1x2，又M0,1,2，所以MN1,23(2012·全國卷)已知集合Ax|x2x2<0，Bx|1<x<1，則()AAB BBACAB DAB解析：選BAx|x2x2<0x|1<x<2，Bx|1<x<1，所以BA.一、選擇題1(2018·唐山一模)下列命題中，正確的是()A若a>b，c>d，則ac>bdB若ac>bc，則a>bC若<<0，則|a|b<0D若a>b，c>d，則ac>bd解析：選C取a2，b1，c1，d2，可知A錯誤；當c<0時，ac>bca<b，B錯誤；由<<0，可知b<a<0，所以b>a>0，故b>|a|，即|a|b<0，故C正確；取ac2，bd1，可知D錯誤2(2017·山東高考)若a>b>0，且ab1，則下列不等式成立的是()Aa<<log2(ab)B.<log2(ab)<aCa<log2(ab)<Dlog2(ab)<a<解析：選B根據(jù)題意，令a2，b進行驗證，易知a4，log2(ab)log2>1，因此a>log2(ab)>.3已知集合Mx|x24x>0，Nx|m<x<8，若MNx|6<x<n，則mn()A10B12C14 D16解析：選CMx|x24x>0x|x>4或x<0，Nx|m<x<8，由于MNx|6<x<n，m6，n8，mn14.4(2018·重慶檢測)不等式<1的解集是()A(，1)(1，) B(1，)C(，1) D(1,1)解析：選A<1，1<0，即<0，該不等式可化為(x1)(x1)>0，x<1或x>1.5不等式f(x)ax2xc>0的解集為x|2<x<1，則函數(shù)yf(x)的圖象為()解析：選B由根與系數(shù)的關系得21，2，得a1，c2，f(x)x2x2(經(jīng)檢驗知滿足題意)，f(x)x2x2，其圖象開口向下，對稱軸為x，結合圖象知選B.6(2018·合肥一模)若不等式2kx2kx<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：選D當k0時，顯然成立；當k0時，即一元二次不等式2kx2kx<0對一切實數(shù)x都成立，則解得3<k<0.綜上，滿足不等式2kx2kx<0對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是(3,07若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：選B原不等式為(xa)(x1)0，當a<1時，不等式的解集為a,1，此時只要a4即可，即4a<1；當a1時，不等式的解為x1，此時符合要求；當a>1時，不等式的解集為1，a，此時只要a3即可，即1<a3.綜上可得4a3.8某商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準備采用提高售價來增加利潤已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件應定為()A12元 B16元C12元到16元之間 D10元到14元之間解析：選C設銷售價定為每件x元，利潤為y，則y(x8)10010(x10)，依題意有，(x8)10010(x10)320，即x228x1920，解得12x16，所以每件銷售價應為12元到16元之間二、填空題9(2018·武漢一模)已知存在實數(shù)a滿足ab2>a>ab，則實數(shù)b的取值范圍是_解析：ab2>a>ab，a0，當a>0時，b2>1>b，即解得b<1；當a<0時，b2<1<b，即此式無解綜上可得實數(shù)b的取值范圍為(，1)答案：(，1)10(2018·河南六市一聯(lián))不等式x2ax4<0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x2ax4<0的解集不是空集，a24×4>0，即a2>16.a>4或a<4.答案：(，4)(4，)11已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則不等式f(x)<4的解集為_解析：當x>0時，x<0，即f(x)bx23x，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即bx23xx2ax，可得a3，b1，所以f(x)當x0時，由x23x<4，解得0x<4；當x<0時，由x23x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集為(，4)答案：(，4)12對一切實數(shù)x，不等式x2a|x|10恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當x0時，不等式恒成立，當x0時，將問題轉化為a|x|，由|x|2，故a2，即a2.所以實數(shù)a的取值范圍為2，)答案：2，)三、解答題13已知aR，解關于x的方程ax2(a2)x20.解：原不等式等價于(ax2)(x1)0.(1)當a0時，原不等式為(x1)0，解得x1.即原不等式的解集為(1，)(2)若a0，則原不等式可化為(x1)0，對應方程的根為x1或x.當1，即0a2時，不等式的解為1x；當a2時，不等式的解集為；當1，即a2時，不等式的解為x1.(3)若a0，則原不等式可化為(x1)0，所以1，所以不等式的解為x1或x.綜上，當a0時，不等式的解集為(1，)當0a2時，不等式的解集為.當a2時，不等式的解集為.當a2時，不等式的解集為.當a0時，不等式的解集為(1，)14某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品質量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(出廠價投入成本)×年銷售量(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？解：(1)由題意得，y12(10.75x)10(1x)×10 000(10.6x)(0<x<1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0<x<1)(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有即解得0<x<，所以投入成本增加的比例應在范圍內15已知函數(shù)f(x)(k0)(1)若f(x)m的解集為x|x3或x2，求不等式5mx2kx30的解集；(2)若存在x3，使得f(x)1成立，求k的取值范圍解：(1)由不等式f(x)mmmx22kx6km0，不等式mx22kx6km0的解集為x|x3或x2，3，2是方程mx22kx6km0的根，解得，故有5mx2kx302x2x301x，不等式5mx2kx30的解集為.(2)f(x)11x22kx6k0(2x6)kx2.存在x3，使得f(x)1成立，即存在x3，使得k成立令g(x)，x(3，)，則kg(x)min.令2x6t，則x，則t(0，)，y32 36，當且僅當，即t6時等號成立當t6時，x6，g(x)ming(6)6，故k的取值范圍為(6，)1已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域為(，0，若關于x的不等式f(x)c1的解集為(m4，m1)，則實數(shù)c的值為_解析：函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域為(，0，a24b0，b.關于x的不等式f(x)c1的解集為(m4，m1)，方程f(x)c1的兩根分別為m4，m1，即x2axc1的兩根分別為m4，m1，x2axc1的根為x±，兩根之差為：2(m1)(m4)，解得c.答案：2已知實數(shù)x，y，z滿足則xyz的最小值為_解析：由xy2z1，可得z，則5x2y222|xy|.當xy0時，不等式可化為x2y26xy190；當xy<0時，不等式可化為x2y210xy190.由x2y26xy190，解得0xy32.由x2y210xy190，解得52xy<0，所以52xy32.則xyzxy·2，根據(jù)二次函數(shù)的單調性可得當xy52時，xyz取得最小值為932.答案：932高考研究課(二)簡單的線性規(guī)劃問題全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度線性規(guī)劃求最值5年10考求最大值、最小值線性規(guī)劃實際應用5年1考實際應用(整點)二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域典例(1)不等式組所圍成的平面區(qū)域的面積為()A3B6C6 D3(2)已知不等式組表示的平面區(qū)域被直線2xyk0平分成面積相等的兩部分，則實數(shù)k的值為_解析(1)如圖，不等式組所圍成的平面區(qū)域為ABC，其中A(2,0)，B(4,4)，C(1,1)，所求平面區(qū)域的面積為SABOSACO(2×42×1)3.(2)畫出可行域如圖中陰影部分所示，其面積為×1×(11)1，可知直線2xyk0與區(qū)域邊界的交點A，B的坐標分別為及，要使直線2xyk0把區(qū)域分成面積相等的兩部分，必有××，解得k2.答案(1)D(2)2方法技巧確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧直線定界即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線特殊點定域即在直線AxByC0的某一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側，否則就表示直線的另一側常選(0,0)，(1,0)或(0,1)點即時演練1在平面直角坐標系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A1 B2C4 D8解析：選A作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，A(1,1)，B(0,2)，則平面區(qū)域的面積為×2×11.2不等式組所表示的平面區(qū)域內的整點個數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：選C由不等式2xy<6得y<62x，且x>0，y>0，則當x1時，0<y<4，則y1,2,3，此時整點有(1,1)，(1,2)，(1,3)；當x2時，0<y<2，則y1，此時整點有(2,1)；當x3時，y無解故平面區(qū)域內的整點個數(shù)為4.3在直角坐標系中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是()A(，1)B(0，)C(0,2)(2，)D(，1)(0,2)(2，)解析：選A直線yk(x1)1過定點A(1，1)當這條直線的斜率為負值時，如圖1所示，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則該直線的斜率k(，1)；當這條直線的斜率為正值時，如圖2所示，yk(x1)1所表示的區(qū)域是直線yk(x1)1及其右下方的半平面，這個區(qū)域和另外兩個半平面的交集是一個無界區(qū)域，不能構成三角形因此k的取值范圍是(，1)目標函數(shù)最值的求法及應用線性規(guī)劃問題是高考的重點，而線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學問題的解答變得更加新穎別致.,常見的命題角度有：(1)求線性目標函數(shù)的最值；(2)求非線性目標函數(shù)的最值；(3)求線性規(guī)劃中的參數(shù)值或范圍；(4)線性規(guī)劃的實際應用.角度一：求線性目標函數(shù)的最值1(2017·全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15 B9C1 D9解析：選A法一：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示易求得可行域的頂點A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，當直線z2xy過點B(6，3)時，z取得最小值，zmin2×(6)315.法二：易求可行域頂點A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，分別代入目標函數(shù)，求出對應的z的值依次為1，15,9，故最小值為15.角度二：非線性目標函數(shù)的最值2(2018·太原一模)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y2的取值范圍為()A1,13 B1,4C. D.解析：選C畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由此得zx2y2的最小值為點O到直線BC：2xy20的距離的平方，所以zmin2，最大值為點O與點A(2,3)的距離的平方，zmax|OA|2(2)23213.3如果實數(shù)x，y滿足則z的最大值為_解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z2.設k，則z2k，k的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的斜率，要求z2k的最大值，即求k的最小值，由圖象知OC的斜率最小，由得即C，則k，所以zmax2.答案：角度三：求線性規(guī)劃中參數(shù)值或范圍4已知實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)z13xy的最小值的7倍與z2x7y的最大值相等，則實數(shù)k的值為()A2 B1C1 D2解析：選A作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖知，當z13xy過點A時取得最小值，由解得即A(1,2)，所以z13xy的最小值為5，故z2x7y的最大值為35，由圖知z2x7y過點B時取得最大值由解得代入kxy5k0，得k2.5(2018·漢中質檢)若x，y滿足約束條件且目標函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是()A4,2 B(4,2)C4,1 D(4,1)解析：選B作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，直線zax2y的斜率為k，從圖中可以看出，當12，即4a2時，目標函數(shù)僅在點(1,0)處取得最小值角度四：線性規(guī)劃的實際應用6(2016·天津高考)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸在此基礎上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤解：(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分(2)設利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z2x3y.考慮z2x3y，將它變形為yx，它的圖象是斜率為，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當取最大值時，z的值最大根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖可知，當直線z2x3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得點M的坐標為(20,24)，所以zmax2×203×24112.答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元方法技巧1求目標函數(shù)的最值3步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置；(3)求值解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代入目標函數(shù)，即可求出最值2常見的3類目標函數(shù)(1)截距型：形如zaxby.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.3解答線性規(guī)劃實際問題的3步驟(1)根據(jù)題意設出變量，找出約束條件和目標函數(shù)；(2)準確作出可行域，求出最優(yōu)解；(3)將求解出來的結論反饋到實際問題當中，設計最佳方案提醒注意轉化的等價性及幾何意義1(2014·全國卷)不等式組的解集記為D.有下面四個命題：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中真命題是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3解析：選C畫出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)zx2y經(jīng)過可行域內的點A(2，1)時，取得最小值0，故x2y0，因此p1，p2是真命題，選C.2(2017·全國卷)設x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_解析：畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當直線yx過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得zmin5.答案：53(2017·全國卷)若x，y滿足約束條件則z3x4y的最小值為_解析：作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l：3x4y0，平移直線l，當直線z3x4y經(jīng)過點A(1,1)時，z取得最小值，最小值為341.答案：14(2016·全國卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示平移直線xy0，當直線經(jīng)過A點時，z取得最大值， 由得A，zmax1.答案：5(2015·全國卷)若x，y滿足約束條件則的最大值為_解析：畫出可行域如圖陰影部分所示，表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，點(x，y)在點A處時最大由得A(1,3)的最大值為3.答案：36(2016·全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元解析：設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即目標函數(shù)為z2 100x900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分作直線2 100x900y0，即7x3y0，當直線經(jīng)過點M時，z取得最大值，聯(lián)立解得M(60,100)則zmax2 100×60900×100216 000(元)答案：216 000一、選擇題1若O為坐標原點，實數(shù)x，y滿足條件在可行域內任取一點P(x，y)，則|OP|的最小值為()A1B.C. D.解析：選C作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知|OP|的最小值為點O到直線xy1的距離，所以|OP|的最小值為.2(2017·山東高考)已知x，y滿足約束條件則zx2y的最大值是()A0B2C5D6解析：選C作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，將直線y進行平移，顯然當該直線過點A時z取得最大值，由解得即A(3,4)，所以zmax385.3已知x，y滿足則z8x·y的最小值為()A1 B.C. D.解析：選D不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z8x·y23xy，欲使z最小，只需使3xy最小即可由圖知當x1，y2時，3xy的值最小，且3×125，此時23xy最小，最小值為.4(2017·浙江高考)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是()A0,6 B0,4C6，) D4，)解析：選D作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zx2y，得yx，是直線yx在y軸上的截距，根據(jù)圖形知，當直線yx過A點時，取得最小值