（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機變量的均值與方差教學(xué)案

《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機變量的均值與方差教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機變量的均值與方差教學(xué)案（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講　離散型隨機變量的均值與方差 1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． (2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差． 2．均值與方差的性質(zhì) (a，b為常數(shù))． 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 X X服從兩點

2、分布 X～B(n，p) E(X) p(p為成功概率) np D(X) p(1－p) np(1－p) [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定．(　　) (2)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越?。?　　) (3)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× [教材衍化] 1．(選修2-3P68A組T1改編)已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2

3、X＋3，則E(Y)＝________． 解析：E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 答案： 2．(選修2-3P68A組T5改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________． 解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，

4、因為E(Y)

5、則Y的數(shù)學(xué)期望為________． 解析：由題意知Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B，則E(Y)＝3×＝2. 答案：2 　　　　　　離散型隨機變量的均值、方差的求解(高頻考點) 離散型隨機變量的均值、方差的求解，比較大小，求實際問題中的均值、方差是浙江新高考的熱點．主要命題角度有： (1)直接求均值、方差； (2)兩個隨機變量的均值、方差大小比較； (3)實際問題中的均值、方差的求解． 角度一　直接求均值、方差 (1)(2019·高考浙江卷)設(shè)0

6、．D(X)增大 B．D(X)減小 C．D(X)先增大后減小 D．D(X)先減小后增大 (2)隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝____________． 【解析】　(1)由題意可得，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大．故選D. (2)設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 則解得 所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝. 【答案】　(1)D　(2) 角度二　兩個隨機變量的均值、方差大小比較 已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1

7、＜p2＜，則(　　) A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) 【解析】　根據(jù)題意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因為0

8、一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色之外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)． (1)求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率，②獲獎的概率； (2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．　 【解】　(1)①設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0，1，2，3)，則P(A3)＝·＝. ②設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3. 又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥， 所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. (2)由題

9、意可知X的所有可能取值為0，1，2， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝C＝； P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 求方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是求分布列，只要有了分布列，就可以依據(jù)定義求數(shù)學(xué)期望，進而求出方差、標(biāo)準(zhǔn)差，同時還要注意隨機變量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．　 　某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為________． 解析：記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則Y～B(1 000，0.

10、1)， 所以E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200. 答案：200 　　　　　　均值、方差的應(yīng)用(高頻考點) 本考點屬于均值、方差的簡單應(yīng)用．主要命題角度有： (1)已知均值、方差求參數(shù)； (2)已知均值、方差求最值問題． 角度一　已知均值、方差求參數(shù) (1)(2020·杭州高三質(zhì)檢)體育課的排球發(fā)球項目的考試規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止，設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為m(m≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則m的取值范圍是(　　) A.　　　 　

11、　　　 B. C. D. (2)(2020·臺州市書生中學(xué)高三期中)若X是離散型隨機變量，P(X＝a)＝，P(X＝b)＝，且a＜b，又已知E(X)＝，D(X)＝，則a＋b的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)X的可能取值為1，2，3，因為P(X＝1)＝m，P(X＝2)＝(1－m)m，P(X＝3)＝(1－m)2，所以E(X)＝m＋2m(1－m)＋3(1－m)2＝m2－3m＋3，由E(X)＞1.75，即m2－3m＋3＞1.75，解得m＜或m＞(舍去)，所以0＜m＜. (2)由E(X)＝，D(X)＝得 ， 解方程組可得a＋b＝3. 【答案】　(

12、1)C　(2)C 角度二　已知均值、方差求最值問題 (1)一個射箭運動員在練習(xí)時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記，該運動員在練習(xí)時射中10環(huán)的概率為a，射中9環(huán)的概率為b，即未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a，b，c∈[0，1))，如果已知該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當(dāng)＋取最小值時，c的值為(　　) A. B. C. D．0 (2)A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5% 10% P 0.8 0.2 　 　 X2 2% 8% 12% P 0.2

13、0.5 0.3 ①在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)； ②將x(0≤x≤100)萬元投資項目A，100－x萬元投資項目B，f(x)表示投資項目A所得利潤的方差與投資項目B所得利潤方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值． 【解】　(1)選A.由該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝9b時，＋取得最小值，解得此時c＝1－a－b＝1－－＝. (2)①由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為 Y1 5 10 P 0.8 0.2

14、 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4. E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. ②由題意，得f(x)＝D＋D＝ D(Y1)＋ D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋30 000)＝[4(x－75)2＋7 500]． 所以當(dāng)x＝75時，f(x)取得最小值3. (1)已知均值、方差求參數(shù)的思路 依據(jù)均值、方差的計算公式列方程(方

15、程組)或不等式，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解． (2)已知均值(方差)求最值問題的一般思路 ①構(gòu)造函數(shù)求最值． ②構(gòu)造基本不等式求最值．　 1．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0，1))．已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由題意知該運動員投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥2，所以2≤2，即ab≤. 2．(2020·嘉興市高考模擬)已知隨機變量ξ的分布列如下： ξ 0

16、1 2 P b a2 － 則E(ξ)的最小值為________，此時b＝________． 解析：由題意可得：b＋a2＋－＝1，即b＋a2－＝，b∈[0，1]，a∈[－1，1]．E(ξ)＝0＋a2＋2(－)＝a2－a＋1＝(a－)2＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝時取等號，此時b＝. 答案：　 　　　　　　均值與方差的實際應(yīng)用 (2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)學(xué)校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能

17、完成；考生乙每題正確完成的概率都為，且每題正確完成與否互不影響． (1)求考生甲正確完成題目個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)用統(tǒng)計學(xué)知識分析比較甲、乙兩考生哪位實驗操作能力強及哪位通過考查的可能性大？ 【解】　(1)由題意知X的可能取值為1，2，3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以，考生甲正確完成題目數(shù)的分布列為 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. (2)設(shè)考生乙正確完成實驗操作的題目個數(shù)為Y， 因為Y～B，其分布列為：P(Y＝k)＝C·，k＝0，1，2，3，所以E(Y)＝3×＝2. 又因為D(X

18、)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝3××＝， 所以D(X)＜D(Y)． 又因為P(X≥2)＝＋＝0.8，P(Y≥2)＝＋≈0.74，所以P(X≥2)＞P(Y≥2)． ①從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望來看，兩人水平相當(dāng)；從做對題數(shù)的方差來看，甲較穩(wěn)定； ②從至少完成2道題的概率來看，甲獲得通過的可能性較大，因此，可以判斷甲的實驗操作能力強． 均值與方差的實際應(yīng)用 (1)D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度． (2)隨

19、機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．　 　甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，射擊次數(shù)相同，已知兩名運動員擊中的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，他們比賽成績的統(tǒng)計結(jié)果如下： 環(huán)數(shù)擊中頻率選手 7 8 9 10 甲 0.2 0.15 0.3 乙 0.2 0.2 0.35 請你根據(jù)上述信息，解決下列問題： (1)估計甲、乙兩名射擊運動員擊中的環(huán)數(shù)都不少于9環(huán)的概率； (2)若從甲、乙運動員

20、中只能挑選一名參加某大型比賽，請你從隨機變量均值意義的角度，談?wù)勛屨l參加比較合適？ 解：(1)記甲運動員擊中n環(huán)為事件An(n＝7，8，9，10)；乙運動員擊中n環(huán)為事件Bn(n＝7，8，9，10)，甲運動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件A9∪A10，乙運動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件B9∪B10，根據(jù)已知事件A9與事件A10互斥，事件B9與事件B10互斥，事件A9∪A10與B9∪B10相互獨立，則P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65， P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55. 所以甲、乙兩名射擊運動員擊中的環(huán)數(shù)都不少

21、于9環(huán)的概率等于0.65×0.55＝0.357 5. (2)設(shè)甲、乙兩名射擊運動員擊中的環(huán)數(shù)分別為隨機變量X、Y，根據(jù)已知得X、Y的可能取值為7，8，9，10. 甲運動員射擊環(huán)數(shù)X的分布列為 X 7 8 9 10 P 0.2 0.15 0.3 0.35 甲運動員射擊環(huán)數(shù)X的均值 E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8. 乙運動員射擊環(huán)數(shù)Y的概率分布列為 Y 7 8 9 10 P 0.2 0.25 0.2 0.35 乙運動員射擊環(huán)數(shù)Y的均值 E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7

22、. 因為E(X)>E(Y)， 所以從隨機變量均值意義的角度看，選甲去比較合適． 核心素養(yǎng)系列22　數(shù)據(jù)分析——利用期望與方差進行決策 　某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買．則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時

23、購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一．應(yīng)選用哪個？ 【解】　(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得， 一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2. 可知X的所有可能取值為16，17，18，19，20，21，22， P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.

24、2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當(dāng)n＝19時， E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200

25、＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 當(dāng)n＝20時， E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知當(dāng)n＝19時所需費用的期望值小于n＝20時所需費用的期望值，故應(yīng)選n＝19. 利用期望與方差進行決策的方法 (1)若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量ξ1，ξ2的期望，當(dāng)E(ξ1)＝E(ξ2)時，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度，偏離程度小的更好． (2)若我們希望

26、比較穩(wěn)定時，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近． (3)若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時，一般先計算期望，若相等，則由方差來確定哪一個更好．若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近，且期望較大者的方差較小，顯然該變量更好；若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時，應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定．　 [基礎(chǔ)題組練] 1．若隨機變量X的分布列為 X C P 1 ，其中C為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0 C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C

27、 解析：選B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故選B. 2．(2020·稽陽市聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)隨機變量ξ的分布列如下，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為(　　) ξ 1 2 3 P a b c A.0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．無法確定，與a，b有關(guān) 解析：選B.因為E(ξ)＝2，則a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，聯(lián)立兩式可得a＝c，2a＋b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1. 3．(2018·高考浙江卷)設(shè)0

28、p在(0，1)內(nèi)增大時，(　　) A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小 解析：選D.由題可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－＋，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時，D(ξ)先增大后減?。蔬xD. 4．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，則D(X)等于(　　) A．5 B．8 C．10 D．16 解析：選B.因為E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， 所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 5．設(shè)擲1枚骰子的點數(shù)為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝3

29、.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 解析：選B.隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5， D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝. 6．如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(

30、　　) A. B. C. D. 解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 7．(2020·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P p A.2 B．3 C．4 D．5 解析：選C.由題意可得，＋p＋＝1，解得p＝，因為E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D

31、(X)＝4.故選C. 8．(2020·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25. 9．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為(　　) A. B. C. D

32、. 解析：選B.因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則X～B，所以D(X)＝4××＝. 10．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1，2)個球放入甲盒中． (1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1，2)； (2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)，則(　　) A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．

33、p10，所以p1>p2. 11．某射擊運動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為____________． 解析：由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1

34、＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2. 答案：0.2 12．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，則a的值為__________． 解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，所以a＝2. 答案：2 13．設(shè)口袋中有黑球、白球共9個．從中任取2個球，若取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則口袋中白球的個數(shù)為________． 解析：設(shè)白球有m個，則取得白球的數(shù)學(xué)期望是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝， 解得m＝3. 答案：3 14．隨機變量ξ的分布列如下表： ξ －1

35、 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________． 解析：由題意可得 解得 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝. 答案： 15．已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 P 那么ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________，設(shè)η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝________． 解析：由離散型隨機變量的期望公式及性質(zhì)可得， E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－， E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝. 答案：－　 16．(2020·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué)，

36、4名女同學(xué)，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為________，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為________． 解析：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A，則P(A)＝＝. 隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝. 答案：　 17．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同

37、取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________． 解析：①從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC＝48. ②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0＋1×＋2×＝. 答案：48　 [綜合題組練] 1．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y

38、)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2， 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 所以或 2．設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球

39、，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 解：(1)由題意得ξ＝2，3，4，5，6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列

40、為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝， 化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2. (1)求C1，C2有交點的概率P(A)； (2)求交點個數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解：(1)設(shè)圓心(0，0)到直線ax－y＋b＝0的距離為d，若C1，C2有交點，則d＝≤?b2≤2(a2＋1)． 當(dāng)b＝1時，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝2時，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝3時，a＝2，3，4，5；當(dāng)b＝4時，a＝3，4，5

41、；當(dāng)b＝5時，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19種情況， 所以P(A)＝＝. (2)當(dāng)交點個數(shù)為0時，直線與圓相離，有6種情況； 當(dāng)交點個數(shù)為1時，直線與圓相切，b2＝2(a2＋1)，只有a＝1，b＝2這1種情況； 當(dāng)交點個數(shù)為2時，由(1)知直線與圓相交，有18種情況． 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．(2020·溫州八校聯(lián)考)某公司準(zhǔn)備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項目供選擇．若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示： ξ1 110 120 170 P m 0.4 n 且ξ1的期望E(ξ1)＝

42、120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進行產(chǎn)品的價格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且調(diào)整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p .若乙項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與ξ2的關(guān)系如下表所示： X 0 1 2 ξ2 41.2 117.6 204 (1)求m，n的值； (2)求ξ2的分布列； (3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，則選擇投資乙項目，求此時p的取值范圍． 解：(1)由題意得 解得m＝0.5，n＝0.1. (2)ξ2的可能取值為41.2，117.6，204， P(ξ2＝41

43、.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)， P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)， 所以ξ2的分布列為 ξ2 41.2 117.6 204 P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p) (3)由(2)可得： E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6， 由E(ξ1)＜E(ξ2)， 得120＜－10p2＋10p＋117.6， 解得0.4＜p＜0.6， 即當(dāng)選擇投資乙項目時，p的取值范圍是(0.4，0.6)． 21