(江蘇專版)2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題9 立體幾何學(xué)案

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1、 專題九 立體幾何 ———————命題觀察·高考定位——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第39頁) 1. (2017·江蘇高考)如圖9-1,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切,記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是________. 圖9-1  [設(shè)球O的半徑為R, ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切, ∴圓柱O1O2的高為2R,底面半徑為R. ∴==.] 2.(2015·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個(gè),若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的

2、圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為______.  [設(shè)新的底面半徑為r,由題意得 ×π×52×4+π×22×8=×π×r2×4+π×r2×8, ∴r2=7,∴r=.] 3.(2014·江蘇高考)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2.若它們的側(cè)面積相等,且=,則的值是________.  [設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1,r2和h1,h2,由=,得=,則=.由圓柱的側(cè)面積相等,得2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,則=,所以==.] 4. (2013·江蘇高考)如圖9-2,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,AC,AA1

3、的中點(diǎn).設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1∶V2=________. 圖9-2 1∶24 [設(shè)三棱柱的底面ABC的面積為S,高為h,則其體積為V2=Sh.因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以△ADE的面積等于S.又因?yàn)镕為AA1的中點(diǎn),所以三棱錐F-ADE的高等于h,于是三棱錐F-ADE的體積V1=×S·h=Sh=V2,故V1∶V2=1∶24.] 5.(2017·江蘇高考) 如圖9-3,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(1)

4、EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394060】 圖9-3 [證明] (1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,EF⊥AD, 所以EF∥AB. 又因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, BC?平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因?yàn)锳D?平面ABD,所以BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因?yàn)锳C?平面ABC, 所以AD⊥AC. 6. (2016·江蘇高

5、考)如圖9-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 求證:(1)直線DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 圖9-4 [證明] (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC. 在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn), 所以DE∥AC,于是DE∥A1C1. 又因?yàn)镈E?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F, 所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,

6、所以A1A⊥A1C1. 又因?yàn)锳1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因?yàn)锽1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D. 又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F. 因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F. [命題規(guī)律] 觀近幾年江蘇的高考題,立體幾何的客觀題以柱、錐、球?yàn)檩d體考查體積、表面積為主,屬容易題;解答題一般都處于解答題第16題的位置,也就是屬于容易題范疇,考查的難度不大,且

7、都是考查線線、線面或面面的平行與垂直關(guān)系的證明.從近幾年江蘇高考試題分析,解答題中考查一道立體幾何題型是固定模式,一般與棱柱和棱錐相關(guān),其重點(diǎn)放在對幾何體中的一些線、面之間的平行與垂直關(guān)系的證明上,突出考查學(xué)生的空間想象能力和推理運(yùn)算能力. ———————主干整合·歸納拓展——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第40頁) [第1步▕ 核心知識(shí)再整合] 1.空間幾何體的兩組常用公式 (1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式: ①S柱側(cè)=ch(c為底面周長,h為高); ②S錐側(cè)=ch′(c為底面周長,h′為斜高); ③S臺(tái)側(cè)=(c+c′)h′(c′,c分別為上下底面的周長,h′為斜高);

8、④S球表=4πR2(R為球的半徑). (2)柱體、錐體和球的體積公式: ①V柱體=Sh(S為底面面積,h為高); ②V錐體=Sh(S為底面面積,h為高); ③V球=πR3. 2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3)面面平行的判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b. 3.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l

9、⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. [第2步▕ 高頻考點(diǎn)細(xì)突破] 空間幾何體的表面積、體積、球與多面體 【例1】 (江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測試)如圖9-5, 圖9-5 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,則三棱錐A-B1D1D的體積為________cm3. [解析] VA-B1D1D=VB1-AD1D=×S△AD1D×B1A1=××AD×D1D×B1A1=

10、××3×2×3=3. [答案] 3 [規(guī)律方法] (1)在求三棱錐體積的過程中,等體積轉(zhuǎn)化法是常用的方法,轉(zhuǎn)換底面的原則是使其高易求,常把底面放在已知幾何體的某一面上. (2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體變?yōu)橐?guī)則幾何體,易于求解. (3)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面,把空間問題化歸為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系. (4)求與球有關(guān)的“切”或者“接”球半徑時(shí),往往用到的方法有構(gòu)造法或者直接確定球心. [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學(xué)試題)如圖9-6,在直三棱柱ABC-

11、A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)AD+DC1最小時(shí),三棱錐D-ABC1的體積為________. 圖9-6  [將直三棱柱ABC-A1B1C1展開成矩形ACC1A1,如圖, 連接AC1,交BB1于D,此時(shí)AD+DC1最小, ∵AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn), ∴當(dāng)AD+DC1最小時(shí),BD=1, 此時(shí)三棱錐D-ABC1的體積: VD-ABC1=VC1-ABD=×S△ABD×B1C1 =××AB×BD×B1C1 =××1×1×2=.] 線面位置關(guān)系的命題真假判斷

12、 【例2】 給出下列命題: ①若兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面; ②若兩個(gè)平面平行,那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定垂直于另一個(gè)平面; ③若兩個(gè)平面垂直,那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平面; ④若兩個(gè)平面垂直,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面. 則其中所有真命題的序號(hào)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394061】 [解析] 兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面一定沒有公共點(diǎn),因此線面平行,①正確;同樣兩個(gè)平面平行,一直線與其中一個(gè)平面垂直,則它必垂直這個(gè)平面內(nèi)的任意直線,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,它也必垂直另一平

13、面內(nèi)的兩條相交直線,故這條直線與另一平面也垂直,②正確;兩平面垂直,垂直于其中一個(gè)平面的直線可能在另一平面內(nèi)(面面垂直性質(zhì)定理),③錯(cuò)誤;兩平面垂直時(shí),它們的交線與兩平面都不垂直,④錯(cuò)誤. [答案]?、佗? [規(guī)律方法] 解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題,主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷,必要時(shí)可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷,同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中. [舉一反三] 設(shè)a,b,c是空間三條直線,α,β是空間兩個(gè)平面,則下列命題中,逆命題不正確的是________.(填序

14、號(hào)) ①當(dāng)c⊥α?xí)r,若c⊥β,則α//β; ②當(dāng)b?α,a?α且c是a在α內(nèi)的射影時(shí),若b⊥c,則a⊥b; ③當(dāng)b?α?xí)r,若b⊥β,則α⊥β; ④當(dāng)b?α且c?α?xí)r,若c//α,則b//c. ③ [①命題的逆命題為“當(dāng)c⊥α?xí)r,若α∥β,則c⊥β”,正確;②命題的逆命題為“當(dāng)b?α,a?α且c是a在α內(nèi)的射影時(shí),若a⊥b,則b⊥c”,正確;③命題的逆命題為“當(dāng)b?α?xí)r,若α⊥β,則b⊥β”,錯(cuò)誤;④命題的逆命題為“當(dāng)b?α且c?α?xí)r,若b∥c,則c∥α”,正確.] 空間中的線面位置關(guān)系 【例3】 (江蘇省2017屆高考押題試卷(二)數(shù)學(xué)試題)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

15、CA=CB,AA1=AB,D是AB的中點(diǎn). (1)求證:BC1∥平面A1CD; (2)若點(diǎn)P在線段BB1上,且BP=BB1,求證:AP⊥平面A1CD. 圖9-7 [證明] (1)連接AC1,設(shè)與CA1交于O點(diǎn),連接OD(圖略). ∴直三棱柱ABC-A1B1C1中,O為AC1的中點(diǎn),∵D是AB的中點(diǎn), ∴在△ABC1中,OD∥BC1, 又∵OD?平面A1CD, ∴BC1∥平面A1CD. (2)由題意,設(shè)AB=x,則BP=x,AD=x,A1A=x, 由于==, ∴△ABP∽△ADA1,可得∠BAP=∠AA1D, ∵∠DA1A+∠ADA1=90°,可得:AP⊥A1D,

16、 又∵CD⊥AB,平面ABC⊥平面ABB1A1,CD?平面ABC,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,可得CD⊥平面ABB1A1, ∴CD⊥AP,又∵A1D∩CD=D, ∴AP⊥平面A1CD. [規(guī)律方法] (1)要證線面平行,先在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行,或找一個(gè)經(jīng)過已知直線與已知平面相交的平面,找出交線,證明兩線平行. (2)要證線線平行,可考慮公理4或轉(zhuǎn)化為線面平行. (3)要證線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直,應(yīng)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. [舉一反三] 如圖9-8所示,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F(xiàn),G分別是棱AP,AC,BC,PB

17、的中點(diǎn). (1)求證:DE∥平面BCP; (2)求證:四邊形DEFG為矩形; (3)是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說明理由. 圖9-8 [解] (1)證明:因?yàn)镈,E分別是AP,AC的中點(diǎn),所以DE∥PC. 又DE?平面BCP,所以DE∥平面BCP. (2)證明:因?yàn)镈,E,F(xiàn),G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn),所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形. 又PC⊥AB,所以DE⊥DG. 所以四邊形DEFG為矩形. (3)存在點(diǎn)Q滿足條件.理由如下: 連接DF,EG,如圖所示,設(shè)Q為EG的中點(diǎn), 由

18、(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG. 分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN. 與(2)同理,可證四邊形MENG為矩形,其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q,且QM=QN=EG,所以Q為滿足條件的點(diǎn). 空間中的面面位置關(guān)系 【例4】 (江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試)如圖9-9,正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD,AE⊥平面CDE,且AB=2AE. (1)求證:AB∥平面CDE; (2)求證:平面ABCD⊥平面ADE. 圖9-9 [證明] (1)正方形ABCD中,AB//CD, 又AB?平面CDE,CD?平

19、面CDE, ∴AB//平面CDE. (2)∵AE⊥平面CDE,且CD?平面CDE, ∴AE⊥CD, 又正方形ABCD中,CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE?平面ADE,AD?平面ADE, ∴CD⊥平面ADE, 又CD?平面ABCD, ∴平面ABCD⊥平面ADE. [規(guī)律方法] 線面、線線垂直與平行的位置關(guān)系在面面平行與垂直位置關(guān)系的證明中起著承上啟下的橋梁作用,依據(jù)線面、面面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵.證明面面平行主要依據(jù)判定定理,證明面面垂直時(shí),關(guān)鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個(gè)平面垂直,若圖中不存在這樣的直線應(yīng)借助添加中線、高線等方法解決.

20、 [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學(xué)試題)如圖9-10,在三棱錐A-BCD中,E、F分別為BC,CD上的點(diǎn),且BD∥平面AEF. (1)求證:EF∥平面ABD; (2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求證:平面AEF⊥平面ACD. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394062】 圖9-10 [證明] (1)∵BD∥平面AEF,BD?平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF, ∴BD∥EF,又BD?平面ABD,EF?平面ABD, ∴EF∥平面ABD. (2)∵AE⊥平面BCD,CD?平面BCD, ∴AE⊥CD, 由(1)可知BD∥EF,又BD⊥CD, ∴EF⊥CD,

21、 又AE∩EF=E,AE?平面AEF,EF?平面AEF, ∴CD⊥平面AEF,又CD?平面ACD, ∴平面AEF⊥平面ACD. [第3步▕ 高考易錯(cuò)明辨析] 1.概念不清,做題時(shí)想當(dāng)然導(dǎo)致出錯(cuò).這是一些中差生最常犯的錯(cuò) 如圖9-11,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4 cm,AD=3 cm,AA1=2 cm,則四棱錐A-BB1D1D的體積為________cm3. 圖9-11 [錯(cuò)解] 設(shè)AC,BD的交點(diǎn)為O(圖略),則四棱錐A-BB1D1D的體積V=×SBB1D1D×AO,根據(jù)題意AC=5 cm,所以AO=,四棱錐A-BB1D1D的體積V=×5×2×= c

22、m3. [錯(cuò)解分析] 由于AO不垂直于面BB1D1D,四棱錐A-BB1D1D的體積不是×SBB1D1D×AO. [正解] 作AO⊥BD,垂足為O(圖略),因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BB1D1D.所以,AO⊥平面BB1D1D,所以四棱錐A-BB1D1D的高為AO,根據(jù)題意BD=5 cm,所以AO=,四棱錐A-BB1D1D的體積V=×5×2×=8 cm3. 2. 考綱要求學(xué)生要有一定的空間想象力,能根據(jù)圖形想象出直觀形象.學(xué)生往往由于空間感太差,考慮問題不全面,忽視一些細(xì)節(jié)之處,把圖形想錯(cuò) 已知m、n為兩條不同的直線,α、β為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是________.(填序號(hào))

23、①m⊥α,m⊥n?n∥α; ②α∥β,m?α,n?β?m∥n; ③m∥n,m⊥α?n⊥α; ④m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β. [錯(cuò)解] 對①,想象為如下圖形,所以正確,填①. [錯(cuò)解分析] 空間想象能力差,考慮問題不全面而導(dǎo)致出錯(cuò). [正解] 對①,直線有可能在平面內(nèi),故錯(cuò);對②,只能說明直線m、n無公共點(diǎn),它們還有可能為異面直線,故錯(cuò); 對③,圖形如下, 所以正確,填③. 對④,平面α、β有可能相交,故錯(cuò). 3.推理不嚴(yán)密,邏輯思維混亂導(dǎo)致出錯(cuò) 如圖9-12,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).如圖,求證:平面PAC⊥平面PBC. 圖

24、9-12 [錯(cuò)解] 因?yàn)镻A垂直圓所在的平面,所以PA⊥AC.又因?yàn)锳B是圓的直徑,C是圓上的點(diǎn),所以BC⊥AC.所以平面PAC⊥平面PBC. [錯(cuò)解分析] 證明任何一種位置關(guān)系,應(yīng)緊扣相應(yīng)的判定定理,要證兩個(gè)平面垂直,必須證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另外一個(gè)平面的一條垂線.以上證明找到了PA⊥AC,BC⊥AC,但這并不能說明平面PAC⊥平面PBC. [正解] 由AB是圓的直徑可得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC. 又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC. 又因?yàn)锽C?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. ———————

25、專家預(yù)測·鞏固提升——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第43頁) 1.邊長為2 的正△ABC內(nèi)接于體積為4π的球,則球面上的點(diǎn)到△ABC的最大距離為________.  [設(shè)M是△ABC的外心,半徑為r,設(shè)球心為O,球體半徑為R, 則V=πR3=4π,即R=,在Rt△OMC中,2r=, 則r=,d===,dmax=d+R=+=.] 2.等邊三角形ABC的邊長為2,將它沿高AD翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為,此時(shí)四面體ABCD外接球體積為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394063】 圖9-13  [根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD,DC⊥DA,底面是直角三角形

26、,它的外接球就是它擴(kuò)展為正三棱柱的外接球,球心在上下底面斜邊的中點(diǎn)連線的中點(diǎn)處,求出上下底面斜邊的中點(diǎn)連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離,就是球的半徑, R=OB===,∴V=πR3=π.] 3.在邊長為6 cm的正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),M、N分別為AB、CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊,使B、C、D三點(diǎn)重合于B,構(gòu)成一個(gè)三棱錐(如圖9-14所示). (1)在三棱錐上標(biāo)注出M、N點(diǎn),并判別MN與平面 AEF的位置關(guān)系,并給出證明; (2)G是線段AB上一點(diǎn),且=λ·, 問是否存在 點(diǎn)G使得AB⊥平面EGF,若存在,求出λ的值; 若不存在,請說明理由; (3)求多面體E-AFNM的體積. 圖9-14 [解] (1)因翻折后B、C、D重合,所以MN應(yīng)是△ABF的一條中位線,如圖所示. 則MN//平面AEF. 證明如下: ?MN//平面AEF. 4分 (2)存在G點(diǎn)使得AB⊥平面EGF,此時(shí)λ=1. 因?yàn)?AB⊥平面EBF. 又G是線段AB上一點(diǎn),且=λ·, ∴ 當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)AB⊥平面EGF,此時(shí)λ=1. 8分 (3)因?yàn)锳B⊥平面BEF, 且AB=6,BE=BF=3, ∴VA-BEF=·AB·S△BEF=9, 又==, VE-AFNM=. 12分 14

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