2022年高考數(shù)學專題復習 第12講 函數(shù)模型及其應用練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第12講 函數(shù)模型及其應用練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查二次函數(shù)模型的建立及最值問題.2.考查分段函數(shù)模型的建立及最值問題.3.考查指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、“對勾”型函數(shù)模型的建立及最值問題.4.合理選擇變量，構造函數(shù)模型，求兩變量間的函數(shù)關系式，從而研究其最值． 一、三種函數(shù)模型之間增長速度的比較 函數(shù) 性質　　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 大小比較 存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)og

2、ax＜xn＜ax 二、常見的幾種函數(shù)模型 1．一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)． 2．反比例函數(shù)模型：y＝(k≠0)． 3．指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)． 4．對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)． 5．冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 6．分段函數(shù)模型． 求解近似函數(shù)模型的步驟 1．一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關系用圖象表示為圖中的(　　) 【解析】　由題意知h＝20－5t，故選B. 【答案】　B 2．擬定甲地到乙地通話

3、m分鐘的電話費f(m)＝0.5×[m]＋1(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.62]＝3，[4]＝4)，當m∈[0.5,3.2]時，函數(shù)f(m)的值域是(　　) A．{1,2,3,4}　　　　　 B．{1,1.5,2,2.5} C．{1,1.5,2.5,3} D．{1.5,2,2.5} 【解析】　當m∈[0.5,3.2]時，[m]所有可能值為0,1,2,3共四個，故f(m)的值域為{1,1.5,2,2.5}． 【答案】　B 3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬

4、件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為(　　) A．36萬件 B．18萬件 C．22萬件 D．9萬件 【解析】　利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 當x＝18時，L(x)有最大值． 【答案】　B 4．某種儲蓄按復利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關系式是________． 【解析】　已知本金為a元，利率為r，則 1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)， 2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， 3期后本利和為y＝a(1＋

5、r)3， … x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N. 【答案】　y＝a(1＋r)x，x∈N 5．(2011·湖北高考)里氏震級M的計算公式為：M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中．測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍． 【解析】　由題意，假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則M＝lg A－lg A0＝lg 1 000－lg 0.001

6、＝3－(－3)＝6.設9級地震的最大振幅是x,5級地震的最大振幅是y， 9＝lg x＋3,5＝lg y＋3，解得x＝106，y＝102. 所以＝＝10 000. 【答案】　6　10 000 6．(xx·陜西高考)在 圖2－9－1 如圖2－9－1所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________(m)． 【解析】　設矩形花園的寬為y m，則＝，即y＝40－x，矩形花園的面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，當x＝20 m時，面積最大． 【答案】　20 考向一 [033]　一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應

7、用 　(xx·鹽城模擬)某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖2－9－2所示的拋物線一段，已知跳水板AB長為2 m，跳水板距水面CD的高BC為3 m．為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓練時跳水曲線應在離起跳點A處水平距hm(h≥1)時達到距水面最大高度4 m．規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標系． (1)當h＝1時，求跳水曲線所在的拋物線方程； (2)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到比較好的訓練效果，求此時h的取值范圍． 圖2－9－2 【思路點撥】　(1)利用頂點式求拋物線方程． (2)利用拋物線方程在區(qū)間[5,6]內(nèi)有解，求h的取值范圍． 【嘗試解答】　由題意，最

8、高點為(2＋h,4)(h≥1)． 設拋物線方程為y＝a[x－(2＋h)]2＋4 (1)當h＝1時，最高點為(3,4)，方程為y＝a(x－3)2＋4(*)． 將點A(2,3)代入(*)式得a＝－1. 即所求拋物線的方程為y＝－x2＋6x－5. (2)將點A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1. 由題意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在區(qū)間[5,6]內(nèi)有一解． 令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4， 則 解得1≤h≤. 答：達到比較好的訓練效果時的h的取值范圍是. 規(guī)律方法1　 1.本例(1)在求解時，巧設拋物線的頂點

9、式方程，從而使運算量大大簡化 (2)在求解時巧用零點定理避免了直接求零點而帶來的繁瑣計算. 2.(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯.(2)解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題. 對點訓練　某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖2－9－3(1)；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2－9－3(2)(注：利潤和投資單位：萬元)． (1)　　　　　　　　　　　(2) 圖2－9－3 (1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式； (2)已知該企業(yè)已籌集到

10、18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)． ①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？ ②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？ 【解】　(1)設A、B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元(x≥0)，所獲利潤分別為f(x)、g(x)萬元，由題意可設f(x)＝k1x，g(x)＝k2， ∴根據(jù)圖象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)， g(x)＝2(x≥0)． (2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6， ∴總利潤y＝8.25(萬元)． ②設B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤為y萬元， 則y＝(

11、18－x)＋2，0≤x≤18. 令＝t，t∈[0,3]， 則y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋. ∴當t＝4時，ymax＝＝8.5，此時x＝16,18－x＝2. ∴當A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤8.5萬元． 考向二 [034]　三種函數(shù)模型的應用 　某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖2－9－4所示的曲線． 圖2－9－4 (1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(t)； (2)據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25

12、微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間． 【思路點撥】　本題考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的實際應用，解題的關鍵是利用已知條件確定函數(shù)解析式，然后解不等式． 【嘗試解答】　(1)由圖象，設y＝ 當t＝1時，由y＝4得k＝4， 由1－a＝4得a＝3. 所以y＝ (2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5. 因此服藥一次后治療疾病有效的時間是5－＝(小時)． 規(guī)律方法2　三種函數(shù)模型的應用技巧 (1)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長

13、率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型. (2)在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導數(shù). 對點訓練　一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的. (1)求每年砍伐面積的百分比； (2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多還能砍伐多少年？ 【解】　(1)設每年降低的百分比為x(0＜x＜1)．則 a(1－x)10＝a，即(1－x)1

14、0＝. 解得x＝1－. (2)設經(jīng)過m年剩余面積為原來的，則a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5. 故到今年為止，已砍伐了5年． (3)設從今年開始，以后砍了n年， 則n年后剩余面積為a(1－x)n. 令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥， ≥，≤，解得n≤15. 故今后最多還能砍伐15年． 考向三 [035]　分段函數(shù)模型的應用 　(xx·杭州模擬)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不

15、超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) 【思路點撥】　(1)當20≤x≤200時，運用待定系數(shù)法求v(x)的解析式，進而確定當0≤x≤200時，分段函數(shù)v(x)．(2)根據(jù)(1)求出f(x)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值． 【嘗試解答】　(1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)＝60； 當20≤x

16、≤200時，設v(x)＝ax＋b. 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)．故當x＝20時，其最大值為60×20＝1 200；當20＜x≤200時， f(x)＝x(200－x)≤2＝. 當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立． 所以，當x＝100時，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值. 綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333. 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/小時． 規(guī)律方法3　 1.

17、理解題意，由待定系數(shù)法，準確求出v(x)，是求解本例的關鍵.要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點值. 2.實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數(shù)模型求解. 對點訓練　(xx·廣州市培正中學月考)由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y與時間x的關系，可近似地表示為y＝只有當河流中堿的濃度不低于1時，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用． (1)如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？ (2)當河中的堿濃度開始下降時，即刻

18、第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認為是各次投放的堿在該時刻相應的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值． 【解】　(1) ??≤x≤2， ?2＜x≤3. 綜上，得≤x≤3. 即若1個單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時間為3－＝. (2)當0≤x≤2時，y＝－－x＋8單調(diào)遞增， 當2＜x≤4時，y＝4－x單調(diào)遞減． 所以當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，即2＜x≤4時，y＝4－x＋＝14－≤14－2＝14－8. 故當且僅當2x＝，即x＝2時，y有最大值14－8. 規(guī)范解答之二　函數(shù)建模在實際問題中的妙用 解

19、函數(shù)應用題的一般步驟：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系；第二步：建模——將文字語言轉化成數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；第三步：求?！蠼鈹?shù)學模型，得到數(shù)學結論；第四步：還原——將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題的意義；第五步：反思回顧——對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結果，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性． ———　[1個示范例]　———　[1個規(guī)范練]　——— 　　(12分)(xx·江蘇高考)如圖2－9－5，建 圖2－9－5 立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程

20、y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標． (1)求炮的最大射程． (2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由． 【規(guī)范解答】　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實際意義和題設條件知x>0，k>0，3分 故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號． 所以炮的最大射程為10千米.6分 (2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標?存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立8分 ?關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

21、10分 ?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6. 所以當a不超過6千米時，可擊中目標.12分 【名師寄語】　(1)求解函數(shù)實際問題，審題是關鍵，要弄清相關“名詞”準確尋求各量之間的關系，如本例中的“炮彈射程”. (2)在求解過程中應分清變量x、y及k之間的辨證關系，結合所求，用k表示x. (3)把所求問題轉化為方程有解問題；進而把方程有解問題轉化為一元二次方程有正根，最后列不等式求解，用數(shù)學結果回答實際問題. (xx·上海高考)甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得的利潤是100元． (1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所

22、獲得的利潤為 100a元； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤． 【解】　(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時間是小時， 所獲得的利潤為100·. 所以，生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為 100a元． (2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所用的時間是小時，獲得的利潤為90 000，1≤x≤10. 記f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10， 則f(x)＝－32＋＋5， 當且僅當x＝6時，f(x)取到最大值f(6)＝. 獲得最大利潤90 000×＝457 500(元)． 因此甲廠應以6千克/小時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457 500元．