(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(三)小題考法——三角恒等變換與解三角形

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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(三)小題考法——三角恒等變換與解三角形 一、選擇題 1.已知△ABC中,A=,B=,a=1,則b=(  ) A.2          B.1 C. D. 解析:選D 由正弦定理=,得=,即=,所以b=,故選D. 2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A= asin C,則sin B=(  ) A. B. C. D. 解析:選A 由bsin B-asin A=asin C,得b2-a2=ac,∵c=2a,∴b=a, ∴cos B===,則sin B= =.

2、 3.(2019屆高三·溫州十校聯(lián)考)在△ABC中,若tan Atan B>1,則△ABC是(  ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無(wú)法確定 解析:選A 因?yàn)锳和B都為三角形中的內(nèi)角, 由tan Atan B>1,得1-tan Atan B<0, 且tan A>0,tan B>0,即A,B為銳角, 所以tan(A+B)=<0, 則A+B∈,即C為銳角, 所以△ABC是銳角三角形. 4.已知sin β=,且sin(α+β)=cos α,則tan(α+β)=(  ) A.-2 B.2 C.- D. 解析:選A ∵sin β=,且

3、<β<π, ∴cos β=-,tan β=-. ∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos α, ∴tan α=-, ∴tan(α+β)==-2. 5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2asin A=(2sin B+sin C)b+(2c+b)sin C,則A=(  ) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析:選B 由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得cos A=-,又A為三角形的內(nèi)角,故A=120°.

4、 6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,則△ABC的面積為(  ) A.+1 B.+1 C.2 D. 解析:選B 由正弦定理=,得sin B==,又c>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所以△ABC的面積S=bcsin A=×2×2sin=×2×2×=+1. 7.(2018·衢州期中)在△ABC中,若B=2A,a=1,b=,則c=(  ) A.2 B.2 C. D.1 解析:選B 在△ABC中,∵B=2A,a=1,b=, ∴由正弦定理=, 可得==, ∴cos A=,∴A=,B=,C=π-A-B=,

5、∴c==2. 8.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB邊上不同于A,B的任意一點(diǎn),CD=,△BCD的面積為1,則AC的長(zhǎng)為(  ) A.2 B. C. D. 解析:選D 由S△BCD=1,可得×CD×BC×sin∠DCB=1,即sin∠DCB=,所以cos∠DCB=或cos∠DCB=-,又∠DCB<∠ACB=180°-A-B=120°-B<120°,所以cos∠DCB>-,所以cos∠DCB=.在△BCD中,cos∠DCB==,解得BD=2,所以cos∠DBC==,所以sin∠DBC=. 在△ABC中,由正弦定理可得AC==,故選D. 9.(2019屆高三·臺(tái)州中學(xué)檢

6、測(cè))在△ABC中,若AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 解析:選A 因?yàn)閏=AB=1,a=BC=2,b=AC.根據(jù)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊可知1

7、=-A,B-A=-2A,∵sin(B+A)+sin(B-A)=2sin 2A,∴sin C+sin=2sin 2A,即sin C+cos 2A+sin 2A=2sin 2A,整理得sin=sin C=,∴sin=.又A∈,∴2A-=或,解得A=或.當(dāng)A=時(shí),B=,tan C===,解得a=,∴S△ABC=acsin B=;當(dāng)A=時(shí),B=,tan C===,解得b=,∴S△ABC=bc=.綜上,△ABC的面積是. 二、填空題 11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=30°,△ABC的面積為,且sin A+sin C=2sin B,則b的值為_(kāi)_______. 解析

8、:由已知可得acsin 30°=,解得ac=6.因?yàn)閟in A+sin C=2sin B,所以由正弦定理可得a+c=2b.由余弦定理知b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,解得b2=4+2,∴b=1+或b=-1-(舍去). 答案:1+ 12.(2018·溫州期中)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,b=2,cos B=,則c=________;△ABC的面積S=________. 解析:∵a=1,b=2,cos B=, ∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得22=12+c2-2×1×c×,整理得2c2-

9、c-6=0, 解得c=2(負(fù)值舍去), 又∵sin B==, ∴S△ABC=acsin B=×1×2×=. 答案:2  13.(2017·浙江高考)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是________,cos∠BDC=________. 解析:在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,由余弦定理得cos∠ABC===, 則sin∠ABC=sin∠CBD=, 所以S△BDC=BD·BCsin∠CBD=×2×2×=. 因?yàn)锽D=BC=2,所以∠CDB=∠ABC, 則cos∠CDB= =. 答案:  14.在△A

10、BC中,AD為邊BC上的中線,AB=1,AD=5,∠ABC=45°,則sin∠ADC=________,AC=________. 解析:在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin∠ADB=×sin∠ABC=×sin 45°=, 所以sin∠ADC=sin(180°-∠ADB)=sin∠ADB=. 由余弦定理, 得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD, 所以52=12+BD2-2BDcos45°,得BD=4, 因?yàn)锳D為△ABC的邊BC上的中線, 所以BC=2BD=8. 在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=12+(8)2-

11、2×1×8×cos 45°=113,所以AC=. 答案:  15.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知A=,b=,△ABC的面積為,則c=________,B=________. 解析:由S△ABC=bcsin A=××c×=,得c=1+.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=6+(4+2)-2×(+1)×=4,則a=2.由正弦定理=,可得sin B=,因?yàn)閎

12、C=,所以sin B=,所以B=45°或B=135°.當(dāng)B=45°時(shí),由余弦定理可得AC==1,此時(shí)AC=AB=1,BC=,易得A=90°,與“鈍角三角形”條件矛盾,舍去.所以B=135°.由余弦定理可得AC==. 答案: 17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,BC邊上的中線長(zhǎng)為2,高線長(zhǎng)為,且btan A=(2c-b)tan B,則bc的值為_(kāi)_______. 解析:因?yàn)閎tan A=(2c-b)tan B,所以=-1,所以1+=,根據(jù)正弦定理,得1+=,即=.因?yàn)閟in(A+B)=sin C≠0,sin B≠0,所以cos A=,所以A=.設(shè)BC邊上的中線為AM

13、,則AM=2,因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),所以=(+),即2=(2+2+2·),所以c2+b2+bc=32?、?設(shè)BC邊上的高線為AH,由S△ABC=AH·BC=bc·sin A,得bc=,即bc=2a?、冢鶕?jù)余弦定理,得a2=c2+b2-bc?、?,聯(lián)立①②③得2=32-2bc,解得bc=8或bc=-16(舍去). 答案:8 B組——能力小題保分練 1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tan C=(  ) A. B. C.- D.- 解析:選C 因?yàn)?S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,結(jié)合

14、面積公式與余弦定理,得absin C=2abcos C+2ab,即sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)2=4,即=4,所以=4,解得tan C=-或tan C=0(舍去),故選C. 2.在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)·sin C.若a=,則b2+c2的取值范圍是(  ) A.(5,6] B.(3,5) C.(3,6] D.[5,6] 解析:選A 由正弦定理可得,(a-b)(a+b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,所以cos A==,則A=.又===2,所以b=2s

15、in B,c=2sin C,所以b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4[sin2B+sin2(A+B)]=4=sin 2B-cos 2B+4=2sin+4.又△ABC是銳角三角形,所以B∈,則2B-∈,所以sin∈,所以b2+c2的取值范圍是(5,6],故選A. 3.在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sin A=________. 解析:如圖,AD為△ABC中BC邊上的高.設(shè)BC=a,由題意知AD=BC=a,B=,易知BD=AD=a,DC=a. 在Rt△ABD中,AB= =a. 在Rt△ACD中,AC= =a. ∵S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=BC·AD,

16、 即×a×a·sin∠BAC=a·a, ∴sin∠BAC=. 答案: 4.如圖,在△ABC中,AB=,點(diǎn)D在邊BC上,BD=2DC, cos∠DAC=,cos∠C=,則AC=________. 解析:因?yàn)锽D=2DC,設(shè)CD=x,AD=y(tǒng),則BD=2x,因?yàn)閏os∠DAC=, cos∠C=,所以sin∠DAC=,sin∠C=,在△ACD中,由正弦定理可得=,即=,即y=x.又cos∠ADB=cos(∠DAC+∠C)=×-×=,則∠ADB=.在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD×ADcos,即2=4x2+2x2-2×2x×x×,即x2=1,所以x=1,即BD=2,DC=1,A

17、D=,在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD×ADcos=5,得AC=. 答案: 5.已知△ABC中,AC=,BC=,△ABC的面積為.若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D,使∠BDC=,則CD=________. 解析:因?yàn)镾△ABC=AC·BC·sin∠BCA,即=×××sin∠BCA,所以sin∠BCA=.因?yàn)椤螧AC>∠BDC=,所以∠DAC<,又∠DAC=∠ABC+∠ACB,所以∠ACB<,則∠BCA=,所以cos∠BCA=.在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA=2+6-2×××=2,所以AB==AC,所以∠ABC=∠ACB=,在△BCD中,=,即=,解得CD=. 答案: 6.(2018·嘉興測(cè)試)設(shè)△ABC的三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,已知a2+2b2=c2,則=________;tan B的最大值為_(kāi)_______. 解析:由正弦定理可得=·=·,再結(jié)合余弦定理可得=·=··=.由a2+2b2=c2,得==-3.由已知條件及大邊對(duì)大角可知0<A<<C<π,從而由A+B+C=π可知tan B=-tan(A+C)=-=-=,因?yàn)椋糃<π,所以+ (-tan C)≥2=2(當(dāng)且僅當(dāng)tan C=-時(shí)取等號(hào)),從而tan B≤=,即tan B的最大值為. 答案:-3 

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