2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(I)

上傳人:xt****7 文檔編號:106576520 上傳時(shí)間:2022-06-13 格式:DOC 頁數(shù):10 大?。?28.52KB
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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(I) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(  ) A.1+<2       B.1++<2 C.1++<3 D.1+++<3 2. 由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想:“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面________.”(  ) A.各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B.各正三角形的某高線上的點(diǎn) C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某點(diǎn) 3. 不

2、等式a>b與>同時(shí)成立的充要條件為(  ) A.a(chǎn)>b>0    B.a(chǎn)>0>b C. <<0 D.>>0 4. 下列推理是歸納推理的是( ) A.A,B為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓 B.由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓的面積S=πab D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 5. 用反證法證明命題時(shí),對結(jié)論:“自然數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)”正確的假設(shè)為( ) A.都是奇數(shù)

3、B.都是偶數(shù) C.中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 6. 4. 若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為3x-y+1=0,則(  ) A.f′(x0)<0      B.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 7. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ). A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞

4、,-1)∪(2,+∞) 8. 函數(shù)y=xe-x,x∈[0,4]的最小值為(  ). A.0 B. C. D. 9. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(  ). A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 10. 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的函數(shù)圖象可能是( ) 11. 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx(a

5、,b∈R)的圖像如圖所示,它與x軸相切于原點(diǎn),且x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為,則a的值為(  ) A.-1 B.0 C.1 D.-2 12. 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m、n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是(  ) A.-13 B.-15 C.10 D.15 二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13. 曲線y=x3-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為________. 14. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:

6、○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是 。 15. 已知,,試通過計(jì)算,,,的值,推測出=___________. 16. 已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2的圖象在點(diǎn)(-1,2)處的切線恰好與直線3x+y=0平行,若f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________. 三、解答題:解答應(yīng)寫文字說明,證明過程或演算步驟(共70分) 17. (10分)(1). 求函數(shù)的極值. (2).求由直線和曲線所圍成的圖形的面積. 18. (12分)用分

7、析法證明:若a>0,則-≥a+-2.(12分) 19. (12分) 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*). 20. (12分) 已知函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值. (1)求a,b的值; (2)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間. 21. (12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x--aln x(a∈R). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2,記過點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線的斜率為k.問:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存

8、在,請說明理由. 22. (12分) 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=(x-a)2+(lnx-a)2. (1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程; (2)若g′(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (3)證明:g(x)≥. 寧夏育才中學(xué)孔德學(xué)區(qū)xx-2高二年級月考 數(shù)學(xué) 試卷 (試卷滿分 150 分,考試時(shí)間為 120 分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+

9、1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(  ) A.1+<2       B.1++<2 C.1++<3 D.1+++<3 [答案] B 2. 由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想:“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面________.”(  ) A.各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B.各正三角形的某高線上的點(diǎn) C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某點(diǎn) [答案] C [解析] 正三角形的邊對應(yīng)正四面體的面,即正三角形表示的側(cè)面,所以邊的中點(diǎn)對應(yīng)的就是正三角形的中心.故選C. 3. 不等式a>b與>同時(shí)成立的充要條件為(  ) A.a(chǎn)>b>0   

10、 B.a(chǎn)>0>b C. <<0 D.>>0 [答案] B [解析] ???a>0>b,故選B. 4. 下列推理是歸納推理的是( ) A.A,B為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓 B.由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓的面積S=πab D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 【答案】B 5. 用反證法證明命題時(shí),對結(jié)論:“自然數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)”正確的假設(shè)為( ) A.都是奇數(shù) B.

11、都是偶數(shù) C.中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 【答案】A 6. 4. 若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為3x-y+1=0,則(  ) A.f′(x0)<0      B.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 答案 B 7. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ). A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6)

12、 D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值, 所以f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=4a2-4×3(a+6)>0, 解得a<-3或a>6. 答案 B 8. 函數(shù)y=xe-x,x∈[0,4]的最小值為(  ). A.0 B. C. D. 解析 y′=e-x-xe-x=-e-x(x-1) y′與y隨x變化情況如下: x 0 (0,1) 1 (1,4) 4 y′ + 0 - y 0

13、 當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y=xe-x取到最小值0. 答案 A 9. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(  ). A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 答案 A 10. 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的函數(shù)圖象可能是( ) 【解析】選B.由圖可得-1<f′(x)<1,則切線斜率k∈(-1,1). 11. 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖像如圖所示,它與x軸相切于原點(diǎn),且

14、x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為,則a的值為(  ) A.-1 B.0 C.1 D.-2 答案 A 解析 方法一:因?yàn)閒′(x)=-3x2+2ax+b,函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點(diǎn),所以f′(0)=0,即b=0,所以f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像與x軸所圍成區(qū)域的面積為,所以(-x3+ax2)dx=-,所以(-x4+ax3)=-,所以a=-1或a=1(舍去),故選A. 方法二:因?yàn)閒′(x)=-3x2+2ax+b,函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點(diǎn),所以f′(0)=0,即b=0,所以f(x)=-x

15、3+ax2.若a=0,則f(x)=-x3,與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0),不符合所給的圖像,排除B;若a=1,則f(x)=-x3+x2=-x2(x-1),與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0),(1,0),不符合所給的圖像,排除C;若a=-2,則所圍成的面積為- (-x3-2x2)dx=(x4+x3) =≠,排除D.故選A. 12. 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m、n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是(  ) A.-13 B.-15 C.10

16、 D.15 解析:求導(dǎo)得f′(x)=-3x2+2ax,由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4, f′(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增, ∴當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.又f′(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,且對稱軸為x=1,∴當(dāng)n∈[-1,1]時(shí),f′(n)min=f′(-1)=-9.故f(m)+f′(n)的最小值為-13. 答案:A 二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13. 曲線y=x3-x+

17、3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為________. 答案 2x-y+1=0 解析 ∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2. ∴該切線方程為y-3=2(x-1),即2x-y+1=0. 14. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是 。 答案:____14____ 15. 已知,,試通過計(jì)算,,,的值,推測出=___________. 答案: 16. 已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2的圖象在點(diǎn)(-1,2)處的切線恰好與直線3

18、x+y=0平行,若f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________. 答案 [-2,-1] 解析 由題意知,點(diǎn)(-1,2)在函數(shù)f(x)的圖象上, 故-m+n=2. ① 又f′(x)=3mx2+2nx,則f′(-1)=-3, 故3m-2n=-3. ② 聯(lián)立①②解得:m=1,n=3,即f(x)=x3+3x2, 令f′(x)=3x2+6x≤0,解得-2≤x≤0, 則[t,t+1]?[-2,0],故t≥-2且t+1≤0, 所以t∈[-2,-1]. 三、解答題:解答應(yīng)寫文字說明,證明過程或演算步驟

19、(共70分) 17. (10分)(1). 求函數(shù)的極值. (2).求由直線和曲線所圍成的圖形的面積. (1)解:. 令,即,解得,. 當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:        0            -   0  ?。?   0   +        /      極小值    因此,當(dāng)時(shí),有極小值,且. (2)解:聯(lián)立,得,. 所以,,故所求面積. 18. (12分) 用分析法證明:若a>0,則-≥a+-2.(12分) 證明:要證-≥a+-2,只需證+2≥a++. ∵a>0,∴兩邊均大于零,因此只需證(+2)2≥(a++)2,

20、只需證a2++4+4≥a2++2+2(a+), 只需證≥(a+),只需證a2+≥(a2++2), 即證a2+≥2,它顯然是成立,∴原不等式成立. 19. (12分) 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*). [證明]?、賜=1時(shí),左邊=12-22=-3,右邊=-3,等式成立. ②假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2. 當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-

21、(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1時(shí),等式也成立. 由①②得,等式對任何n∈N*都成立. 20. (12分) 已知函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值. (1)求a,b的值; (2)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間. 答案 (1)a=,b=1 (2)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞) 解析 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+blnx, 所以f′(x)=2ax+. 又函數(shù)f(x)在x=1處有極值, 所以即解得 (2)由(1)可知f(x)=x2-lnx,其定

22、義域是(0,+∞),且f′(x)=x-=. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x)  極小值  所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞). 21. (12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x--aln x(a∈R). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2,記過點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線的斜率為k.問:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由. 思路分析 先求導(dǎo),通分后發(fā)

23、現(xiàn)f′(x)的符號與a有關(guān),應(yīng)對a進(jìn)行分類,依據(jù)方程的判別式來分類. 解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞). f′(x)=1+-=. 令g(x)=x2-ax+1,其判別式Δ=a2-4. ①當(dāng)|a|≤2時(shí),Δ≤0,f′(x)≥0.故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ②當(dāng)a<-2時(shí),Δ>0,g(x)=0的兩根都小于0.在(0,+∞)上,f′(x)>0.故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ③當(dāng)a>2時(shí),Δ>0,g(x)=0的兩根為x1=, x2=. 當(dāng)0<x<x1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x>x2時(shí),f′(x)>0.故f(x)分別在(0,

24、x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減. (2)由(1)知,a>2. 因?yàn)閒(x1)-f(x2)=(x1-x2)+-a(ln x1-ln x2),所以,k==1+-a·. 又由(1)知,x1x2=1,于是k=2-a·. 若存在a,使得k=2-a,則=1. 即ln x1-ln x2=x1-x2. 由x1x2=1得x2--2ln x2=0(x2>1).(*) 再由(1)知,函數(shù)h(t)=t--2ln t在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而x2>1,所以x2--2ln x2>1--2 ln 1=0.這與(*)式矛盾. 故不存在a,使得k=2-a. 22. (12分)

25、已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=(x-a)2+(lnx-a)2. (1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程; (2)若g′(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (3)證明:g(x)≥. 答案 (1)y=x-1 (2)a≥-2 (3)略 解析 (1)因?yàn)閒′(x)=,所以f′(1)=1. 故切線方程為y=x-1. (2)g′(x)=2(x-+-a), 令F(x)=x-+-a,則y=F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增. F′(x)=,則當(dāng)x≥1時(shí),x2-lnx+a+1≥0恒成立, 即當(dāng)x≥1時(shí),a≥-x2+lnx-1恒成立. 令G(x)=-x2+lnx-1,則當(dāng)x≥1時(shí),G′(x)=<0, 故G(x)=-x2+lnx-1在[1,+∞)上單調(diào)遞減. 從而G(x)max=G(1)=-2. 故a≥G(x)max=-2. (3)證明:g(x)=(x-a)2+(lnx-a)2 =2a2-2(x+lnx)a+x2+ln2x, 令h(a)=2a2-2(x+lnx)a+x2+ln2x,則h(a)≥. 令Q(x)=x-lnx,則Q′(x)=1-=,顯然Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 則Q(x)min=Q(1)=1. 則g(x)=h(a)≥.

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