6、)(x≤1)與C,l分別交于P,Q兩點(diǎn),則=( )
A. B.2
C. D.5
解析:選C 由題意,知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)準(zhǔn)線l:x=-1與x軸的交點(diǎn)為F1.過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為P1(圖略),由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1,-4),所以|FQ|=2.又|PF|=|PP1|,所以====,故選C.
8.(2018·沈陽(yáng)模擬)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)M與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合,點(diǎn)M關(guān)于F1,F(xiàn)2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的右支上,若|AN|-|BN|=12,則a=( )
A.3 B.4
7、C.5 D.6
解析:選A 如圖,設(shè)MN的中點(diǎn)為P.
∵F1為MA的中點(diǎn),F(xiàn)2為MB的中點(diǎn),∴|AN|=2|PF1|,|BN|=2|PF2|,又|AN|-|BN|=12,∴|PF1|-|PF2|=6=2a,∴a=3.故選A.
9.設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸,點(diǎn)C在橢圓上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為( )
A. B.
C. D.
解析:選A 不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),如圖,由題意知,2a=4,a=2,∵∠CBA=,BC=,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,1),∵點(diǎn)C在橢圓上,∴+=1,∴b2=,
∴c2=a2-b2=4-=,c=
8、,則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為2c=.
10.過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),與雙曲線的漸近線交于C,D兩點(diǎn),若|AB|≥|CD|,則雙曲線離心率e的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析:選B 將x=c代入-=1得y=±,不妨取A,B,所以|AB|=.
將x=c代入雙曲線的漸近線方程y=±x,得y=±,不妨取C,D,所以|CD|=.
因?yàn)閨AB|≥|CD|,所以≥×,即b≥c,則b2≥c2,即c2-a2≥c2,即c2≥a2,所以e2≥,所以e≥,故選B.
二、填空題
11.過(guò)拋物線y=x2的焦點(diǎn)F作一條傾斜角
9、為30°的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________.
解析:依題意,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),題中的拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,1),直線AB的方程為y=x+1,即x=(y-1).由消去x得3(y-1)2=4y,即3y2-10y+3=0,Δ=(-10)2-4×3×3>0,y1+y2=,則|AB|=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=y(tǒng)1+y2+2=.
答案:
12.(2018·浙江高考猜題卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率e=,若直線l:y=k(x-2 018)與雙曲線C的右支有且僅有一個(gè)交點(diǎn),則a-b=_______;k的
10、取值范圍是________.
解析:因?yàn)殡p曲線的離心率e=,所以=,從而可得a=b,即a-b=0,故雙曲線的漸近線方程為x±y=0,其斜率為±1,易知直線l必過(guò)定點(diǎn)(2 018,0),且直線l:y=k(x-2 018)與雙曲線C的右支有且僅有一個(gè)交點(diǎn),所以由數(shù)形結(jié)合可知-1≤k≤1,即k的取值范圍是[-1,1].
答案:0 [-1,1]
13.已知橢圓C:+y2=1的兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(x0,y0)滿足0<+y<1,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是________.
解析:由點(diǎn)P(x0,y0)滿足0<+y<1,可知P(x0,y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點(diǎn)),因?yàn)閍=,b=1,
11、所以由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|<2a=2,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2,故|PF1|+|PF2|的取值范圍是[2,2).
答案:[2,2)
14.已知點(diǎn)A(4,4)在拋物線y2=2px(p>0)上,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)A作該拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為E,則p=________,∠EAF的角平分線所在的直線方程為_(kāi)_______.
解析:把A(4,4)代入拋物線方程,得p=2.由拋物線的性質(zhì)得|AE|=|AF|,連接EF,則△EAF為等腰三角形.設(shè)EF的中點(diǎn)為B,則直線AB為∠EAF的角平分線所在的直線.由F(1,0),E(-1,4),得B(0,2),則kAB==,
12、則直線AB的方程為y=x+2,故∠EAF的角平分線所在的直線方程為x-2y+4=0.
答案:2 x-2y+4=0
15.已知橢圓的方程為+=1,過(guò)橢圓中心的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn),則△ABF2的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______,△ABF2的面積的最大值為_(kāi)_______.
解析:設(shè)F1是橢圓的左焦點(diǎn).如圖,連接AF1.由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,結(jié)合橢圓的定義知|AF2|+|BF2|=2a=6,所以要使△ABF2的周長(zhǎng)最小,必有|AB|=2b=4,所以△ABF2的周長(zhǎng)的最小值為10.S△ABF2=S△AF1F2=×2c×|yA|=|yA|≤2,所以△ABF2面積的最大值為2.
答
13、案:10 2
16.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,△ABC的頂點(diǎn)都在拋物線上,且滿足++=0,則++=________.
解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(xiàn),由+=-,得+=-,y1+y2+y3=0.因?yàn)閗AB==,kAC==,kBC==,所以++=++==0.
答案:0
17.如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-=1(b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線與圓x2+y2=1相切于點(diǎn)T,與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B,若|F2B|=|AB|,則b的值是________.
解析:法一:因?yàn)閨F2B|=|AB|,所以結(jié)合雙曲線的定義,得|A
14、F1|=|BF1|-|AB|=|BF1|-|BF2|=2,連接OT,在Rt△OTF1中,|OT|=1,|OF1|=c,|TF1|=b,所以cos∠F2F1A=,sin∠F2F1A=,所以A,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線得-=1,化簡(jiǎn)得b6-4b5+5b4-4b3-4=0,得(b2-2b-2)(b4-2b3+3b2-2b+2)=0,而b4-2b3+3b2-2b+2=b2(b-1)2+b2+1+(b-1)2>0,故b2-2b-2=0,解得b=1±(負(fù)值舍去),即b=1+.
法二:因?yàn)閨F2B|=|AB|,所以結(jié)合雙曲線的定義,得|AF1|=|BF1|-|AB|=|BF1|-|BF2|=2,連接AF2,
15、則|AF2|=2+|AF1|=4.連接OT,在Rt△OTF1中,|OT|=1,|OF1|=c,|TF1|=b,所以cos∠F2F1A=.在△AF1F2中,由余弦定理得,cos∠F2F1A==,所以c2-3=2b,又在雙曲線中,c2=1+b2,所以b2-2b-2=0,解得b=1±(負(fù)值舍去),即b=1+.
答案:1+
B組——能力小題保分練
1.雙曲線-=1(a,b>0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),∠F1PF2的角平分線為l,點(diǎn)F1關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,|F2Q|=2,則雙曲線的方程為( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.x2-=1 D.
16、-y2=1
解析:選B ∵∠F1PF2的角平分線為l,點(diǎn)F1關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,∴|PF1|=|PQ|,P,F(xiàn)2,Q三點(diǎn)共線,而|PF1|-|PF2|=2a,∴|PQ|-|PF2|=2a,即|F2Q|=2=2a,解得a=1.又e==,∴c=,∴b2=c2-a2=2,∴雙曲線的方程為x2-=1.故選B.
2.(2018·浙江高考原創(chuàng)卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1關(guān)于直線y=-c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率是( )
A.-1 B.
C.2- D.
解析:選C ∵左焦點(diǎn)F1關(guān)于直線y=-c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,∴|F1Q|=2c.
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為
17、F2,則|F1F2|=2c.
由橢圓定義知,|F2Q|=2a-|F1Q|=2a-2c.
在Rt△F1QF2中,|F1F2|2+|F1Q|2=|F2Q|2,
即(2c)2+(2c)2=(2a-2c)2,
∴c2+2ac-a2=0,故e2+2e-1=0,
∴e=2-(負(fù)值舍去).故選C.
3.過(guò)橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若
18、e<,從而可得
19、E|=4+4k2,
∴|AB|+|DE|=4++4+4k2=8+4≥8+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)=k2,即k=±1時(shí)取等號(hào),
故|AB|+|DE|的最小值為16.
答案:16
5.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線y=(x-1)與C交于A,B(A在x軸上方)兩點(diǎn).若=m,則m的值為_(kāi)_______.
解析:由題意知F(1,0),由
解得
由A在x軸上方,知A(3,2),B,則=(-2,-2),=,因?yàn)椋絤,所以m=3.
答案:3
6.(2018·浙江高考原創(chuàng)卷)已知雙曲線x2-=1(b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作一條漸近線的垂線,垂足為M.若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為,則雙曲線的離心率是________.
解析:∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為,
∴點(diǎn)M在漸近線y=x上.
∵雙曲線方程為x2-=1,
∴a=1,F(xiàn)(c,0),漸近線方程為y=±bx.
則|FM|=,
∵c2=a2+b2=1+b2,∴|FM|=b.
∵△OMF為直角三角形,
∴OM===a.
∴OM×FM=OF×yM,
即cyM=ab,∴c2y=b2.
∵yM=,∴b2=c2.
又∵c2=a2+b2,
∴a2=c2,∴e=.
答案: