2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數(shù)、解三角形 第2講 解三角形學(xué)案 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數(shù)、解三角形 第2講 解三角形學(xué)案 文 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1：利用正、余弦定理解三角形 2018全國(guó)卷ⅠT16；2018全國(guó)卷ⅡT7；2018全國(guó)卷ⅢT11 2017全國(guó)卷ⅠT11；2017全國(guó)卷ⅡT16；2017全國(guó)卷ⅢT15 2016全國(guó)卷ⅠT4；2016全國(guó)卷ⅡT15；2015全國(guó)卷ⅠT17 1.高考對(duì)此部分的考查為“一小”或“一大”，近三年高考以“一小”為主. 2.小題出現(xiàn)在4－11或15－16題的位置上，有成為壓軸小題的趨勢(shì). 題型2：正、余弦定理的綜合應(yīng)用 2016全國(guó)卷ⅢT9；20

2、15全國(guó)卷ⅡT17；2014全國(guó)卷ⅠT16 2014全國(guó)卷ⅡT17 3.解答題重點(diǎn)考查解三角形問題，出現(xiàn)在第17題位置上，難度中等. 1．正弦定理及其變形 在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其變形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 變形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A. 3．三角形面積公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. ■高考考法示例· ?角度一　求解三角形中的邊角問題 【例

3、1－1】　(2016·全國(guó)卷Ⅱ)(1)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] (2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知 asin A＋csin C－asin C＝bsin B. ①求B； ②若A＝75°，b＝2，求a，c. [解]?、儆烧叶ɡ恚胊2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2

4、－2accos B. 故cos B＝，因此B＝45°. ②sin A＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝. 故a＝b×＝＝1＋. c＝b×＝2×＝. ?角度二　與三角形有關(guān)的面積問題 【例1－2】　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________． 　[由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsi

5、n C，因?yàn)閟in Bsin C≠0，所以sin A＝.因?yàn)閎2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.] (2)(2018·溫州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. ①求tan C的值； ②若△ABC的面積為3，求b的值； [解]?、儆蒪2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C， ∴－cos 2B＝sin2C，又由A＝，即B＋C＝，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，解得tan C＝2； ②由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝，cos C＝，

6、 又∵sin B＝sin(A＋C)＝sin，∴sin B＝，由正弦定理得c＝b， 又∵A＝，bcsin A＝3，∴bc＝6，故b＝3. [方法歸納] 1．關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有b2＋c2和bc兩項(xiàng)，二者的關(guān)系b2＋c2＝(b＋c)2－2bc經(jīng)常用到． (教師備選) △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b

7、，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． [解]　(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin C·sin B．① 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立． 因此△ABC面積的最大值為＋1. ■對(duì)

8、點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4　　　　　　 B. C. D．2 A　[因?yàn)閏os ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故選A.] 2．(2018·紹興模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B. (1)求角C的大??； (2)若sin A＝，求△ABC的

9、面積． [解]　(1)由題意得，－＝sin 2A－sin 2B， 即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， sin＝sin，由a≠b得，A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝； (2)由c＝，sin A＝，＝得a＝，由a＜c，得A＜C，從而cos A＝，故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，所以△ABC的面積為S＝acsin B＝. 題型2　正、余弦定理的綜合應(yīng)用 全國(guó)卷考查解三角形問題常與平面幾何交匯，題目中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)的幾何元素如高、角平分線、線段的垂直平分線、三角形內(nèi)切圓等；地方卷常與

10、平面向量交匯考查，解三角形還常與不等式，三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題． ■高考考法示例· 【例2】　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且tan B＝，·＝，則tan B等于(　　) A. B.－1 C．2 D．2－ (3)如圖2-1-4，山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC

11、＝150°；從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長(zhǎng)為________米． 圖2-1-4 (1)D　(2) D　(3)400　[(1)如圖，AD為△ABC中BC邊上的高． 設(shè)BC＝a，由題意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a. 在Rt△ABD中，由勾股定理得， AB＝＝a. 同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a. ∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD， ∴×a×a·sin∠BAC＝a·a， ∴sin∠BAC＝＝. 由·＝得accos B＝，則cos B＝，又cos B＝，因此＝，即a2＋c2－b2＝1，故tan B＝2－. (

12、3)如題圖，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°. ∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30° 由正弦定理，可得＝. ∴＝，得AD＝400(米)． 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的長(zhǎng)為400米．] [方法歸納] 1．求解與三角形相關(guān)的平面幾何問題的策略 一般先將所給的圖形拆分成若干個(gè)三角形，根據(jù)已知條件確定解三角形的先后順序

13、，再根據(jù)各個(gè)三角形之間的關(guān)系，交叉使用公共條件，求得結(jié)果，同時(shí)注意相關(guān)平面幾何知識(shí)的應(yīng)用． 2．求解三角形與平面向量交匯問題的策略 利用解三角形的知識(shí)解決平面向量問題是高考在知識(shí)的交匯處命制試題的一個(gè)熱點(diǎn)．解決這類試題的基本方法是根據(jù)正、余弦定理求出平面向量的模和夾角，從而達(dá)到利用解三角形求解平面向量數(shù)量積的目的． ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1．(2018·長(zhǎng)春模擬)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，則△ABC面積的最大值為________． 　[由a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c

14、－b)sin C，故(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，又根據(jù)正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化簡(jiǎn)得，b2＋c2－a2＝bc， 故cos A＝＝，所以A＝60°，又b2＋c2－bc＝4≥bc，故S△BAC＝bcsin A≤.] 2．(2017·山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a. [解]　因?yàn)椤ぃ剑?，所以bccos A＝－6. 又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6. 因此tan A＝－1. 又0

15、c2－2bccos A， 得a2＝9＋8－2×3×2×＝29， 所以a＝. 1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝(　　) A.　 　　B.　 　　C.　 　　D. C　[因?yàn)镾△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故選C.] 2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c

16、＝，則C＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. B　[因?yàn)閍＝2，c＝， 所以由正弦定理可知，＝， 故sin A＝sin C. 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C為△ABC的內(nèi)角， 故sin C≠0， 則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 從而sin C＝sin A＝×

17、＝. 由A＝知C為銳角，故C＝. 故選B.] 3．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)如圖2-1-5，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m. 圖2-1-5 150　[根據(jù)圖示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝?AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝100×＝150(m)．] 4．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角

18、A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積． [解]　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos， 即c2＋2c－24＝0， 解得c＝－6(舍去)，c＝4. (2)由題設(shè)可得∠CAD＝， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝. 故△ABD面積與△ACD面積的比值為 ＝1. 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2， 所以△ABD的面積為. 一、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化 【例1】　第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)

19、會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．如圖1，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，那么tan＝________. 圖1 [思路點(diǎn)撥]　本題先根據(jù)題意確定大、小正方形的邊長(zhǎng)，再由直角三角形中銳角的三角函數(shù)值確定角θ滿足的條件，由此依據(jù)相關(guān)的三角函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算即可． [解析]　依題意得大、小正方形的邊長(zhǎng)分別是1,5，于是有5sin θ－5cos θ＝1，即有sin θ－cos θ＝.從而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝，則sin θ＋cos θ

20、＝，因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，故tan＝＝－7. [答案]?。? [體會(huì)領(lǐng)悟]　1 700多年前，趙爽繪制了極富創(chuàng)意的弦圖，采用“出入相補(bǔ)”原理使得勾股定理的證明不證自明.該題取材于第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，題干大氣，設(shè)問自然，流露出豐富的文化內(nèi)涵.既巧妙地考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，又豐富了弦圖的內(nèi)涵，如正方形四邊相等寓言各國(guó)及來賓地位平等，小正方形和三角形緊緊簇?fù)碓谝黄穑砻鞲鲊?guó)數(shù)學(xué)家要密切合作交流，等等. 二、三角函數(shù)與其它知識(shí)交匯創(chuàng)新 ?預(yù)測(cè)1：三角函數(shù)與數(shù)列問題的交匯 【例2】設(shè)an＝sin，n∈N*，Sn＝a1＋a2＋…＋an，則在S1，S2，…，S1

21、00中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　) A．16　　　B．72　　　C．86　　　D．100 [解析]　易知S1＞0，S2＞0，S3＞0，S4＞0，S5＞0，S6＞0，S7＞0. S8＝sin＋sin＋…＋sin＋sin＝sin＋sin＋…＋sin＞0， S9＝sin＋sin＋…＋sin＞0， S10＝sin＋…＋sin＞0， S11＝sin＋sin＋sin＞0， S12＝sin＋sin＞0， S13＝sin＝0， S14＝sin＋sin＝0， ∴S1，S2，…，S100中，S13＝0，S14＝0，S27＝0，S28＝0，S41＝0，S42＝0，S55＝0，S56＝0，S69＝0，S

22、70＝0，S83＝0，S84＝0，S97＝0，S98＝0，共14個(gè)． ∴在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是100－14＝86(個(gè))． 【答案】　C ?預(yù)測(cè)2：三角函數(shù)與方程問題的交匯 【例3】已知一元二次方程x2－x＋p＝0的兩根是直角三角形ABC中兩個(gè)銳角A，B的正弦值，則實(shí)數(shù)p＝________. [解析]　由題意知A＋B＝，則sin B＝cos A， 又即 則有1＋2p＝2，解得p＝. [答案]　 ?預(yù)測(cè)3：解三角形與平面向量、不等式交匯 【例4】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a＋c＝3，b＝3. (1)求cos B的最小值； (

23、2)若·＝3，求A的大?。? [解]　(1)由余弦定理可得 cos B＝＝ ＝＝－1≥－1＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)cos B取得最小值. (2)因?yàn)椤ぃ?， 所以accos B＝3. 由(1)可得cos B＝－1， 所以ac＝6，cos B＝.故sin B＝. 由a＋c＝3及ac＝6可解得a＝2或a＝. 由正弦定理知＝. 當(dāng)a＝2時(shí)，sin A＝sin B＝×＝1，所以A＝. 同理，當(dāng)a＝時(shí)，求得A＝. 所以A的大小為或. [體會(huì)領(lǐng)悟]　解決三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯問題，可利用數(shù)形結(jié)合思想.利用“數(shù)形結(jié)合”思想還可以解決以下問題： (1)討論含有參數(shù)

24、的方程解的個(gè)數(shù)問題. (2)求三角函數(shù)解析式中含有參數(shù)的最值問題. (3)求一些特殊函數(shù)的周期. (4)利用三角函數(shù)圖象對(duì)實(shí)際問題作出分析等. 三、規(guī)范答題——解三角形 [滿分心得]　(1)寫全得分步驟：對(duì)于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟有則給分，無則沒分，所以得分點(diǎn)步驟一定要寫全，如第（1）問中只要寫出就有分，第（2）問中求出就有分. （2）寫明得分關(guān)鍵：對(duì)于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題時(shí)要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第（1）問中由正弦定理得；第(2)問由余弦定理得b2＋c2－bc＝9. （3）計(jì)算正確是得分保證：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確，是得滿分的根本保證，如化簡(jiǎn)如果出現(xiàn)錯(cuò)誤，本題的第（2）問就全錯(cuò)了，不能得分.