（全國通用版）2019高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題七 系列4選講 第2講 不等式選講學案 理

第2講不等式選講考情考向分析本部分主要考查絕對值不等式的解法求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍、不等式的證明等，結(jié)合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式、絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點，主要考查基本運算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想熱點一含絕對值不等式的解法含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a.(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a.(3)對形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解例1(2018·湖南省長郡中學模擬)已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當a2時，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解(1)當a2時，f(x)|x4|x2|x4|當x2時，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；當2<x<4時，由f(x)4|x4|，無解；當x4時，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.故不等式的解集為x|x1或x5(2)令h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，當x0或xa時，顯然不成立當0<x<a時，由|4x2a|2，解得x.又知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.思維升華(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟求零點；劃區(qū)間、去絕對值符號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合法可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法跟蹤演練1(2018·河北省衡水金卷模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)若函數(shù)g(x)，若對于任意的x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)依題意，得f(x)由f(x)3，得或或解得1x1.即不等式f(x)3的解集為.(2)由(1)知，f(x)minf ，g(x)|a1|，則|a1|，解得a，即實數(shù)a的取值范圍為.熱點二絕對值不等式恒成立(存在)問題定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立例2設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|xa|(a>0)(1)當a2時，求不等式f(x)>8的解集；(2)若xR，使得f(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a2時，由f(x)>8，得|2x1|x2|>8，即或或得x>3或x或x<，所以x>3或x<，所以原不等式的解集為(3，)(2)因為xR，使得f(x)成立，所以f(x)min.因為f(x)所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)minf a，所以a，所以a1.又a>0，所以實數(shù)a的取值范圍是.思維升華絕對值不等式的成立問題的求解策略(1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為af(x)或af(x)的形式(2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無解f(x)maxa；f(x)<a無解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或絕對值不等式求最值(4)得結(jié)論跟蹤演練2(2018·東北三省三校模擬)已知函數(shù)f(x).(1)若b1，解不等式f(x)>4；(2)若不等式f(a)>對任意的實數(shù)a恒成立，求b的取值范圍解(1)當b1時，f(x)|2x1|2x1|>4，即x>1或x<1或x，所以不等式的解集為(，1)(1，)(2)f(a)|2ab|2ab|2ab|b2a|(2ab)(b2a)|2b|，當且僅當(2ab)(b2a)0時，f(a)min|2b|，所以|2b|>|b1|，所以(2b)2>(b1)2，即(3b1)(b1)>0，所以b的取值范圍為(1，)熱點三不等式的證明1含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.2算術(shù)幾何平均不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立定理2：如果a，b為正數(shù)，那么，當且僅當ab時，等號成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，那么，當且僅當abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當且僅當a1a2an時，等號成立例3(2018·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c，實數(shù)a，b滿足a>0，b>0，abc，求證：1.(1)解f(x)x1，即|x1|x1.當x<1時，不等式可化為42xx1，解得x1.又x<1，x；當1x3時，不等式可化為2x1，解得x1.又1x3，1x3；當x>3時，不等式可化為2x4x1，解得x5.又x>3，3<x5.綜上所得，1x3或3<x5，即1x5.原不等式的解集為.(2)證明由絕對值不等式的性質(zhì)，得|x1|2，當且僅當(x1)(x3)0，即1x3時，等號成立，c2，即ab2.令a1m，b1n，則m>1，n>1，am1，bn1，mn4，mn41，當且僅當mn2時，等號成立，原不等式得證思維升華(1)作差法是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟：作差；分解因式；與0比較；結(jié)論關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力(2)在不等式的證明中，適當“放”“縮”是常用的推證技巧跟蹤演練3(2018·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)|3x1|3x1|，M為不等式f(x)<6的解集(1)求集合M；(2)若a，bM，求證：|ab1|>|ab|.(1)解f(x)|3x1|3x1|<6.當x<時，f(x)3x13x16x，由6x<6，解得x>1，1<x<；當x時，f(x)3x13x12，又2<6恒成立，x；當x>時，f(x)3x13x16x，由6x<6，解得x<1，<x<1.綜上，f(x)<6的解集Mx|1<x<1(2)證明2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab)a2b2a2b21(a21)(b21)由a，bM，得|a|<1，|b|<1，a21<0，b21<0，(a21)(b21)>0，>|ab|.真題體驗1(2017·全國)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當a1時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a1時，不等式f(x)g(x)等價于x2x|x1|x1|40.當x<1時，式化為x23x40，無解；當1x1時，式化為x2x20，從而1x1；當x>1時，式化為x2x40，從而1<x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當x1,1時，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等價于當x1,1時，f(x)2.又f(x)在1,1上的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,12(2017·全國)已知a>0，b>0，a3b32，證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，(當且僅當ab時，等號成立)因此ab2.押題預(yù)測1已知函數(shù)f(x)|x2|2xa|，aR.(1)當a1時，解不等式f(x)4；(2)若x0，使f(x0)|x02|<3成立，求a的取值范圍押題依據(jù)不等式選講問題中，聯(lián)系絕對值，關(guān)聯(lián)參數(shù)、體現(xiàn)不等式恒成立是考題的“亮點”所在，存在問題、恒成立問題是高考的熱點，備受命題者青睞解(1)當a1時，f(x)|x2|2x1|.由f(x)4，得|x2|2x1|4.當x2時，不等式等價于x22x14，解得x，所以x2；當<x<2時，不等式等價于2x2x14，解得x1，所以1x<2；當x時，不等式等價于2x2x14，解得x1，所以x1.所以原不等式的解集為x|x1或x1(2)應(yīng)用絕對值不等式，可得f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|.(當且僅當(2x4)(2xa)0時等號成立)因為x0，使f(x0)|x02|<3成立，所以(f(x)|x2|)min<3，所以|a4|<3，解得7<a<1，故實數(shù)a的取值范圍為(7，1)2已知x，yR，xy4.(1)要使不等式|a2|a1|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：x22y2，并指出等號成立的條件押題依據(jù)不等式選講涉及絕對值不等式的解法，包含參數(shù)是命題的顯著特點本題將二元函數(shù)最值、解絕對值不等式、不等式證明綜合為一體，意在檢測考生理解題意、分析問題、解決問題的能力，具有一定的訓練價值解(1)因為x，yR，xy4，所以1.由基本不等式，得 1，當且僅當xy2時取等號要使不等式|a2|a1|恒成立，只需不等式|a2|a1|1成立即可構(gòu)造函數(shù)f(a)|a2|a1|，則等價于解不等式f(a)1.因為f(a)所以解不等式f(a)1，得a0.所以實數(shù)a的取值范圍為(，0(2)因為x，yR，xy4，所以y4x(0<x<4)，于是x22y2x22(4x)23x216x3232，當x，y時等號成立A組專題通關(guān)1(2018·全國)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當x0，)時，f(x)axb恒成立，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當a3且b2時，f(x)axb在0，)上恒成立，因此ab的最小值為5.2(2018·全國)設(shè)函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)可得f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，當且僅當xa與2x同號時等號成立故f(x)1等價于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，)3(2018·江西省景德鎮(zhèn)市第一中學模擬)已知函數(shù)f(x)|2x4|x1|，xR.(1)解不等式f(x)9；(2)若方程f(x)x2a在區(qū)間0,2上有解，求實數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)9，即|2x4|x1|9，即或或解得2<x4或1x2或2x<1.不等式的解集為2,4(2)當x0,2時，f(x)5x.由題意知，f(x)x2a，即ax2x5，x0,2，故方程f(x)x2a在區(qū)間0,2上有解，即函數(shù)ya和函數(shù)yx2x5的圖象在區(qū)間0,2上有交點，當x0,2時，yx2x5，a.4(2018·百校聯(lián)盟TOP20聯(lián)考)已知f(x)|2xa|x2|.(1)當a2時，求不等式f(x)4的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)3a23|2x|恒成立，求a的取值范圍解(1)當a2時，由f(x)4，得2|x1|x2|4，當x1時，由2(1x)(2x)4，得4x1；當1<x<2時，由2(x1)(2x)4，得1<x<2；當x2時，由2(x1)(x2)4，得2x4.綜上所述，f(x)4的解集為4,4(2)由不等式f(x)3a23|2x|，得|2xa|x2|3|x2|3a2，即為|2xa|42x|3a2，即關(guān)于x的不等式|2xa|2x4|3a2恒成立，而|2xa|2x4|(2xa)(2x4)|a4|，當且僅當(2xa)(2x4)0時等號成立，所以|a4|3a2，解得a43a2或a43a2，解得1a或a.所以a的取值范圍是.5(2018·上饒模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|.(1)求不等式f(x)8|x3|的解集；(2)若正數(shù)m，n滿足m3nmn，求證：f(m)f(3n)24.(1)解此不等式等價于或或即不等式的解集為.(2)證明m>0，n>0，m3nmn，m3n(m·3n)×，即m3n12，當且僅當即時取等號，f(m)f(3n)|2m1|6n1|2m6n|，當且僅當(2m1)(6n1)0，即n時取等號，又|2m6n|24，當且僅當m6，n2時，取等號，f(m)f(3n)24.B組能力提高6(2018·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)|3x1|2x1|a.(1)求不等式f(x)>a的解集；(2)若恰好存在4個不同的整數(shù)n，使得f(n)<0，求a的取值范圍解(1)由f(x)>a，得|3x1|>|2x1|，不等式兩邊同時平方，得9x26x1>4x24x1，即5x2>10x，解得x<0或x>2.所以不等式f(x)>a的解集為(，0)(2，)(2)設(shè)g(x)|3x1|2x1|作出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示，因為g(0)g(2)0，g(3)<g(4)2<g(1)3，又恰好存在4個不同的整數(shù)n，使得f(n)<0，所以即故a的取值范圍為.7(2018·百校聯(lián)盟TOP20聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2|x2|.(1)解不等式f(x)>2|x|；(2)若f(x)a22b23c2(a>0，b>0，c>0)對任意xR恒成立，求證：·c<.(1)解由f(x)>2|x|，得x2|x2|>2|x|，即或或解得x>2或0<x<1或x0，即x>2或x<1.所以不等式f(x)>2|x|的解集為(，1)(2，)(2)證明當x2時，f(x)x2x222224；當x<2時，f(x)x2x22，所以f(x)的最小值為.因為f(x)a22b23c2對任意xR恒成立，所以a22b23c2.又a22b23c2a2c22(b2c2)2ac4bc4，且等號不能同時成立，所以4<，即·c<.8設(shè)函數(shù)f(x)|x|x|.(1)當a1時，解不等式f(x)；(2)若對任意a0,1，不等式f(x)b的解集不為空集，求實數(shù)b的取值范圍解(1)當a1時，不等式f(x)等價于|x1|x|.當x1時，不等式化為x1x，無解；當1<x<0時，不等式化為x1x，解得x<0；當x0時，不等式化為x1x，解得x0.綜上所述，不等式f(x)的解集為.(2)不等式f(x)b的解集不為空集，bf(x)max，a0,1，f(x)|x|x|xx|，f(x)max.對任意a0,1，不等式f(x)b的解集不為空集，bmin，令g(a)，g2(a)12·1212.當a時，g(a)單調(diào)遞增，當a時，g(a)單調(diào)遞減，當且僅當a0或a1時，g(a)min1，b的取值范圍為(，113