2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 4

2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 4一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上1若集合A=x|x2，B=x|x3，則AB= 答案： 解析：AB= 2函數(shù)y=sin2x+cos2x的最小正周期是 答案：解析：y=sin2x+cos2x=2 sin(2 x+60º) ÞT=2/2= 3已知(a+i)2=2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù) a= 答案：1解析：(a+i)2= a2+2 ai+ i2= a2-1+2 ai=2i Þ a=14已知向量a與b的夾角為60º，且|a|=1，|b|=2，那么的值為 答案：7解析：=a2+ b2+2ab = a2+ b2+2|a|b| cos60º=12+22+2x1x2=75底面邊長為2m，高為1m的正三棱錐的全面積為 m2答案：解析：如圖所示，正三棱錐，為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，則為正的垂心，過作于，連接。則，且，在中，。于是，。所以。6若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則實(shí)數(shù)k的值是 答案：8解析：法一：雙曲線的漸近線方程為；焦點(diǎn)坐標(biāo)是。由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，不妨。解得。法二：可以將問題變?yōu)椤叭魴E圓的離心率為，則實(shí)數(shù)k= ”，這時(shí)需要增加分類討論的意思法三：結(jié)論法: 在雙曲線中，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b 【在本題中，則b 2=k=（)2=8】7若實(shí)數(shù)x，y滿足則z=x+2y的最大值是 答案：2解析：滿足題中約束條件的可行域如圖所示。目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即使得函數(shù)在軸上的截距最大。結(jié)合可行域范圍知，當(dāng)其過點(diǎn)時(shí)，。8對于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出三個(gè)命題：若，則f(x)為偶函數(shù)；若，則f(x)不是偶函數(shù)；若，則f(x)一定不是奇函數(shù)其中正確命題的序號(hào)為 答案：解析：命題學(xué)生很容易判為真命題反例：函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足請注意以下問題：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是否唯一？答案是否定的，如函數(shù)，等9圖中是一個(gè)算法流程圖，則輸出的n= 答案：1110已知三數(shù)x+log272，x+log92，x+log32成等比數(shù)列，則公比為 答案：3解析：， 本題首先應(yīng)整體觀察出三個(gè)對數(shù)值之間的關(guān)系，并由此選定log32，得出log272=log32，log92=log32，最后通過假設(shè)將x用log32表示11已知5×5數(shù)字方陣：中，則= 答案：-1解析：假如題中出現(xiàn)，應(yīng)注意a15中5為1的倍數(shù)題中方陣是一個(gè)迷惑，應(yīng)排除這一干擾因素本題的實(shí)質(zhì)就是先定義aij，后求和應(yīng)注意兩個(gè)求和符號(hào)中的上下標(biāo)是不一致的，解題應(yīng)把求和給展開12 已知函數(shù)f(x)=，x，則滿足f(x0)f()的x0的取值范圍為 答案：解析：法1 注意到函數(shù)是偶函數(shù)故只需考慮區(qū)間上的情形由知函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上的解集為，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)得原問題中取值范圍是法2 ，作出函數(shù)在上的圖象并注意到兩函數(shù)有交點(diǎn)可得取值范圍是13甲地與乙地相距250公里某天小袁從上午750由甲地出發(fā)開車前往乙地辦事在上午900，1000，1100三個(gè)時(shí)刻，車上的導(dǎo)航儀都提示“如果按出發(fā)到現(xiàn)在的平均速度繼續(xù)行駛，那么還有1小時(shí)到達(dá)乙地”假設(shè)導(dǎo)航儀提示語都是正確的，那么在上午1100時(shí)，小袁距乙地還有 公里 答案：60解析：設(shè)從出發(fā)到上午11時(shí)行了公里，則，解得，此時(shí)小袁距乙地還有60公里14定義在上的函數(shù)f(x)滿足：f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù))；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)=1-|x-3|若函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，則c= 答案：1或2解析：由已知可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由題意點(diǎn)共線，據(jù)得或2 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15(本題滿分14分)某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為50的學(xué)生成績樣本，得頻率分布表如下：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組80.16第二組0.24第三組15第四組100.20第五組50.10合 計(jì)501.00(1)寫出表中位置的數(shù)據(jù)；(2)為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；(3)在(2)的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1名是第四組的概率 解：(1) 位置的數(shù)據(jù)分別為12、0.3； 4分(2) 第三、四、五組參加考核人數(shù)分別為3、2、1； 8分(3) 設(shè)上述6人為abcdef(其中第四組的兩人分別為d，e)，則從6人中任取2人的所有情形為：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共有15種10分記“2人中至少有一名是第四組”為事件A，則事件A所含的基本事件的種數(shù)有9種 12分所以，故2人中至少有一名是第四組的概率為 14分16(本題滿分14分) 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中 (1)若BB1=BC，B1CA1B，證明：平面AB1C平面A1BC1；(2)設(shè)D是BC的中點(diǎn)，E是A1C1上的一點(diǎn)，且A1B平面B1DE，求的值解：(1)因?yàn)锽B1=BC，所以側(cè)面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1 3分又因?yàn)锽1CA1B ，且A1BBC1=B，所以BC1平面A1BC1， 5分又B1C平面AB1C ，所以平面AB1C平面A1BC1 7分(2)設(shè)B1D交BC1于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則平面A1BC1平面B1DEEF因?yàn)锳1B/平面B1DE， A1B平面A1BC1，所以A1B/EF 11分所以又因?yàn)?，所?14分17(本題滿分14分)在ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長(1)求證：B；(2)若，且A為鈍角，求A解：(1)由余弦定理，得 3分因，6分由0B，得 ，命題得證 7分(2)由正弦定理，得 10分因，故=1，于是12分因?yàn)锳為鈍角，所以所以(，不合，舍) 解得 14分（2）其它方法：法1 同標(biāo)準(zhǔn)答案得到，用降冪公式得到，或，展開再處理，下略法2 由余弦定理得，結(jié)合得，展開后用降冪公式再合，下略法3 由余弦定理得，結(jié)合得，下略18(本題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓(ab0)的離心率為，其焦點(diǎn)在圓x2+y2=1上(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B，M是橢圓上的三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角，使 (i)求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；(ii)求OA2+OB2解：(1)依題意，得 c=1于是，a=，b=1 2分所以所求橢圓的方程為 4分(2) (i)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則， 又設(shè)M(x，y)，因，故 7分因M在橢圓上，故整理得將代入上式，并注意，得 所以，為定值 10分(ii)，故又，故所以，OA2+OB2=3 16分19(本題滿分16分)已知數(shù)列an滿足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2an-1(n3)，記(n3)(1)求證數(shù)列bn為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求證：n<Sn<n+1解：(1)方法一 當(dāng)n3時(shí)，因，故 2分-，得 bn-1-bn-2=1，為常數(shù)，所以，數(shù)列bn為等差數(shù)列 5分因 b1=4，故 bn=n+3 8分方法二 當(dāng)n3時(shí)，a1a2an=1+an+1，a1a2anan+1=1+an+2，將上兩式相除并變形，得 2分于是，當(dāng)nN*時(shí)， 又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3(nN*)所以數(shù)列bn為等差數(shù)列，且bn=n+3 8分(2) 方法一 因 ，12分故 所以 ， 15分即 nSnn+1 16分方法二 因，故>1，10分=<<，故<，于是16分第(2)問，為了結(jié)果的美觀，將Sn放縮范圍放得較寬，并且可以改為求不小于Sn的最小正整數(shù)或求不大于Sn的最大正整數(shù)本題（2）的方法二是錯(cuò)誤的，請不要采用。注意=<<，故<，于是于是。（這一步推理是錯(cuò)誤的）20(本題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a0，b，cR(1)若=0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求證：當(dāng)0x1時(shí)，|(注：maxa，b表示a，b中的最大值)解：(1)由=0，得a=b 1分故f(x)= ax32ax2+ax+c由=a(3x24x+1)=0，得x1=，x2=12分列表：x(-，)(，1)1(1，+)+0-0+f(x)增極大值減極小值增由表可得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-，)及(1，+) 4分(2)=3ax2-2(a+b)x+b=3當(dāng)時(shí)，則在上是單調(diào)函數(shù)，所以，或，且+=a>0所以|8分當(dāng)，即-ab2a，則(i) 當(dāng)-ab時(shí)，則0a+b所以 0所以 | 12分(ii) 當(dāng)b2a時(shí)，則0，即a2+b20所以=0，即所以 |綜上所述：當(dāng)0x1時(shí)，|16分?jǐn)?shù)學(xué)（附加題）21【選做題】本題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題，每小題10分，共20分請?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講如圖，O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為O上一點(diǎn)，AE=AC，求證：PDE=POC證明：因AE=AC，AB為直徑， 故OAC=OAE 3分所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC又EAC=PDE，所以，PDE=POC10分B選修42：矩陣與變換已知圓C：在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E圓，求a，b的值解：設(shè)為圓C上的任意一點(diǎn)，在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋€(gè)點(diǎn)，則 ，即 4分又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 由已知條件可知， ，所以 a2=9，b2=4因?yàn)?a>0 ，b>0，所以 a=3，b=2 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，求經(jīng)過三點(diǎn)O(0，0)，A(2，)，B(，)的圓的極坐標(biāo)方程解：設(shè)是所求圓上的任意一點(diǎn)，3分則， 故所求的圓的極坐標(biāo)方程為 10分注：亦正確D選修45：不等式選講已知x，y，z均為正數(shù)求證：證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，所以 3分同理可得 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得10分22【必做題】本題滿分10分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟已知函數(shù)，其中a0(1)若在x=1處取得極值，求a的值；(2)若的最小值為1，求a的取值范圍 解：(1) 因在處取得極值，故，解得a=1 (經(jīng)檢驗(yàn))4分(2)，因 ，故ax+10，1+x0當(dāng)a2時(shí)，在區(qū)間上，遞增，的最小值為f(0)=1當(dāng)0<a<2時(shí)，由，解得；由，解得f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為于是，f(x)在處取得最小值，不合綜上可知，若f(x)得最小值為1，則a的取值范圍是 10分注：不檢驗(yàn)不扣分23【必做題】本題滿分10分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟過拋物線y2=4x上一點(diǎn)A(1，2)作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C(異于點(diǎn)A)在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足=1；點(diǎn)F在線段BC上，滿足=2，且1+2=1，線段CD與EF交于點(diǎn)P(1)設(shè)，求；(2)當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程解：(1)過點(diǎn)A的切線方程為y=x+1 1分切線交x軸于點(diǎn)B(-1，0)，交y軸交于點(diǎn)D(0，1)，則D是AB的中點(diǎn) 所以 (1) 3分由Þ=(1+) Þ (2)同理由 =1， 得=(1+1)， (3) =2， 得=(1+2) (4)將(2)、(3)、(4)式代入(1)得因?yàn)镋、P、F三點(diǎn)共線，所以 + =1，再由1+2=1，解之得=6分(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P為ABC的重心所以，x=，y= 解得x0=3x，y0=3y-2，代入y02=4x0得，(3y-2)2=12x由于x01，故x3所求軌跡方程為(3y-2)2=12x (x3) 10分