（浙江專(zhuān)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案

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1、 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念 概念 含義 數(shù)列 按照一定順序排列的一列數(shù) 數(shù)列的項(xiàng) 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù) 數(shù)列的通項(xiàng) 數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an 通項(xiàng)公式 數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和 2.數(shù)列的表示方法 列表法 列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系 圖象法 把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中 公式法 通項(xiàng)公式 把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法 遞推公式 使用初

2、始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法 3.an與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， 則an＝ 4．?dāng)?shù)列的分類(lèi) [小題體驗(yàn)] 1．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 答案：an＝2n－1(n∈N*) 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，則a5等于________． 答案： 3．(教材改編題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝3n－1，則an＝________. 答案：2×3n－1 1．?dāng)?shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)

3、數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)． 2．易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)． 3．在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形． [小題糾偏] 1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________． 答案：an＝ 2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋9n，則該數(shù)列第________項(xiàng)最大． 答案：4或5 [題組練透] 1．已知n∈N*，給出4個(gè)表

4、達(dá)式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項(xiàng)公式的是(　　) A．①②③　　　　　　　 B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析：選A　檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式． 2．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易錯(cuò)題)－，，－，，…； (3)－1,7，－13,19, …； (4)9,99,999,9 999，…. 解：(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝2(n＋1)，n∈N*. (2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇

5、數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝(－1)n×，n∈N*. (3)這個(gè)數(shù)列，去掉負(fù)號(hào)，可發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為6，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*. (4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫(xiě)成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝10n－1，n∈N*. [謹(jǐn)記通法] 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略 (1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀(guān)察分析，抓住以下幾方面的特征，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想，具體如下： ①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號(hào)特征等．

6、 (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是利用不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整．如“題組練透”第2(2)題． [典例引領(lǐng)] 已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝2n－an. 解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式， ∴an＝4n－5. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2－

7、a1，所以a1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n－an)－[2(n－1)－an－1]＝2－an＋an－1， 即an＝an－1＋1，轉(zhuǎn)化可得an－2＝(an－1－2)． 所以{an－2}是以首項(xiàng)為a1－2＝－1，公比為的等比數(shù)列， 所以an－2＝(－1)·n－1， 即an＝2－n－1. [由題悟法] 已知Sn求an的 3個(gè)步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式； (3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通

8、項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫(xiě)． [即時(shí)應(yīng)用] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an； (2)若an＞0，Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，求an. 解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也適合此式， 所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝

9、(a1＋1)(a1＋2)， 即a－3a1＋2＝0. 解得a1＝1或a1＝2.因?yàn)閍1＝S1＞1，所以a1＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)(an＋2)－(an－1＋1)(an－1＋2)，所以(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0. 因?yàn)閍n＞0，所以an＋an－1＞0， 所以an－an－1－3＝0， 所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列． 所以an＝3n－1. [鎖定考向] 遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接． 常見(jiàn)的命題角度有： (1)形如an

10、＋1＝anf(n)，求an； (2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an； (3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an 1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1. 以上(n－1)個(gè)式子相乘得 an＝a1···…·＝＝. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立． ∴an＝(n∈N*)． 角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an 2．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝

11、1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)． ∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿(mǎn)足此式， ∴an＝(n∈N*)． 角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 3．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3， ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·

12、3n－1， ∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)． [通法在握] 典型的遞推數(shù)列及處理方法 遞推式 方　法 示　例 an＋1＝an＋f(n) 疊加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 疊乘法 a1＝1，＝2n an＋1＝Aan＋B(A≠0,1，B≠0) 化為等比數(shù)列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 [演練沖關(guān)] 根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)a1＝，an＝an－1(n≥2)； (3)a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)． 解：(1)由題意知an＋1－an＝2n，

13、an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. (2)因?yàn)閍n＝an－1(n≥2)， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝， 所以＝，＝，…，＝，＝， 以上n－1個(gè)式子相乘得··…··＝··…··， 即＝××2×1，所以an＝. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝＝，與已知a1＝相符， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (3)因?yàn)閍n＝3an－1＋4(n≥2)， 所以(an＋2)＝3(an－1＋2)． 因?yàn)閍1＋2＝3，所以{an＋2}是首項(xiàng)與公比都為3的等比數(shù)列． 所以an＋2＝3n，即an＝3n－2. 一抓基礎(chǔ)，

14、多練小題做到眼疾手快 1．?dāng)?shù)列，，2，2，…，則2是該數(shù)列的(　　) A．第6項(xiàng)　　　　　　　　　 B．第7項(xiàng) C．第9項(xiàng) D．第10項(xiàng) 解析：選B　，，2，2，…可轉(zhuǎn)化為，，，，…，所以可知接下的項(xiàng)為，，＝2，所以2為第7項(xiàng)． 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－3 B．a(chǎn)n＝2n＋3 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 解析：選C　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1時(shí)a1的值不適合n≥2的解析式，故通項(xiàng)公式為選項(xiàng)C. 3．(2018·衢州模擬)已知數(shù)列{an

15、}滿(mǎn)足：a1＝1，an＋1＝ ，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由an＋1＝可得＝＝＋. 所以數(shù)列是以＝1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以＝，即an＝. 4．(2018·諸暨模擬)已知數(shù)列{an}中，對(duì)任意的p，q∈N*都滿(mǎn)足ap＋q＝apaq，若a1＝－1，則a9＝________. 解析：由題可得，因?yàn)閍1＝－1，令p＝q＝1，則a2＝a＝1；令p＝q＝2，則a4＝a＝1；令p＝q＝4，則a8＝a＝1，所以a9＝a8＋1＝a1a8＝－1. 答案：－1 5．(2018·金華模擬)在數(shù)列{an}中，an＝(n∈N*)，則該數(shù)列的

16、最大項(xiàng)為_(kāi)_______；最小項(xiàng)為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閍n＝＝1－，所以可知當(dāng)n＜50時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)n＞50時(shí)，數(shù)列{an}也是遞增的．對(duì)比函數(shù)y＝1－的圖象可知，當(dāng)n＝49時(shí)，數(shù)列{an}取到最大項(xiàng)，最大值為11；當(dāng)n＝51時(shí)，數(shù)列取到最小項(xiàng)，最小值為－9. 答案：11　－9 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于(　　) A. B．cos C．cosπ D．cosπ 解析：選D　令n＝1,2,3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確． 2．(2018·江山模擬)已知數(shù)列{an}的前

17、n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝(　　) A．－16 B．16 C．31 D．32 解析：選B　 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1－1，所以a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－1，所以有＝2，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為an＝2n－1，所以a5＝24＝16. 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，則此數(shù)列是(　　) A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 解析：選C　因?yàn)镾n＋Sn＋1＝an＋1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋Sn＝an

18、，兩式相減，得an＋an＋1＝an＋1－an，所以有an＝0.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋a1＋a2＝a2，所以a1＝0.所以an＝0.即數(shù)列是常數(shù)列． 4．(2018·浦江模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1a2a3…an＝n2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2 B．a(chǎn)n＝2 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 解析：選C　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，a1a2a3…an－1＝(n－1)2， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝＝2. 所以an＝ 5．(2018·麗水模擬)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＝若a1＝，則a2 018＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由a1＝∈，得a

19、2＝2a1－1＝∈，所以a3＝2a2＝∈，所以a4＝2a3＝∈，所以a5＝2a4－1＝＝a1.由此可知，該數(shù)列是一個(gè)周期為4的周期數(shù)列，所以a2 018＝a504×4＋2＝a2＝. 6．在數(shù)列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第____________項(xiàng)． 解析：令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0， 即(2n－5)(n－10)＝0. 解得n＝10或n＝(舍去)． 答案：10 7．(2018·海寧模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＋an＝2n－1，則該數(shù)列的前8項(xiàng)和為_(kāi)_______． 解析：S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝1＋5＋9＋13＝28.

20、 答案：28 8．在一個(gè)數(shù)列中，如果對(duì)任意的n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案：28 9．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足Sn＝a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：

21、(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2； 同理，a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an，① 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝a＋an－1，② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n. 10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值； (2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>a

22、n，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：(1)由n2－5n＋4<0， 解得1an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3. 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·2n＋1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(

23、如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． a1 a2　a3 a4　a5　a6 …… 解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行、第3個(gè)數(shù)為數(shù)列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48項(xiàng)，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故該數(shù)陣第10行、第3個(gè)數(shù)為97. 答案：97 2．(2018·溫州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx4(0

24、(n∈N*) ， 所以f(2an)＝log22an－log2an4＝an－＝2n， 且0<2an<1， 解得an<0. 所以an＝n－. (2)因?yàn)椋剑?1. 因?yàn)閍n<0，所以an＋1>an. 故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列． 第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 1．等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示． (2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝

25、a1＋(n－1)d. (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝. 3．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． [小題體驗(yàn)] 1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋

26、a7＝25，則a2＋a8＝________. 答案：10 2．(2018·溫州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝5，a5＝3，則an＝________；S7＝________. 答案：－n＋8　28 3．(教材習(xí)題改編)已知等差數(shù)列5,4，3，…，則前n項(xiàng)和Sn＝________. 答案：(75n－5n2) 1．要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”．如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列． 2．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件． [小題糾偏] 1．

27、首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，則公差d的取值范圍是(　　) A．(－3，＋∞)　　　　　　　 B. C. D. 答案：D 2．(2018·湖州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝16，a6＝10，則公差d＝________；Sn取到最大時(shí)的n的值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3＝16，a6＝10，所以公差d＝＝－2，所以an＝－2n＋22，要使Sn能夠取到最大值，則需an＝－2n＋22≥0，所以解得n≤11.所以可知使得Sn取到最大時(shí)的n的值為10或11. 答案：－2　10或11 [題組練透] 1．(20

28、17·嘉興二模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選A　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且＝，所以10a1＝4a1＋6d，所以a1＝d.所以＝＝＝. 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，若ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，則k＝(　　) A．5 B．6 C．9 D．11 解析：選C　因?yàn)閍k是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)， 所以a＝a6ak＋6. 又等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d， 所以[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)

29、d]， 所以(k－3)2＝3(k＋3)， 解得k＝9或k＝0(舍去)，故選C. 3．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a7＝2a5，則數(shù)列{an}中第________項(xiàng)的值與4a5的值相等． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，則a1＝－2d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故數(shù)列{an}中第11項(xiàng)的值與4a5的值相等． 答案：11 4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1

30、， 公差為d， 由已知，得 解得 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72. 答案：－72 [謹(jǐn)記通法] 等差數(shù)列基本運(yùn)算的方法策略 (1)等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”．解決這些問(wèn)題一般設(shè)基本量a1，d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式列方程(組)求解，體現(xiàn)方程思想． (2)如果已知等差數(shù)列中有幾項(xiàng)的和是常數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，一般是等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式Sn＝結(jié)合使用，體現(xiàn)整體代入的思想． [典例引領(lǐng)] (2018·舟山模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝(n∈N*)． (1)

31、求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由． 解：(1)證明：b1＝＝－， 當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－＝－＝＝1. 所以數(shù)列{bn}是以首項(xiàng)為－，1為公差的等差數(shù)列． (2)因?yàn)閎1＝－，公差d＝1； 所以bn＝－＋n－1＝n－＝. 所以an＝＋1. 所以當(dāng)n＝3時(shí)，(an)min＝a3＝－1； 當(dāng)n＝4時(shí)，(an)max＝a4＝3. [由題悟法] 等差數(shù)列的判定與證明方法 方　法 解　讀 適合題型 定義法 對(duì)于任意自然數(shù)n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答

32、題中證明問(wèn)題 等差中項(xiàng)法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問(wèn)題 前n項(xiàng)和公式法 驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 [即時(shí)應(yīng)用] 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足關(guān)系式bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：∵bn＝，且an＝， ∴bn＋1＝＝＝2＋， ∴bn＋1

33、－bn＝2＋－＝2. 又b1＝＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為 bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 又bn＝，∴an＝＝. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. [典例引領(lǐng)] 1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8＝(　　) A．18　　　　　　　　　 B．12 C．9 D．6 解析：選D　由題意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6. 2．(2018·嘉興一中模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n

34、項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則滿(mǎn)足an>0的最大n的值為_(kāi)_____，滿(mǎn)足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝______. 解析：由題可得a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，所以使得an>0的最大n的值為6.又a6＋a7＝S7－S5>0，則S11＝＝11a6>0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，S13＝＝13a7<0，因?yàn)閧an}是遞減的等差數(shù)列，所以滿(mǎn)足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝12. 答案：6　12 [由題悟法] 1．等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線(xiàn)的斜率等于等

35、差數(shù)列的公差． (2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)鄰項(xiàng)變號(hào)法： ①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2018·浙江新高考聯(lián)盟)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝，則＝(　　) A.

36、 B. C. D. 解析：選A　因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列，因?yàn)椋剑圆环猎O(shè)S4＝1，則S8＝3，所以S8－S4＝2，所以S16＝1＋2＋3＋4＝10，所以＝. 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______． 解析：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36

37、， 又Sn＝＝324， ∴18n＝324，∴n＝18. 答案：18 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．(2018·杭州模擬)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，a3＝a－4.則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－1　　　　　　　 B．a(chǎn)n＝－2n＋3 C．a(chǎn)n＝2n－1或－2n＋3 D．a(chǎn)n＝2n 解析：選A　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3＝a－4可得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝±2.因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以d>0，故d＝2.所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5＝6，則S9為(　　)

38、 A．45 B．54 C．63 D．27 解析：選B　法一：∵S9＝＝9a5＝9×6＝54.故選B. 法二：由a5＝6，得a1＋4d＝6， ∴S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝9×6＝54，故選B. 3．(2018·溫州十校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a5等于(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：選B　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1＝2，S3＝12，所以S3＝3a1＋3d＝6＋3d＝12，解得d＝2.所以a5＝2＋4d＝10. 4．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1

39、＝SnSn＋1，則Sn＝________. 解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 答案：－ 5．等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_(kāi)_______． 解析：∵∴ ∴Sn的最大值為S5. 答案：S5 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝，S4＝20，則S6＝(　　) A．16 B．

40、24 C．36 D．48 解析：選D　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由S4＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，解得d＝3，所以S6＝6a1＋15d＝3＋45＝48. 2．(2018·浙江五校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，a1＝0，等差d≠0，若ak＝a1＋a2＋…＋a7，則實(shí)數(shù)k＝(　　) A．22 B．23 C．24 D．25 解析：選A　因?yàn)閍1＝0，且ak＝a1＋a2＋…＋a7， 即(k－1)d＝21d，又因?yàn)閐≠0，所以k＝22. 3．(2018·河南六市一聯(lián))已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若{an}和{}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a6＝(　　) A. B.

41、 C. D．1 解析：選A　設(shè){an}的公差為d，由題意得，＝＝，又{an}和{}都是等差數(shù)列，且公差相同，∴解得 a6＝a1＋5d＝＋＝. 4．(2018·東陽(yáng)模擬)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選D　由＝，可得＝＝＝7＋，所以要使為整數(shù)，則需為整數(shù)，所以n＝1,2,3,5,11，共5個(gè)． 5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)

42、公式為(　　) A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1 C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1 解析：選B　設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝. 所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. 6．(2018·金華十校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝______

43、__. 解析：設(shè)公差為d，則2＋d＝1＋2d，所以d＝1.所以a2＝1＋1＝2；Sn＝n＋＝. 答案：2　 7．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前 n項(xiàng)和為Sn ，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8 時(shí)Sn 取得最大值，則d 的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得 即解得－1

44、≤6時(shí)，Tn＝－a1－a2－…－an＝－＝n(23－2n)；當(dāng)n>6時(shí)，Tn＝－a1－a2－…－a6＋a7＋…＋an＝－2S6＝n(2n－23)＋132.所以Tn＝ 答案：－30　Tn＝ 9．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－11

45、0＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝. 10．(2018·南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,4Sn＝a＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，當(dāng)n≥5時(shí)，an>0. (1)求證：當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列； (2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)證明：由4Sn＝a＋2an－3,4Sn＋1＝a＋2an＋1－3， 得4an＋1＝a－a＋2an

46、＋1－2an， 即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0. 當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，所以an＋1－an＝2， 所以當(dāng)n≥5時(shí)，{an}成等差數(shù)列． (2)由4a1＝a＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1， 又a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列， 所以由(1)得an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1， 而a5>0，所以a1>0，從而a1＝3， 所以an＝ 所以Sn＝ 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的最小值為_(kāi)_______．

47、 解析：設(shè)公差為d.因?yàn)閍1，a3，a13成等比數(shù)列，所以(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2.所以an＝2n－1，Sn＝n2.所以＝＝.令t＝n＋1，則原式＝＝t＋－2.因?yàn)閠≥2，t∈N*，所以當(dāng)t＝3，即n＝2時(shí)，min＝4. 答案：4 2．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)． (1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值； (2)當(dāng)a1＝2時(shí)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)法一：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列， ∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd. 由an＋1＋an＝4n－3， 得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－

48、3， ∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3， 即2d＝4,2a1－d＝－3， 解得d＝2，a1＝－. 法二：在等差數(shù)列{an}中，由an＋1＋an＝4n－3， 得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1， ∴2d＝an＋2－an＝(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an) ＝4n＋1－(4n－3)＝4， ∴d＝2. 又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝4×1－3＝1， ∴a1＝－. (2)由題意，①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3× ＝.

49、 ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝. 第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義： 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q. (2)等比中項(xiàng)： 如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. 2．等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.

50、 (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝ 3．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)， 則am·an＝ap·aq＝a； (3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列； (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk. [小題體驗(yàn)] 1．(教材習(xí)題改編)將公比為q的等比數(shù)列a1，a2，a3，a4，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2

51、，a2a3，a3a4，….此數(shù)列是(　　) A．公比為q的等比數(shù)列　　 B．公比為q2的等比數(shù)列 C．公比為q3的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列 答案：B 2．(2018·臺(tái)州模擬)已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù)，且a4－2a2＝4，a3＝4，則an＝________；S10＝________. 解析：設(shè)公比為q，因?yàn)閍4－2a2＝4，a3＝4， 所以有4q－＝4，解得q＝2或q＝－1. 因?yàn)閝>0，所以q＝2. 所以a1＝＝1，an＝a1qn－1＝2n－1. 所以S10＝＝210－1＝1 023. 答案：2n－1　1 023 3．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1

52、＝3an(n∈N*)，則a3＝______；S5＝_________. 答案：9　121 1．特別注意q＝1時(shí)，Sn＝na1這一特殊情況． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0. 3．在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類(lèi)討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤． 4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2＝

53、Sn·(S3n－S2n)總成立． [小題糾偏] 1．在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5等于(　　) A．5　　　　　　　　　　 B．±5 C．4 D．±4 解析：選C　a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4. 2．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝3a3，則公比q＝________. 答案：－或1 [典例引領(lǐng)] 1．(2018·紹興模擬)等比數(shù)列{an}的公比為2，前n項(xiàng)和為Sn.若1＋2a2＝S3，則a1＝(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D．1 解析：選C　由題可得，1＋4a

54、1＝a1＋2a1＋4a1，解得a1＝. 2．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________. 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵Sn＝126， ∴＝126，∴n＝6. 答案：6 [由題悟法] 解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的2種常用思想 方程 的思想 等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問(wèn)題可迎刃而解 分類(lèi)討論的思想 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論，當(dāng)q＝1時(shí)，

55、{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝ [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2018·暨陽(yáng)模擬)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，a1a9＝2a3a6，S5＝－62，則a1的值為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．－2 C．1 D．－1 解析：選B　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1a9＝2a3a6，所以aq8＝2aq7，所以q＝2.因?yàn)镾5＝－62，所以S5＝＝31a1＝－62，所以a1＝－2. 2．(2018·寧波模擬)已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2＝，a2a8＝4(a5－1)，則a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值為(　　) A．20　　　　　　　　

56、　 B．31 C．62 D．63 解析：選B　因?yàn)閍2a8＝a＝4(a5－1)，解得a5＝2.所以q＝2.所以a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝1＋2＋4＋8＋16＝31. 3．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列的前n項(xiàng)和等于________． 解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有 解得或 又為遞增數(shù)列， ∴ ∴Sn＝＝2n－1. 答案：2n－1 [典例引領(lǐng)] (2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)若S5＝，求λ. 解：(1)證明：由題意得a1＝

57、S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n. 由S5＝得1－5＝，即5＝. 解得λ＝－1. [由題悟法] 等比數(shù)列的4種常用判定方法 定義法 若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 中項(xiàng) 公式法 若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列

58、{an}是等比數(shù)列 通項(xiàng) 公式法 若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 前n項(xiàng)和公式法 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列 [提醒]　(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定． (2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可． [即時(shí)應(yīng)用] (2018·衢州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝an＋1－

59、2an，求證：{bn}是等比數(shù)列． 證明：因?yàn)镾n＋1＝4an＋2， 所以S2＝a1＋a2＝4a1＋2， 又a1＝1，所以a2＝5，b1＝a2－2a1＝3， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝4an－1＋2. 所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝4an－4an－1. 因?yàn)閎n＝an＋1－2an， 所以當(dāng)n≥2時(shí)， ＝＝＝＝2. 所以{bn}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． [典例引領(lǐng)] 1．(2018·寧波模擬)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a6－a＋a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8

60、 解析：選D　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＋a8＝2a7. 由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2， 所以b7＝a7＝2. 由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11＝b2b7b12＝b＝23＝8. 2．若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝5，則＝________. 解析：由題可得，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數(shù)列，因?yàn)椋?，不妨設(shè)S2＝1， 則S4＝5，所以S4－S2＝4， 所以S8＝1＋4＋16＋64＝85， 所以＝＝17. 答案：17 [由題悟法] 等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為3類(lèi) 通項(xiàng)公式的變形 根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口

61、 等比中項(xiàng)的變形 前n項(xiàng)和公式的變形 [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2018·諸暨模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20.則該數(shù)列的前9項(xiàng)和為(　　) A．50 B．70 C．80 D．90 解析：選B　由等比數(shù)列的性質(zhì)得S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，由S3＝40，S6－S3＝20，知公比為，故S9－S6＝10，S9＝70. 2．(2018·浙江聯(lián)盟模擬)已知{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝________；a4的最大值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閍n>0，a2a4＋2a3a5

62、＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，所以a3＋a5＝5，所以a3＋a5＝5≥2＝2a4，所以a4≤.即a4的最大值為. 答案：5　 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．(2018·舟山模擬)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比數(shù)列，則xyz的值為(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．±3 C．－3 D．±3 解析：選C　因?yàn)椋?，x，y，z，－3成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)及等比中項(xiàng)可知，xz＝3，y2＝3，且y與－1，－3符號(hào)相同，所以y＝－，所以xyz＝－3. 2．(2018·柯橋模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a

63、5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，則此數(shù)列的公比為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B　因?yàn)閍5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，兩式相減，得a6－a5＝2S5－2S4＝2a5，所以q＝＝3. 3．(2018·金華十校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11的值為(　　) A．10 B．25 C．50 D．75 解析：選B　因?yàn)閍7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝52＝25. 4．(2018·浙江名校協(xié)作體測(cè)試)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的正整數(shù)n，均有Sn＋3＝8Sn＋3，則a

64、1＝_________，公比q＝________. 解析：因?yàn)镾n＋3＝8Sn＋3，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋2＝8Sn－1＋3，兩式相減，可得an＋3＝8an，所以q3＝8，解得q＝2；當(dāng)n＝1時(shí)，S4＝8S1＋3，即15a1＝8a1＋3，解得a1＝. 答案：　2 5．(2018·永康適應(yīng)性測(cè)試)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝2an＋n，則a1＝______，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝_______. 解析：因?yàn)镾n＝2an＋n，所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－2an－1－n＋1，即an＝2an－1－1，即an

65、－1＝2(an－1－1)，所以數(shù)列{an－1}是以－2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an－1＝－2n，所以an＝1－2n. 答案：－1　1－2n 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a7(a1＋2a3)＋a3a9的值為(　　) A．10 B．20 C．100 D．200 解析：選C　a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100. 2．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則“a1

66、分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　由a1