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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(二十)小題考法——不等式
一、選擇題
1.在R上定義運(yùn)算:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),則a+b=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:選C 由題知(x-a)?(x-b)=(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,由于該不等式的解集為(2,3),所以方程(x-a)[x-(b+1)]=0的兩根之和等于5,即a+b+1=5,故a+b=4.
2.已知正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)是2,且m=b+,n=a+,則m+n的最小值是( )
A.
2、3 B.4
C.5 D.6
解析:選C 由正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)是2,可得ab=4,又m=b+,n=a+,所以m+n=a+b++=a+b+=(a+b)≥×2=5,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號成立,故m+n的最小值為5.
3.設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為( )
A.5 B.6
C. D.7
解析:選C 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,由圖易知,當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過直線x-y=-1與x+y=4的交點(diǎn),即時(shí),z取得最大值,zmax=+2×=,故選C.
4.(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=x-y的取值范圍是( )
3、
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3]
解析:選B 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,作出直線l0:y=x,平移直線l0,當(dāng)直線z=x-y過點(diǎn)A(2,0)時(shí),z取得最大值2,當(dāng)直線z=x-y過點(diǎn)B(0,3)時(shí),z取得最小值-3,所以z=x-y的取值范圍是[-3,2].
5.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是( )
A.-15 B.-9
C.1 D.9
解析:選A 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.
易求得可行域的頂點(diǎn)A(0,1),B(-6,-3),C(6,-3),當(dāng)直線z=2x
4、+y過點(diǎn)B(-6,-3)時(shí),z取得最小值,zmin=2×(-6)-3=-15.
6.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域面積為S.若S≤1,則m的取值范圍為( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0]
C.(0,2] D.[2,+∞)
解析:選A 如圖,當(dāng)x+y=1與y=mx交點(diǎn)為(-1,2)時(shí),不等式組所表示的區(qū)域面積為1,此時(shí)m=-2,若S≤1,則m≤-2,故選A.
7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足若z=x+2y的最小值為-4,則實(shí)數(shù)a=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:選B 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,
當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),z取
5、得最小值-4,所以-a+2×=-4,解得a=2,故選B.
8.(2019屆高三·浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-x(a>0,b>0)在x=1處取得極小值,則+的最小值為( )
A.4 B.5
C.9 D.10
解析:選C 由f(x)=ax3+bx2-x(a>0,b>0),得f′(x)=ax2+bx-1,則f′(1)=a+b-1=0,∴a+b=1,∴+=·(a+b)=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,b=時(shí),等號成立,故選C.
9.(2017·衢州二中交流卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足|[x]|+|y|≤1([x]表示不超過x的最大整數(shù)),則的取值范圍是(
6、 )
A. B.
C. D.
解析:選A 因?yàn)閨[x]|≤1-|y|≤1,所以-1≤[x]≤1,再根據(jù)[x]的具體值進(jìn)行分類:
①當(dāng)[x]=-1,即-1≤x<0時(shí),y=0;
②當(dāng)[x]=0,即0≤x<1時(shí),|y|≤1,即-1≤y≤1;
③當(dāng)[x]=1,即1≤x<2時(shí),y=0.
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域,如圖所示.
=1+,其幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-2,-2)所確定的直線的斜率加1.而由圖可知,點(diǎn)(-1,0)與點(diǎn)(-2,-2)所確定的直線的斜率最大,最大值為=2;點(diǎn)(1,-1)與點(diǎn)(-2,-2)所確定的直線的斜率最小,最小值為=,又由圖知取不到最小值,
7、所以∈,故選A.
10.(2017·天津高考)已知函數(shù)f(x)=設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,則a的取值范圍是( )
A. B.
C.[-2,2] D.
解析:選A 法一:根據(jù)題意,作出f(x)的大致圖象,如圖所示.
當(dāng)x≤1時(shí),若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故對于方程x2-+3+a=0,Δ=2-4(3+a)≤0,解得a≥-;當(dāng)x>1時(shí),若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2時(shí)等號成立,所以a≤2.綜上,a的取值范圍是.
法二:關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上
8、恒成立等價(jià)于-f(x)≤a+≤f(x),
即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立,
令g(x)=-f(x)-.
當(dāng)x≤1時(shí),g(x)=-(x2-x+3)-=-x2+-3
=-2-,
當(dāng)x=時(shí),g(x)max=-;
當(dāng)x>1時(shí),g(x)=--=-≤-2,
當(dāng)且僅當(dāng)=,且x>1,即x=時(shí),“=”成立,
故g(x)max=-2.
綜上,g(x)max=-.
令h(x)=f(x)-,
當(dāng)x≤1時(shí),h(x)=x2-x+3-=x2-+3
=2+,
當(dāng)x=時(shí),h(x)min=;
當(dāng)x>1時(shí),h(x)=x+-=+≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)=,且x>1,即x=2時(shí),“=”成立,
故h(
9、x)min=2.綜上,h(x)min=2.
故a的取值范圍為.
二、填空題
11.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,且不等式x+x+≥≥4,故m2-3m>4,化簡得(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1)∪(4,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(4,+∞)
12.設(shè)函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>f(1)的解集是________________.
解析:由題意得,f(1)=3,所以f(x)>f(1),即f(x)>3.當(dāng)x<0時(shí),x
10、+6>3,解得-33,解得x>3或0≤x<1.綜上,不等式的解集為(-3,1)∪(3,+∞).
答案:(-3,1)∪(3,+∞)
13.(2018·紹興一中調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x,y滿足則由不等式組確定的可行域的面積為________,z=2x-y的最大值為________.
解析:作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,所以可行域的面積為1,因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=2x-y的斜率為2,所以過點(diǎn)A(3,0)時(shí)取到最大值6.
答案:1 6
14.(2018·杭州二中調(diào)研)已知x>3y>0或x<3y<0,則(x-2y)2+的最小值是________.
11、
解析:(x-2y)2+≥(x-2y)2+=(x-2y)2+≥8,當(dāng)4y=x,x-2y=±2時(shí)取等號.
答案:8
15.如果實(shí)數(shù)x,y滿足條件且z=的最小值為,則正數(shù)a的值為________.
解析:根據(jù)約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示,經(jīng)分析可知當(dāng)x=1,y=1時(shí),z取最小值,即=,所以a=1.
答案:1
16.(2018·紹興質(zhì)量調(diào)測)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+3y=42,則xy+5x+4y的最小值為________.
解析:由題知,xy+5x+4y=(xy+2x+3y)+3x+y=42+3x+y,
而(x+3)(y+2)=48,因此144=(3x+9)(y+2)
12、≤2,因此3x+y≥13,當(dāng)且僅當(dāng)3x+9=y(tǒng)+2,即時(shí)取等號.故xy+5x+4y=42+3x+y≥55,則xy+5x+4y的最小值為55.
答案:55
17.若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)(a≠0)恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.
解析:不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)(a≠0)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,故|2+x|+|2-x|≤min.因?yàn)椤荩剑?,當(dāng)且僅當(dāng)(2a+b)(2a-b)≥0,即2|a|≥|b|時(shí)等號成立,所以的最小值為4,所以|2+x|+|2-x|≤4,解得-2≤x≤2.
13、故實(shí)數(shù)x的取值范圍為[-2,2].
答案:[-2,2]
B組——能力小題保分練
1.已知x,y滿足則z=8-x·y的最小值為( )
A.1 B.
C. D.
解析:選D 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,而z=8-x·y=2-3x-y,欲使z最小,只需使-3x-y最小即可.由圖知當(dāng)x=1,y=2時(shí),-3x-y的值最小,且-3×1-2=-5,此時(shí)2-3x-y最小,最小值為.故選D.
2.設(shè)x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為6,則+的最小值為( )
A.1 B.3
C.2 D.4
解析:選B 依題意畫出不等式組
14、表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.
∵a>0,b>0,
∴當(dāng)直線z=ax+by經(jīng)過點(diǎn)(2,4)時(shí),z取得最大值6,
∴2a+4b=6,即a+2b=3.
∴+=(a+2b)×=++≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號成立,∴+的最小值為3.故選B.
3.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*),若m>++…+對于任意的正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A 不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€x=0,y=0,y=-nx+3n圍成的直角三角形(不含直角邊),區(qū)域內(nèi)橫坐標(biāo)為1的整點(diǎn)有2n個(gè)
15、,橫坐標(biāo)為2的整點(diǎn)有n個(gè),所以an=3n,所以==,所以++…+==,數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,故當(dāng)n趨近于無窮大時(shí),趨近于,所以m≥.故選A.
4.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若?x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,則的最大值為( )
A.+2 B.-2
C.2+2 D.2-2
解析:選B 由題意得f′(x)=2ax+b,由f(x)≥f′(x)在R上恒成立,得ax2+(b-2a)x+c-b≥0在R上恒成立,則a>0且Δ≤0,可得b2≤4ac-4a2,則≤=,又4ac-4a2≥0,∴4·-4≥0,∴-1≥0,令t=-1,則t≥0.當(dāng)t>0時(shí),≤=
16、≤=-2,當(dāng)t=0時(shí),=0<-2,故的最大值為-2,故選B.
5.(2019屆高三·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)過P(-1,1)的光線經(jīng)x軸上點(diǎn)A反射后,經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)(記為B),則|PA|+|AB|的取值范圍是________.
解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P1(-1,-1),|PA|+|AB|=|P1B|,過點(diǎn)P1作直線x+y-2=0的垂線,則|PA|+|AB|=|P1B|的最小值為=2.由得B0(2,3),則|PA|+|AB|=|P1B|的最大值為|P1B0|==5.
故2≤|PA|+|AB|≤5.
答案:[2,5]
17、
6.(2018·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組且目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為15,則實(shí)數(shù)m=________;設(shè)min{a,b}=則z=min{x+y+2,2x+y}的取值范圍是________.
解析:因?yàn)橹本€x+y-3=0與x-3y+5=0交于點(diǎn)A(1,2),而直線x+my-1=0過點(diǎn)(1,0),則當(dāng)m>0時(shí),不等式組不能構(gòu)成可行域.當(dāng)m=0時(shí),可行域?yàn)辄c(diǎn)A(1,2),不符合題意.當(dāng)->,即-3
18、≤-3時(shí),不等式組構(gòu)成的可行域是一個(gè)開放區(qū)域,此時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x+y沒有最大值.綜合得m=-1.
此時(shí),可行域是以A(1,2),B(2,1),C(4,3)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界).
而z=min{x+y+2,2x+y}=直線x=2把可行域分成以A(1,2),B(2,1),D為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,和以B(2,1),C(4,3),D為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.故只要求z=2x+y在三角形ABD區(qū)域上的范圍,z=x+y+2在三角形BCD區(qū)域上的范圍即可.
當(dāng)平行直線系2x+y=z在三角形ABD區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),z=2x+y∈.
當(dāng)平行直線系x+y+2=z在三角形BCD區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),z=x+y+2∈[5,9].
從而有z=min{x+y+2,2x+y}的取值范圍是[4,9].
答案:-1 [4,9]