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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學二輪復習 課時跟蹤檢測(五)“平面向量、三角函數(shù)與解三角形”專題提能課
1.設x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c, b∥c,則|a+b|=( )
A. B.
C.2 D.10
解析:選B 由題意可知解得
故a+b=(3,-1),|a+b|=.
2.(2019屆高三·河南中原名校質(zhì)量考評)將函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象沿x軸向左平移個單位長度后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則φ的一個可能取值為( )
A. B.
C.0 D.
解析:選B 將函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象沿
2、x軸向左平移個單位長度后,得到的圖象對應的函數(shù)解析式為y=sin=sin.
因為所得函數(shù)為偶函數(shù),所以+φ=kπ+(k∈Z),
即φ=kπ+(k∈Z),則φ的一個可能取值為,故選B.
3.(2017·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=________.
解析:由正弦定理,得sin B===,
因為0°<B<180°,
所以B=45°或135°.
因為b<c,所以B<C,故B=45°,
所以A=180°-60°-45°=75°.
答案:75°
B組——方法技巧練
1.已知向量a,b,且|a|=,a與b的夾角為,a⊥
3、(2a-b),則|b|=( )
A.2 B.4
C. D.3
解析:選B 如圖,作=a,=b,〈a,b〉=,作=2a,則=2a-b.由a⊥(2a-b)可知,OC⊥BC.在Rt△OCB中,OC=2|a|=2,cos〈a,b〉===,解得|b|=4.故選B.
2.在△ABC中,A=120°,若三邊長構成公差為4的等差數(shù)列,則最長的邊長為( )
A.15 B.14
C.10 D.8
解析:選B 在△ABC中,A=120°,則角A所對的邊a最長,三邊長構成公差為4的等差數(shù)列,不妨設b=a-4,c=a-8(a>8).由余弦定理得a2=(a-4)2+(a-8)2-2(a-
4、4)(a-8)cos 120°,即a2-18a+56=0,所以a=4(舍去)或a=14.
3.(2018·廣州模擬)已知 △ABC的三個頂點A,B,C的坐標分別為(0,1),(,0),(0,-2),O為坐標原點,動點P滿足||=1,則|++|的最小值是( )
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
解析:選A 已知點C坐標為(0,-2),且||=1,所以設P(cos θ,-2+sin θ),則|++|===≥ =-1.
4.已知AB為圓O:(x-1)2+y2=1的直徑,點P為直線x-y+1=0上任意一點,則·的最小值為( )
A.1 B.
C.2 D.2
5、
解析:選A 由題意,設A(1+cos θ,sin θ),P(x,x+1),則B(1-cos θ,-sin θ),∴=(1+cos θ-x,sin θ-x-1),=(1-cos θ-x,-sin θ-x-1),∴·=(1+cos θ-x)(1-cos θ-x)+(sin θ-x-1)(-sin θ-x-1)=(1-x)2-cos2θ+(-x-1)2-sin2θ=2x2+1≥1,當且僅當x=0時,等號成立,故選A.
5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=5,a=3,cos(B-A)=,則△ABC的面積為( )
A. B.
C.5 D.2
解析:選C 如
6、圖所示,在邊AC上取點D使∠A=∠ABD,則
cos∠DBC=cos(∠ABC-∠A)=,設AD=DB=x,在△BCD中,由余弦定理得,(5-x)2=9+x2-2×3x×,解得x=3.故BD=BC,在等腰三角形BCD中,DC邊上的高為2,所以S△ABC=×5×2=5,故選C.
6.已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=1,cos Bsin C+(a-sin B)cos(A+B)=0.
(1)求角C的大??;
(2)求△ABC面積的最大值.
解:(1)由cos Bsin C+(a-sin B)cos(A+B)=0,
可得cos Bsin C-(a-sin B)
7、cos C=0,
即sin(B+C)=acos C,sin A=acos C,即=cos C.
因為==sin C,
所以cos C=sin C,
即tan C=1,C=.
(2)由余弦定理得12=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab,
所以a2+b2=1+ab≥2ab,ab≤=,當且僅當a=b時取等號,所以
S△ABC=absin C≤××=.所以△ABC面積的最大值為.
C組——創(chuàng)新應用練
1.已知△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,重心為G,若2sin A·+sin B·+
3sin C·=0,則cos B=________.
解析:設a,b,c分別為角A,B,C
8、所對的邊,由正弦定理得2a·+b·+3c·=0,則2a·+b·=-3c·=-3c(--),即(2a-3c)+(b-3c)=0.又,不共線,所以由此得2a=b=3c,所以a=b,c=b,于是由余弦定理得cos B==.
答案:
2.對任意兩個非零的平面向量α和β,定義α°β=.若平面向量a,b滿足|a|≥
|b|>0,a與b的夾角θ∈,且a°b和b°a都在集合中,則a°b=________.
解析:a°b===, ①
b°a===. ②
∵θ∈,∴0,∴0<≤1.
∴0
9、a∈,
∴b°a=.
①×②,得(a°b)(b°a)=cos2θ∈,
∴<(a°b)<1,即10)的圖象向左平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù),則ω的最小值是________.
解析:由題意,得f(x)==cos ωx-sin ωx=2cos(ω>0),將函數(shù)f(x)=2cos(ω>0)的圖象向左平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)為y=2cos=2cos.因為y=2cos為偶函數(shù),所以+=kπ(k∈Z).即ω=(k∈Z).又ω>0,所以ω的最小值是.
10、
答案:
4.在平面直角坐標系xOy中,Ω是一個平面點集,如果存在非零平面向量a,對于任意P∈Ω,均有Q∈Ω,使得=+a,則稱a為平面點集Ω的一個向量周期.現(xiàn)有以下四個命題:
①若平面點集Ω存在向量周期a,則ka(k∈Z,k≠0)也是Ω的向量周期;
②若平面點集Ω形成的平面圖形的面積是一個非零常數(shù),則Ω不存在向量周期;
③若平面點集Ω={(x,y)|x>0,y>0},則b=(1,2)為Ω的一個向量周期;
④若平面點集Ω={(x,y)|[y]-[x]=0}([m]表示不大于m的最大整數(shù)),則c=(1,1)為Ω的一個向量周期.
其中真命題是________(填序號).
解析:對于①,
11、取Ω={(x,y)|x>0,y>0},a=(1,0),則a為Ω的向量周期,但-a=(-1,0)不是Ω的向量周期,故①是假命題;
易知②是真命題;
對于③,任取點P(xP,yP)∈Ω,則存在點Q(xP+1,yP+2)∈Ω,所以b是Ω的一個向量周期,故③是真命題;
對于④,任取點P(xP,yP)∈Ω,則[yP]-[xP]=0,存在點Q(xP+1,yP+1),所以
[yP+1]-[xP+1]=[yP]+1-([xP]+1)=0,所以Q∈Ω,所以c是Ω的一個向量周期,
故④是真命題.
綜上,真命題為②③④.
答案:②③④
5.已知函數(shù)f(x)=2sincos,過A(t,f(t)),B(t+1,f(t+1))兩點的直線的斜率記為g(t).
(1)求函數(shù)g(t)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若g(t0)=,且t0∈,求g(t0+1)的值.
解:(1)易知f(x)=2sincos=sin,所以g(t)==f(t+1)-f(t)=sin-sin=cos-sin=cos.
令2kπ-π≤t+≤2kπ,k∈Z,得6k-≤t≤6k-,k∈Z,所以函數(shù)g(t)=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
(2)由題意得g(t0)=cos=,t0∈,
所以t0+∈,
所以sin=,
所以g(t0+1)=cos=cos=cos-sin=×-×=.