（全國(guó)通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 系列4選講 第2講 不等式選講學(xué)案 文

第2講不等式選講考情考向分析本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍、不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問(wèn)題及基本不等式、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想熱點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的解法含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a.(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a.(3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解例1(2018·烏魯木齊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|2xa|5x，其中a>0.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)5x1的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值解(1)當(dāng)a3時(shí)，不等式f(x)5x1即為|2x3|5x5x1，1，解得x2或x1.不等式的解集為x|x1或x2(2)由f(x)0，得5x0，解得或又a>0，不等式的解集為，由題意得1，解得a3.思維升華(1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對(duì)值符號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合法可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問(wèn)題幾何化，既通俗易懂，又簡(jiǎn)潔直觀，是一種較好的方法跟蹤演練1(2018·河北省衡水金卷模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)若函數(shù)g(x)，若對(duì)于任意的x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)依題意，得f(x)由f(x)3，得或或解得1x1.即不等式f(x)3的解集為.(2)由(1)知，f(x)minf，g(x)|a1|，則|a1|，解得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.熱點(diǎn)二絕對(duì)值不等式恒成立(存在)問(wèn)題定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立例2(2018·江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)解不等式f(x)<2x10；(2)若不等式f(x)m|x2|有解，求m的取值范圍解(1)f(x)由f(x)<2x10，得或或得x.(2)若x2，顯然無(wú)解；若x2，則m，令g(x)1，m1.即m的取值范圍是1，)思維升華絕對(duì)值不等式的成立問(wèn)題的求解策略(1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為af(x)或af(x)的形式(2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無(wú)解f(x)maxa；f(x)<a無(wú)解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或絕對(duì)值不等式求最值(4)得結(jié)論跟蹤演練2(2018·上饒模擬)已知函數(shù)f(x)|3x1|3xk|，g(x)x4.(1)當(dāng)k3時(shí)，求不等式f(x)4的解集；(2)設(shè)k>1，且當(dāng)x時(shí)，都有f(x)g(x)，求k的取值范圍解(1)當(dāng)k3時(shí)，f(x)|3x1|3x3|故不等式f(x)4可化為或或解得x0或x，所求不等式的解集為.(2)當(dāng)x時(shí)，由k>1，得3x1<0,3xk0，f(x)1k，不等式f(x)g(x)可變形為1kx4，故kx3對(duì)x恒成立，即k3，解得k，又k>1，故1<k，k的取值范圍是.熱點(diǎn)三不等式的證明1含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.2算術(shù)幾何平均不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b為正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立例3(2018·山東省名校聯(lián)盟模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)若g(x)(xR)，求證：g(x)對(duì)aR，且a0恒成立(1)解依題意，得f(x)于是由f(x)3，得或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集為x|1x1(2)證明因?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)取等號(hào)，所以33，即33.又因?yàn)楫?dāng)xR時(shí)，3，當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)，等號(hào)成立故g(x)min3.所以g(x)對(duì)aR，且a0恒成立思維升華(1)作差法是證明不等式的常用方法作差法證明不等式的一般步驟：作差；分解因式；與0比較；結(jié)論關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力(2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧跟蹤演練3(2018·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)|3x1|3x1|，M為不等式f(x)<6的解集(1)求集合M；(2)若a，bM，求證：|ab1|>|ab|.(1)解f(x)|3x1|3x1|<6.當(dāng)x<時(shí)，f(x)3x13x16x，由6x<6，解得x>1，1<x<；當(dāng)x時(shí)，f(x)3x13x12，又2<6恒成立，x；當(dāng)x>時(shí)，f(x)3x13x16x，由6x<6，解得x<1，<x<1.綜上，f(x)<6的解集Mx|1<x<1(2)證明2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab)a2b2a2b21(a21)(b21)由a，bM，得|a|<1，|b|<1，a21<0，b21<0，(a21)(b21)>0，>|ab|.真題體驗(yàn)1(2017·全國(guó))已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x<1時(shí)，式化為x23x40，無(wú)解；當(dāng)1x1時(shí)，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x>1時(shí)，式化為x2x40，從而1<x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等價(jià)于當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)2.又f(x)在1,1上的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,12(2017·全國(guó))已知a>0，b>0，a3b32，證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)因此ab2.押題預(yù)測(cè)1已知函數(shù)f(x)|x2|2xa|，aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)4；(2)若x0，使f(x0)|x02|<3成立，求a的取值范圍押題依據(jù)不等式選講問(wèn)題中，聯(lián)系絕對(duì)值，關(guān)聯(lián)參數(shù)、體現(xiàn)不等式恒成立是考題的“亮點(diǎn)”所在，存在問(wèn)題、恒成立問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，備受命題者青睞解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x2|2x1|.由f(x)4，得|x2|2x1|4.當(dāng)x2時(shí)，不等式等價(jià)于x22x14，解得x，所以x2；當(dāng)<x<2時(shí)，不等式等價(jià)于2x2x14，解得x1，所以1x<2；當(dāng)x時(shí)，不等式等價(jià)于2x2x14，解得x1，所以x1.所以原不等式的解集為x|x1或x1(2)應(yīng)用絕對(duì)值不等式，可得f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|.(當(dāng)且僅當(dāng)(2x4)(2xa)0時(shí)等號(hào)成立)因?yàn)閤0，使f(x0)|x02|<3成立，所以(f(x)|x2|)min<3，所以|a4|<3，解得7<a<1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(7，1)2已知x，yR，xy4.(1)要使不等式|a2|a1|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：x22y2，并指出等號(hào)成立的條件押題依據(jù)不等式選講涉及絕對(duì)值不等式的解法，包含參數(shù)是命題的顯著特點(diǎn)本題將二元函數(shù)最值、解絕對(duì)值不等式、不等式證明綜合為一體，意在檢測(cè)考生理解題意、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，具有一定的訓(xùn)練價(jià)值解(1)因?yàn)閤，yR，xy4，所以1.由基本不等式，得1，當(dāng)且僅當(dāng)xy2時(shí)取等號(hào)要使不等式|a2|a1|恒成立，只需不等式|a2|a1|1成立即可構(gòu)造函數(shù)f(a)|a2|a1|，則等價(jià)于解不等式f(a)1.因?yàn)閒(a)所以解不等式f(a)1，得a0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0(2)因?yàn)閤，yR，xy4，所以y4x(0<x<4)，于是x22y2x22(4x)23x216x3232，當(dāng)x，y時(shí)等號(hào)成立A組專(zhuān)題通關(guān)1(2018·全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫(huà)出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)axb恒成立，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線(xiàn)斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時(shí)，f(x)axb在0，)上恒成立，因此ab的最小值為5.2(2018·全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)可得f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價(jià)于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，當(dāng)且僅當(dāng)xa與2x同號(hào)時(shí)等號(hào)成立故f(x)1等價(jià)于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，)3(2018·濰坊模擬)已知f(x)|x1|.(1)若f(x)2，求m的取值范圍；(2)已知m>1，若x(1,1)，使f(x)x2mx3成立，求m的取值范圍解(1)f(x)|x1|，由f(x)2，得2，m12或m12，m的取值范圍是m|m1或m3(2)m>1，當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)m1，不等式f(x)x2mx3，即m1x2mx3，m(1x)x22，即m.令g(x)(1x)2.0<1x<2，(1x)2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”)g(x)min22，m22.即m的取值范圍是22，)4(2018·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)解不等式f(x)x>0；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)2a25a的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)不等式f(x)x>0可化為|x1|x>|x2|，當(dāng)x<2時(shí)，(x1)x>(x2)，解得x>3，即3<x<2；當(dāng)2x<1時(shí)，(x1)x>x2，解得x<1，即2x<1；當(dāng)x1時(shí)，x1x>x2，解得x>3，即x>3.綜上所述，不等式f(x)x>0的解集為x|3<x<1或x>3(2)由不等式f(x)2a25a，可得|x1|x2|2a25a.|x1|x2|3，2a25a3，即2a25a30，解得a或a3.實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，)5(2018·遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體模擬)已知函數(shù)f(x)(a>0)(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)>3的解集；(2)證明：f(m)f4.(1)解當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|，原不等式等價(jià)于或或解得x<或x>.所以不等式的解集為.(2)證明f(m)f|ma|224(當(dāng)且僅當(dāng)m±1且a1時(shí)等號(hào)成立)B組能力提高6(2018·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)|3x1|2x1|a.(1)求不等式f(x)>a的解集；(2)若恰好存在4個(gè)不同的整數(shù)n，使得f(n)<0，求a的取值范圍解(1)由f(x)>a，得|3x1|>|2x1|，不等式兩邊同時(shí)平方，得9x26x1>4x24x1，即5x2>10x，解得x<0或x>2.所以不等式f(x)>a的解集為(，0)(2，)(2)設(shè)g(x)|3x1|2x1|作出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示，因?yàn)間(0)g(2)0，g(3)<g(4)2<g(1)3，又恰好存在4個(gè)不同的整數(shù)n，使得f(n)<0，所以即故a的取值范圍為.7(2018·百校聯(lián)盟TOP20聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2|x2|.(1)解不等式f(x)>2|x|；(2)若f(x)a22b23c2對(duì)任意xR恒成立，求證：ac2bc.(1)解由f(x)>2|x|，得x2|x2|>2|x|，即或或解得x>2或0<x<1或x0，即x>2或x<1.所以不等式f(x)>2|x|的解集為(，1)(2，)(2)證明當(dāng)x2時(shí)，f(x)x2x222224；當(dāng)x<2時(shí)，f(x)x2x22，所以f(x)的最小值為.因?yàn)閒(x)a22b23c2對(duì)任意xR恒成立，所以a22b23c2，又a22b23c2a2c22(b2c2)2ac4bc，所以ac2bc.(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立)8設(shè)函數(shù)f(x)|x|x|.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)；(2)若對(duì)任意a0,1，不等式f(x)b的解集不為空集，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)等價(jià)于|x1|x|.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x1x，無(wú)解；當(dāng)1<x<0時(shí)，不等式化為x1x，解得x<0；當(dāng)x0時(shí)，不等式化為x1x，解得x0.綜上所述，不等式f(x)的解集為.(2)不等式f(x)b的解集不為空集，bf(x)max，a0,1，f(x)|x|x|xx|，f(x)max.對(duì)任意a0,1，不等式f(x)b的解集不為空集，bmin，令g(a)，g2(a)12·1212.當(dāng)a時(shí)，g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a時(shí)，g(a)單調(diào)遞減，當(dāng)且僅當(dāng)a0或a1時(shí)，g(a)min1，b的取值范圍為(，114