（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九單元 不等式學(xué)案 文

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1、（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九單元 不等式學(xué)案 文不等式、一元二次不等式(2)作商法2不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n1)；(6)可開(kāi)方性：ab0(nN，n2)3三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2 (x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或xb0，則下列不等式中恒成立的是(

2、)A.BabCab D.解析：選C由ab00b，故選C.2設(shè)M2a(a2)，N(a1)(a3)，則()AM N BM NCMN DMN解析：選A由題意知，MN2a(a2)(a1)(a3)2a24a(a22a3)(a1)220恒成立，所以MN.3已知一元二次不等式f(x)0的解集為xx1或x，則f(10x)0的解集為()Ax|x1或xlg 2 Bx|1xlg 2Cx|xlg 2 Dx|xlg 2解析：選C一元二次不等式f(x)0的解集為xx1或x，則不等式f(10x)0可化為10x1或10x，解得xlg ，即xlg 2，所以所求不等式的解集為x|xlg 24不等式6x22x的解集是_解析：不等式

3、6x22x可化為6x2x20，即(3x2)(2x1)0，解不等式得x，所以該不等式的解集是.答案：清易錯(cuò)1在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”，例如當(dāng)c0時(shí)，有abac2bc2；若無(wú)c0這個(gè)條件，abac2bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c0時(shí)，取“”)2對(duì)于不等式ax2bxc0，求解時(shí)不要忘記討論a0時(shí)的情形3當(dāng)0(a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別a的符號(hào)1若(m1)x2(m1)x3(m1)0對(duì)任何實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1，) B(，1)C. D.(1，)解析：選C當(dāng)m1時(shí)，不等式為2x60，即x3，不符合題意當(dāng)m1時(shí)，則解得m0，故ab0，則a0，b0，故為真命題故為真命題答

4、案：3若不等式ax2bxc0的解集是(2,3)，則不等式bx2axc0的解集是_解析：不等式ax2bxc0的解集是(2,3)，a0，且對(duì)應(yīng)方程ax2bxc0的實(shí)數(shù)根是2和3，由根與系數(shù)的關(guān)系，得即6，1，b0，且1，6，不等式bx2axc0可化為x2x60，解得3x2，該不等式的解集為(3,2)答案：(3,2)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題過(guò)雙基1一元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0不包括邊界直線AxByC0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條

5、件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題1不等式(x2y1)(xy3)0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是()解析：選C由(x2y1)(xy3)0或結(jié)合圖形可知選C.2(2017全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的最大值為()A0 B1C2 D3解析：選D不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，平移直線yx，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0

6、)時(shí)，zxy取得最大值，此時(shí)zmax303.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為不等式組所表示的平面區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OP斜率的最大值為()A2 B.C. D1解析：選D作出可行域如圖中陰影部分所示，當(dāng)點(diǎn)P位于的交點(diǎn)(1,1)時(shí)，(kOP)max1.4已知z2xy，實(shí)數(shù)x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是()A. B.C. D.解析：選A根據(jù)題意畫(huà)出如圖所示的可行域如圖中陰影部分所示平移直線l：2xy0，當(dāng)l過(guò)點(diǎn)A(m，m)時(shí)z最小，過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí)z最大，由題意知，zmax4zmin，即343m，解得m.清易錯(cuò)1畫(huà)出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先把二元一次不等式化為axbyc

7、0(a0)2線性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè)，也可能有無(wú)數(shù)多個(gè)，也可能沒(méi)有實(shí)數(shù)x，y滿足使zaxy取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，則z1axy1的最小值為()A0 B2C1 D1解析：選A畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，zaxy取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，a1，a1，當(dāng)x1，y0或x0，y1時(shí)，zaxyxy有最小值1，axy1的最小值是0.基本不等式 過(guò)雙基1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab.2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)(a，b同號(hào))；(3)ab2(a，

8、bR)；(4)2(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果xy是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大)1若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2C2 D4解析：選C由，知a0，b0，所以2 ，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)即a，b2時(shí)取“”，所以ab的最小值為2.2已知直線2axby20(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則的最小值是()A2

9、 B3C4 D1解析：選C由直線2axby20(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，可得2a2b2，即ab1.則(ab)222 4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)的最小值為4.3已知x，yR且2x2y1，則xy的取值范圍為_(kāi)解析：根據(jù)題意知，2x0,2y0，所以12x2y22，即2xy22，xy2，所以xy的取值范圍為(，2答案：(，2 清易錯(cuò)1求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件2多次使用基本不等式時(shí)，易忽視取等號(hào)的條件的一致性1在下列函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()AyxBycos xCyDyex2解析：選D當(dāng)x0時(shí)，yx2，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?x，所以0cos x2，故B錯(cuò)誤

10、；因?yàn)?，所以y2，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閑x0，所以yex2222，當(dāng)且僅當(dāng)ex，即ex2時(shí)等號(hào)成立，故選D.2(2017天津高考)若a，bR，ab0，則的最小值為_(kāi)解析：因?yàn)閍b0，所以4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是4.答案：4一、選擇題1(2018洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知a0，1babab2Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析：選D1b0，bb21，又aab2a.2下列不等式中正確的是()A若aR，則a296aB若a，bR，則2C若a0，b0，則2lglg alg bD若xR，則x21解析：選Ca26a9(a3)20，A錯(cuò)誤；顯然B不正確；a0，b0，.2lg2lglg(ab)lg

11、alg b，C正確；當(dāng)x0時(shí)，x21，D錯(cuò)誤，故選C.3若角，滿足，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B，.又，0，從而0.4若關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a()A. B.C. D.解析：選A由條件知x1，x2為方程x22ax8a20，(a0)的兩根，則x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，解得a.5不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A1 B.C. D.解析：選D作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锽CD，由題意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(21).6(2018成

12、都一診)已知x，y(0，)，且log2xlog2y2，則的最小值是()A4 B3C2 D1解析：選D，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)log2xlog2ylog2(xy)2，xy4.1.故的最小值為1.7設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zy2x的最小值為()A7 B4C1 D2解析：選A法一：將zy2x化為y2xz，作出可行域和直線y2x(如圖所示)，當(dāng)直線y2xz向右下方平移時(shí)，直線y2xz在y軸上的截距z減小，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5，3)時(shí)，z取得最小值3107.法二：易知平面區(qū)域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分別代入zy2x，得z的值為1，4，7，故z

13、的最小值為7.8(2017山東高考改編)若直線1(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則2ab的最小值為()A4 B32C8 D4解析：選C直線1(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，1，a0，b0，2ab(2ab)4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b4時(shí)等號(hào)成立，2ab的最小值為8.二、填空題9(2018沈陽(yáng)模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)閤2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy132，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，即(xy)24，解得2xy2.所以xy的最大值為2.答案：210(2017鄭州二模)某校今年計(jì)劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設(shè)這所學(xué)

14、校今年計(jì)劃招聘教師最多x名，則x_.解析：畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：ba0，平移直線l，再由a，bN，可知當(dāng)a6，b7時(shí)，招聘的教師最多，此時(shí)xab13.答案：1311一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18 m，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為_(kāi) m，寬為_(kāi) m時(shí)菜園面積最大解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，寬為y m則x2y30，所以Sxyx(2y)2，當(dāng)且僅當(dāng)x2y，即x15，y時(shí)取等號(hào)答案：1512(2018邯鄲質(zhì)檢)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)銳角三角形及其內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：直線ykx3恒過(guò)定點(diǎn)(0,3)，作出不等式組表示的可行域知，要使可行

15、域?yàn)橐粋€(gè)銳角三角形及其內(nèi)部，需要直線ykx3的斜率在0與1之間，即k(0,1)答案：(0,1)三、解答題13已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集為(1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化為a26a30，解得32a32.原不等式的解集為a|32ab的解集為(1,3)等價(jià)于方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1,3，故解得14(2018濟(jì)南一模)已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解：(1)x0，y0，由基本不等式，

16、得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)等號(hào)成立因此有解得此時(shí)xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當(dāng)x5，y2時(shí)，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立的最小值為.高考研究課(一)不等式性質(zhì)、一元二次不等式全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度不等式性質(zhì)5年2考比較大小一元二次不等式解法5年8考與集合交匯命題考查解法不等式恒成立問(wèn)題5年1考利用不等式恒成立求參數(shù)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用典例若0，給出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正確的不等式是()ABC D解析法一：用“特值法”解題因?yàn)?，故可取a1，b

17、2.顯然|a|b1210，所以錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，選C.法二：用“直接法”解題由0，可知ba0.中，因?yàn)閍b0，所以，故正確；中，因?yàn)閎aa0.故b|a|，即|a|b0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎a0，又0，所以ab，故正確；中，因?yàn)閎aa20，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確答案C方法技巧不等式性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題的3大常見(jiàn)類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大小熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件(2)與充要條件相結(jié)合問(wèn)題用不等式的性質(zhì)分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用(3)

18、與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法 即時(shí)演練1(2018泰安調(diào)研)設(shè)a，bR，若p：ab，q：0，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B當(dāng)ab時(shí)，0不一定成立；當(dāng)0時(shí)，ab0，則與的大小關(guān)系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：一元二次不等式的解法典例解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集為.(2)原不等式等價(jià)于借助于數(shù)軸，如圖所示，

19、故原不等式的解集為.(3)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，因?yàn)閍0，所以a(x1)0.所以當(dāng)a1時(shí)，解為x1；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)0a1時(shí)，解為1x.綜上，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為.方法技巧解一元二次不等式的4個(gè)步驟即時(shí)演練1若(x1)(x2)2，則(x1)(x3)的取值范圍是()A(0,3) B4，3)C4,0) D(3,4解析：選C解不等式(x1)(x2)2，可得0x3，(x1)(x3)x22x3，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得(x1)(x3)的取值范圍是4,0)2(2018昆明、玉溪統(tǒng)考)若不等式ax2bxc0的解集為x|1x2ax的解集為(

20、)Ax|2x1 Bx|x1Cx|0x3 Dx|x3解析：選C由題意a(x21)b(x1)c2ax，整理得ax2(b2a)x(acb)0，又不等式ax2bxc0的解集為x|1x2，則a0，且1,2分別為方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得即，將兩邊同除以a得x2x0，將代入得x23x0，解得0x3.一元二次不等式恒成立問(wèn)題一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.,常見(jiàn)的命題角度有：(1)形如f(

21、x)0(0)(xR)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)0(0)(xa，b)確定參數(shù)范圍；(3)形如f(x)0(0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍.角度一：形如f(x)0(0)(xR)確定參數(shù)的范圍1(2018南昌一模)已知函數(shù)f(x)mx22xm1，是否存在實(shí)數(shù)m對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，f(x)0恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：f(x)mx22xm10恒成立，即函數(shù)f(x)mx22xm1的圖象全部在x軸下方當(dāng)m0時(shí)，12x0，則x，不滿足題意；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)f(x)mx22xm1為二次函數(shù)，需滿足開(kāi)口向下且方程mx22xm10無(wú)解，即不等式組的解集為空集，即m無(wú)解綜上可知不存在

22、這樣的m.方法技巧對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方角度二：形如f(x)0(0)(xa，b)確定參數(shù)的范圍2(2018西安八校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對(duì)于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，則mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立有以下兩種方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，則0m.當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)

23、，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，則m0.綜上所述，m的取值范圍是(，0).法二：因?yàn)閤2x120，又因?yàn)閙(x2x1)60，所以m.因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可因?yàn)閙0，所以m的取值范圍是(，0).方法技巧解決一元二次不等式的恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值角度三：形如f(x)0(0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍3對(duì)任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m0恒成立，求x的取值范圍解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故當(dāng)x(，1)(3

24、，)時(shí)，對(duì)任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零方法技巧解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù)一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解1(2014全國(guó)卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，則AB()A2，1B1,2)C1,1 D1,2)解析：選AAx|x1或x3，故AB2，12(2014全國(guó)卷)設(shè)集合M0,1,2，Nx|x23x20，則MN()A1 B2C0,1 D1,2解析：選DNx|x23x20x|1x2，又M0,1,2，所以MN1,23(2012全國(guó)卷)已知集合Ax|x2x20，

25、Bx|1x1，則()AAB BBACAB DAB解析：選BAx|x2x20x|1x2，Bx|1xb，cd，則acbdB若acbc，則abC若0，則|a|bb，cd，則acbd解析：選C取a2，b1，c1，d2，可知A錯(cuò)誤；當(dāng)cbcab，B錯(cuò)誤；由0，可知baa0，故b|a|，即|a|bb0，且ab1，則下列不等式成立的是()Aalog2(ab)B.log2(ab)aCalog2(ab)Dlog2(ab)a1，因此alog2(ab).3已知集合Mx|x24x0，Nx|mx8，若MNx|6x0x|x4或x0，Nx|mx8，由于MNx|6xn，m6，n8，mn14.4(2018重慶檢測(cè))不等式1的解

26、集是()A(，1)(1，) B(1，)C(，1) D(1,1)解析：選A1，10，即0，x1.5不等式f(x)ax2xc0的解集為x|2x1，則函數(shù)yf(x)的圖象為()解析：選B由根與系數(shù)的關(guān)系得21，2，得a1，c2，f(x)x2x2(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)，f(x)x2x2，其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x，結(jié)合圖象知選B.6(2018合肥一模)若不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：選D當(dāng)k0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k0時(shí)，即一元二次不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則解得3k0.綜上，滿足不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成

27、立的k的取值范圍是(3,07若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：選B原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為a,1，此時(shí)只要a4即可，即4a1時(shí)，不等式的解集為1，a，此時(shí)只要a3即可，即1aab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析：ab2aab，a0，當(dāng)a0時(shí)，b21b，即解得b1；當(dāng)a0時(shí)，b21b，即此式無(wú)解綜上可得實(shí)數(shù)b的取值范圍為(，1)答案：(，1)10(2018河南六市一聯(lián))不等式x2ax40的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a4.答案：(，4)(4，)

28、11已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則不等式f(x)0時(shí)，x0，即f(x)bx23x，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即bx23xx2ax，可得a3，b1，所以f(x)當(dāng)x0時(shí)，由x23x4，解得0x4；當(dāng)x0時(shí)，由x23x4，解得x0，所以不等式f(x)4的解集為(，4)答案：(，4)12對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x2a|x|10恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)x0時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)x0時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a|x|，由|x|2，故a2，即a2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為2，)答案：2，)三、解答題13已知aR，解關(guān)于x的方程ax2(a2)x20.解：原不等式等價(jià)于(ax2)(x1)0.(1)

29、當(dāng)a0時(shí)，原不等式為(x1)0，解得x1.即原不等式的解集為(1，)(2)若a0，則原不等式可化為(x1)0，對(duì)應(yīng)方程的根為x1或x.當(dāng)1，即0a2時(shí)，不等式的解為1x；當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)1，即a2時(shí)，不等式的解為x1.(3)若a0，則原不等式可化為(x1)0，所以1，所以不等式的解為x1或x.綜上，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為(1，)當(dāng)0a2時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為(1，)14某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為12萬(wàn)元/輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增

30、加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(rùn)(出廠價(jià)投入成本)年銷售量(1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：(1)由題意得，y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須有即解得0x，所以投入成本增加的比例應(yīng)在范圍內(nèi)15已知函數(shù)f(x)(k0)(1)若f(x)m的解集為

31、x|x3或x2，求不等式5mx2kx30的解集；(2)若存在x3，使得f(x)1成立，求k的取值范圍解：(1)由不等式f(x)mmmx22kx6km0，不等式mx22kx6km0的解集為x|x3或x2，3，2是方程mx22kx6km0的根，解得，故有5mx2kx302x2x301x，不等式5mx2kx30的解集為.(2)f(x)11x22kx6k0(2x6)kx2.存在x3，使得f(x)1成立，即存在x3，使得k成立令g(x)，x(3，)，則kg(x)min.令2x6t，則x，則t(0，)，y32 36，當(dāng)且僅當(dāng)，即t6時(shí)等號(hào)成立當(dāng)t6時(shí)，x6，g(x)ming(6)6，故k的取值范圍為(6，

32、)1已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，0，若關(guān)于x的不等式f(x)c1的解集為(m4，m1)，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)解析：函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，0，a24b0，b.關(guān)于x的不等式f(x)c1的解集為(m4，m1)，方程f(x)c1的兩根分別為m4，m1，即x2axc1的兩根分別為m4，m1，x2axc1的根為x，兩根之差為：2(m1)(m4)，解得c.答案：2已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足則xyz的最小值為_(kāi)解析：由xy2z1，可得z，則5x2y222|xy|.當(dāng)xy0時(shí)，不等式可化為x2y26xy190；當(dāng)xy0時(shí)，不等式可化為x2y210xy190.由x2y26x

33、y190，解得0xy32.由x2y210xy190，解得52xy0，所以52xy32.則xyzxy2，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)xy52時(shí)，xyz取得最小值為932.答案：932高考研究課(二)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度線性規(guī)劃求最值5年10考求最大值、最小值線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用5年1考實(shí)際應(yīng)用(整點(diǎn))二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域典例(1)不等式組所圍成的平面區(qū)域的面積為()A3B6C6 D3(2)已知不等式組表示的平面區(qū)域被直線2xyk0平分成面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)解析(1)如圖，不等式組所圍成的平面區(qū)域?yàn)锳BC，其中A(2,0)，B(4,4)，C(

34、1,1)，所求平面區(qū)域的面積為SABOSACO(2421)3.(2)畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，其面積為1(11)1，可知直線2xyk0與區(qū)域邊界的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為及，要使直線2xyk0把區(qū)域分成面積相等的兩部分，必有，解得k2.答案(1)D(2)2方法技巧確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧直線定界即若不等式不含等號(hào)，則應(yīng)把直線畫(huà)成虛線；若不等式含有等號(hào)，把直線畫(huà)成實(shí)線特殊點(diǎn)定域即在直線AxByC0的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)常選(0,0)，(1,0)或(0,1)點(diǎn)即時(shí)演練1在平面

35、直角坐標(biāo)系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A1 B2C4 D8解析：選A作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，A(1,1)，B(0,2)，則平面區(qū)域的面積為211.2不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：選C由不等式2xy6得y0，y0，則當(dāng)x1時(shí)，0y4，則y1,2,3，此時(shí)整點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(1,3)；當(dāng)x2時(shí)，0y2，則y1，此時(shí)整點(diǎn)有(2,1)；當(dāng)x3時(shí)，y無(wú)解故平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.3在直角坐標(biāo)系中，若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(，1)B(0，)C(0,2)(2，)D(，1)(0,2)(2，)

36、解析：選A直線yk(x1)1過(guò)定點(diǎn)A(1，1)當(dāng)這條直線的斜率為負(fù)值時(shí)，如圖1所示，若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域，則該直線的斜率k(，1)；當(dāng)這條直線的斜率為正值時(shí)，如圖2所示，yk(x1)1所表示的區(qū)域是直線yk(x1)1及其右下方的半平面，這個(gè)區(qū)域和另外兩個(gè)半平面的交集是一個(gè)無(wú)界區(qū)域，不能構(gòu)成三角形因此k的取值范圍是(，1)目標(biāo)函數(shù)最值的求法及應(yīng)用線性規(guī)劃問(wèn)題是高考的重點(diǎn)，而線性規(guī)劃問(wèn)題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問(wèn)題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答變得更加新穎別致.,常見(jiàn)的命題角度有：(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；(2)求非線性目標(biāo)

37、函數(shù)的最值；(3)求線性規(guī)劃中的參數(shù)值或范圍；(4)線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用.角度一：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1(2017全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15 B9C1 D9解析：選A法一：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示易求得可行域的頂點(diǎn)A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，當(dāng)直線z2xy過(guò)點(diǎn)B(6，3)時(shí)，z取得最小值，zmin2(6)315.法二：易求可行域頂點(diǎn)A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的z的值依次為1，15,9，故最小值為15.角度二：非線性目標(biāo)函數(shù)的最值2(2018太原一模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y2的取

38、值范圍為()A1,13 B1,4C. D.解析：選C畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由此得zx2y2的最小值為點(diǎn)O到直線BC：2xy20的距離的平方，所以zmin2，最大值為點(diǎn)O與點(diǎn)A(2,3)的距離的平方，zmax|OA|2(2)23213.3如果實(shí)數(shù)x，y滿足則z的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z2.設(shè)k，則z2k，k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，要求z2k的最大值，即求k的最小值，由圖象知OC的斜率最小，由得即C，則k，所以zmax2.答案：角度三：求線性規(guī)劃中參數(shù)值或范圍4已知實(shí)數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)z13xy的最小值的7倍與z2x

39、7y的最大值相等，則實(shí)數(shù)k的值為()A2 B1C1 D2解析：選A作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖知，當(dāng)z13xy過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最小值，由解得即A(1,2)，所以z13xy的最小值為5，故z2x7y的最大值為35，由圖知z2x7y過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最大值由解得代入kxy5k0，得k2.5(2018漢中質(zhì)檢)若x，y滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是()A4,2 B(4,2)C4,1 D(4,1)解析：選B作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，直線zax2y的斜率為k，從圖中可以看出，當(dāng)12，即4a2時(shí)，目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)(1,0)處取得

40、最小值角度四：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用6(2016天津高考)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬(wàn)元分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？并求出此最大利潤(rùn)解：(1)由已知，x，y滿足的

41、數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分(2)設(shè)利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)為z2x3y.考慮z2x3y，將它變形為yx，它的圖象是斜率為，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時(shí)，z的值最大根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖可知，當(dāng)直線z2x3y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)，所以zmax220324112.答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為112萬(wàn)元方法技巧1求目標(biāo)函數(shù)的最值3步驟(1)作圖畫(huà)出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過(guò)原點(diǎn)的那一條直線；(2)平移將l

42、平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置；(3)求值解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值2常見(jiàn)的3類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如zaxby.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.3解答線性規(guī)劃實(shí)際問(wèn)題的3步驟(1)根據(jù)題意設(shè)出變量，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(2)準(zhǔn)確作出可行域，求出最優(yōu)解；(3)將求解出來(lái)的結(jié)論反饋到實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，設(shè)計(jì)最佳方案提醒注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義1(2014全國(guó)卷)不等式組的解集記為D.有下面四個(gè)命題：p1：(x，y)D，

43、x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中真命題是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3解析：選C畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zx2y經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A(2，1)時(shí)，取得最小值0，故x2y0，因此p1，p2是真命題，選C.2(2017全國(guó)卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_(kāi)解析：畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當(dāng)直線yx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最大，此時(shí)z最小，由解得zmin5.答案：53(2017全國(guó)卷)若x，y滿足約束條件則z3x4y的最小值為_(kāi)解析：

44、作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l：3x4y0，平移直線l，當(dāng)直線z3x4y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)時(shí)，z取得最小值，最小值為341.答案：14(2016全國(guó)卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示平移直線xy0，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值， 由得A，zmax1.答案：5(2015全國(guó)卷)若x，y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)解析：畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示，表示過(guò)點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率，點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大由得A(1,3)的最大值為3.答案：36(2016全國(guó)卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、

45、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)元解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即目標(biāo)函數(shù)為z2 100x900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分作直線2 100x900y0，即7x3y0，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值，聯(lián)立解得M(60,100)則zmax2 100

46、60900100216 000(元)答案：216 000一、選擇題1若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足條件在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，則|OP|的最小值為()A1B.C. D.解析：選C作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知|OP|的最小值為點(diǎn)O到直線xy1的距離，所以|OP|的最小值為.2(2017山東高考)已知x，y滿足約束條件則zx2y的最大值是()A0B2C5D6解析：選C作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，將直線y進(jìn)行平移，顯然當(dāng)該直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取得最大值，由解得即A(3,4)，所以zmax385.3已知x，y滿足則z8xy的最小值為()A1 B.C. D.解析：選D不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z8xy23xy，欲使z最小，只需使3xy最小即可由圖知當(dāng)x1，y2時(shí)，3xy的值最小，且3125，此時(shí)23xy最小，最小值為.4(2017浙江高考)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是()A0,6 B0,4C6，) D4，)解析：選D作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zx2y，得yx，是直線yx在y軸上的截距，根據(jù)圖形知，當(dāng)直線yx過(guò)A點(diǎn)時(shí)，取得最小值