（江蘇專版）2018年高考數(shù)學二輪復習 第1部分 知識專題突破 專題7 不等式學案

專題七不等式命題觀察·高考定位(對應學生用書第28頁)1(2016·江蘇高考)已知實數(shù)x，y滿足則x2y2的取值范圍是_根據(jù)已知的不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示，則(x，y)為陰影區(qū)域內(nèi)的動點d可以看做坐標原點O與可行域內(nèi)的點(x，y)之間的距離數(shù)形結(jié)合，知d的最大值是OA的長，d的最小值是點O到直線2xy20的距離由可得A(2,3)，所以dmax，dmin.所以d2的最小值為，最大值為13.所以x2y2的取值范圍是.2(2015·江蘇高考)不等式2x2x4的解集為_x|1x22x2x4，2x2x22，x2x2，即x2x20，1x2.3(2014·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f (x)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_. 【導學號：56394045】作出二次函數(shù)f (x)的圖象，對于任意xm，m1，都有f (x)<0，則有即解得<m<0.所以實數(shù)a的取值范圍為.命題規(guī)律在近年來的高考數(shù)學中，有關(guān)不等式的試題都占有較大的比重. 不僅考查有關(guān)不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，而且注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的能力. 在題型上，填空題主要考查不等式的性質(zhì)、解簡單不等式、簡單線性規(guī)劃的應用、絕對值不等式、簡單轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍、比較大小等；解答題主要考查基本不等式的應用、含參不等式的解法、求恒成立中的參數(shù)范圍、證明不等式、最值型綜合題以及實際應用題等. 試題常常是寓不等式的證明、解不等式、求參數(shù)范圍于函數(shù)、數(shù)列、復數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何、實際應用等問題之中， 知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高， 是高考數(shù)學思想、數(shù)學方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地. 從近幾年數(shù)學試題得到啟示：涉及不等式解法的題目，往往較為容易；對簡單線性規(guī)劃的應用的考查，不但具有連續(xù)性，而且其題型規(guī)律易于把握；對基本不等式的考查，較多的寓于綜合題目之中通過第二輪的專題復習，應注意在鞏固基礎(chǔ)知識、基本方法的基礎(chǔ)上，強化記憶，熟化常見題型的解法，提升綜合應用不等式解題的能力主干整合·歸納拓展(對應學生用書第28頁)第1步 核心知識再整合1在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負數(shù)來證明不等式，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握2解不等式的過程，實質(zhì)上是不等式等價轉(zhuǎn)化的過程因此在學習中理解保持同解變形是解不等式應遵循的基本原則轉(zhuǎn)化的方法是： 超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式其中準確熟練求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基礎(chǔ)，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想3對于公式ab2，ab2，要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系4在應用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤5平面區(qū)域的確定方法是“直線定界，特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集確定平面區(qū)域中單個變量的范圍、整點個數(shù)等，只需把區(qū)域畫出來，結(jié)合圖形通過計算解決線性目標函數(shù)zaxby中的z不是直線axbyz在y軸上的截距，把目標函數(shù)化為yx可知是直線axbyz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值6含有絕對值的不等式常用的方法是：(1)由定義分段討論；(2)利用絕對值不等式的性質(zhì)；(3)平方；(4)利用絕對值的幾何意義第2步 高頻考點細突破簡單線性規(guī)劃的應用【例1】(江蘇省泰州中學2017屆高三摸底考試)已知實數(shù)x，y滿足 若不等式a(x2y2)(xy)2恒成立，則實數(shù)a的最小值是_解析可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部(圖略)，其中A(2,4)，B(1,4)，C，因此kOA，kOB2,4，因為在2,4上單調(diào)遞增，所以，不等式a(x2y2)(xy)2恒成立等價于amaxmaxamin.答案規(guī)律方法這是簡單線性規(guī)劃的應用的基本題型基本思路是：畫、移、解、代技巧是：往往在“角點”處取得最值，直接代入點的坐標即可，關(guān)鍵點是理解目標函數(shù)的幾何意義舉一反三(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學一模)若實數(shù)x，y滿足則z3x2y的最大值為_7作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：(陰影部分)由z3x2y得yxz，平移直線yxz，由圖象可知當直線yxz經(jīng)過點A時，直線yxz的截距最大，此時z最大由解得A(1,2)，代入目標函數(shù)z3x2y得z3×12×27.即目標函數(shù)z3x2y的最大值為7.簡單線性規(guī)劃“逆向”問題，確定參數(shù)的取值(范圍)【例2】(無錫市普通高中2017屆高三上學期期中基礎(chǔ)性檢測)已知x，y滿足 ，若z3xy的最大值為M，最小值為m，且Mm0，則實數(shù)a的值為_解析畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，結(jié)合圖形可以看出當動直線y3xz經(jīng)過點A(a，a)和B(1,1)時，z3xy分別取最小值m4a和最大值m4，由題設可得4a40，所以a1.答案1規(guī)律方法嘗試畫出“可行域”，通過平移直線確認“最優(yōu)解”，建立參數(shù)的方程舉一反三實數(shù)x，y滿足 如果目標函數(shù)zxy的最小值為2，則實數(shù)m的值為_. 【導學號：56394046】8如圖，約束條件表示的可行域應該是ABC內(nèi)部(含邊界)(否則可行域不存在)，作直線l：xy0，當把直線l向上平移時，z減小，因此其最小值點是直線y2x1與直線xym的交點，由得B(3,5)，代入xym得m8.基本不等式的應用【例3】(20162017學年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)若函數(shù)ytan ，則函數(shù)y的最小值為_解析，tan >0.ytan tan tan 22，當且僅當tan 1時取等號因此y的最小值為2.答案2規(guī)律方法應用基本不等式，應注意“一正、二定、三相等”，缺一不可靈活的通過“拆、湊、代(換)”，創(chuàng)造應用不等式的條件，是解答此類問題的技巧；忽視等號成立的條件，是常見錯誤之一舉一反三(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)已知正數(shù)a，b滿足5，則ab的最小值為_36552()25606ab36，當且僅當b9a時取等號，因此ab的最小值為36.不等式的綜合應用【例4】(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測)已知二次函數(shù)f (x)mx22x3，關(guān)于實數(shù)x的不等式f (x)0的解集為.(1)當a>0時，解關(guān)于x的不等式：ax2n1>(m1)x2ax；(2)是否存在實數(shù)a(0,1)，使得關(guān)于x的函數(shù)yf (ax)3ax1(x1,2)的最小值為5？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，說明理由解(1)由不等式mx22x30的解集為知，關(guān)于x的方程mx22x30的兩根為1和n，且m>0，由根與系數(shù)關(guān)系，得 所以原不等式化為(x2)(ax2)>0，當0<a<1時，原不等式化為(x2)>0，且2<，解得x>或x<2；當a1時，原不等式化為(x2)2>0，解得xR且x2；當a>1時，原不等式化為(x2)>0，且2>，解得x<或x>2；綜上所述：當0<a1時，原不等式的解集為；當a1時，原不等式的解集為x|xR且x2；當a>1時，原不等式的解集為.(2)假設存在滿足條件的實數(shù)a，由(1)得：m1，f (x)x22x3，yf (ax)3ax1a2x(3a2)ax3.令axt(a2ta)，則yt2(3a2)t3(a2ta)，對稱軸t，因為a(0,1)，所以a2<a<1,1<<，所以函數(shù)yt2(3a2)t3在上單調(diào)遞減，所以當ta時，y的最小值為y2a22a35，解得a.規(guī)律方法應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、證明不等式，解題格式明確、規(guī)范，基本思路清晰，能使問題解決的領(lǐng)域更寬廣解題過程中，注意應用轉(zhuǎn)化與化歸思想，化生為熟、化難為易、化繁為簡，是解決問題的基本方法舉一反三(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測文科)已知函數(shù)f (x)|x1|，g(x)x26x5(xR)(1)若g(x)f (x)，求x的取值范圍；(2)求g(x)f (x)的最大值. 【導學號：56394047】解(1)當x1時，f (x)x1，由g(x)f (x)，得x26x5x1，整理得(x1)(x4)0，所以x1,4；當x<1時，f (x)1x，由g(x)f (x)，得x26x51x，整理得(x1)(x6)0，所以x1,6，由 ，得x，綜上x的取值范圍是1,4(2)由(1)知，g(x)f (x)的最大值必在1,4上取到，所以g(x)f (x)x26x5(x1)2，所以當x時，g(x)f (x)取到最大值為.第3步 高考易錯明辨析1簡單線性規(guī)劃問題，擴大(縮小)可行域的范圍已知1xy2且2xy4求4x2y的范圍錯解由于1xy2，2xy4；得32x6，×(1)得02y3，×2×(1)得34x2y12.錯解分析可行域范圍擴大了正解線性約束條件是：令z4x2y，畫出可行域如圖所示，由 得A點坐標(1.5,0.5)，此時z4×1.52×0.55.由 得B點坐標(3,1)，此時z4×32×110.54x2y10.2簡單線性規(guī)劃問題，理解題意錯誤已知求x2y2的最值錯解不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界)，令zx2y2，由得A點坐標(4,1)，此時z x2y2421217，由得B點坐標(1，6)，此時z x2y2(1)2(6)237，由得C點坐標(3,2)，此時z x2y2(3)22213，當時，x2y2取得最大值37，當時，x2y2取得最小值13.錯解分析誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認為是求三點A，B，C到原點的距離的平方的最值正解不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界)，令zx2y2，則z即為點(x，y)到原點的距離的平方由得A點坐標(4,1)，此時zx2y2421217，由得B點坐標(1，6)，此時zx2y2(1)2(6)237，由得C點坐標(3,2)，此時zx2y2(3)22213，而在原點處，此時zx2y202020，當時，x2y2取得最大值37，當時，x2y2取得最小值0.3應用基本不等式，忽視等號成立的條件已知：a>0，b>0，ab1，求22的最小值錯解 22a2b242ab4448，所以，22的最小值是8.錯解分析上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2b22ab，第一次等號成立的條件是ab，第二次等號成立的條件是ab，顯然，這兩個條件是不能同時成立的因此，8不是最小值正解22a2b24(ab)22ab4(12ab)4，由ab2， 得12ab1， 且16, 117，原式×174 (當且僅當ab時，等號成立)，所以，22的最小值是.專家預測·鞏固提升(對應學生用書第31頁)1已知正實數(shù)x，y滿足x3y10，則xy的取值范圍為_設xyt，則y，所以10x3yxx2.即3t211t80，解之得1t.2已知函數(shù)的定義域是2，)且f (4)f (2)1, f (x)為f (x)的導函數(shù)，且f (x)的圖象如圖71所示，則不等式組 所圍成的平面區(qū)域的面積是_. 【導學號：56394048】圖714由導函數(shù)的圖象得到f (x)在2,0遞減；在0，)遞增，f (4)f (2)1，f (2xy)1，22xy4， 表示的平面區(qū)域如下：所以平面區(qū)域的面積為×2×44.3已知函數(shù)f (x)的定義域是3，)且f (6)2，f (x)為f (x)的導函數(shù)，f (x)的圖象如圖72所示，若正數(shù)a，b滿足f (2ab)<2，則的取值范圍是_圖72如圖所示：f (x)0在0，)上恒成立，函數(shù)f (x)在3,0)是減函數(shù)，(0，)上是增函數(shù)，又f (2ab)2f (6)， 畫出平面區(qū)域令t表示過定點(2，3)的直線的斜率，如圖所示：t.4已知x，y滿足約束條件則x24y2的最小值是_設x24y2z(z>0)1，這個橢圓與可行域有公共點，只需它與線段xy1(0x1)有公共點，把y1x代入橢圓方程得5x28x4z0，由判別式644×5(4z)0得z，且x0,1時，z.11