高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)27二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（含解析）

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1、高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)27 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（含解析） 一、選擇題 1. (xx·湖北高考文科·T4)若變量x,y滿足約束條件錯(cuò)誤！未找到引用源。則2x+y的最大值是　(　　) A.2 B.4 C.7 D.8 【解題提示】根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域,再用角點(diǎn)法,求出目標(biāo)函數(shù)的最大值. 【解析】選C. 滿足約束條件的可行域如下圖中陰影部分所示： 目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,即y=-2x+z,顯然,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)z的值最大,最大值為7. 2.(xx·廣東高考文科·T4)若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最

2、大值等于　(　　) A.7 B.8 C.10 D.11 【解題提示】畫出可行域,標(biāo)出邊界點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)動(dòng)直線的斜率為-2. 【解析】選C.作出可行域OABCD是3×4的矩形去掉一個(gè)1×2的直角三角形,其中B(2,3),C(4,2),所以當(dāng)動(dòng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)C(4,2)時(shí)取得最大值10. 3.(xx·廣東高考理科)若變量x,y滿足約束條件且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則m-n=　(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解題提示】畫出可行域,標(biāo)出邊界點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)動(dòng)直線的斜率為-2. 【解析】選B.如圖,

3、可行域是以A,B(-1,-1),C(2,-1)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形, 所以當(dāng)動(dòng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)C(2,-1)時(shí)取得最大值3,經(jīng)過點(diǎn)B(-1,-1)時(shí)取得最小值-3,所以m-n=6. 4.（xx·福建高考文科·Ｔ11）11．已知圓，設(shè)平面區(qū)域，若圓心,且圓C與x軸相切，則的最大值為 （ ） 【解題指南】畫出可行域，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解． 【解析】由圓C 與x 軸相切可知，b=1． 又圓心C（a,b）在平面區(qū)域（如圖2）內(nèi)， 由，解得； 由，解得． 故． 所以當(dāng)時(shí)，取最大值為37． 5. （xx·山東高考理科·Ｔ9） 已知滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)

4、在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（ ） A、5 B、4 C、 D、2 【解題指南】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，再利用兩點(diǎn)間距離公式的幾何意義求解. 【解析】選B.解方程組求得交點(diǎn)為，則，的最小值即為在直線上找一點(diǎn)使得它到原點(diǎn)的距離平方最小.即求點(diǎn)到直線的距離的平方為. 6. （xx·山東高考文科·Ｔ10）與(xx·山東高考理科·Ｔ9）相同 已知滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（ ） A、5 B、4 C、 D、2 【解題指南】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，再利用兩點(diǎn)間距離公式的幾

5、何意義求解. 【解析】選B.解方程組求得交點(diǎn)為，則，的最小值即為在直線上找一點(diǎn)使得它到原點(diǎn)的距離平方最小.即求點(diǎn)到直線的距離的平方為. 7. （xx·天津高考文科·Ｔ2同xx·天津高考理科·Ｔ2））設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】選B. 由得。作出可行域如圖， A 平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，由，得，即代入，得. 8.（xx·安徽高考理科·Ｔ5）滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A, B. C.2

6、或1 D. 【解題提示】 畫出線性約束條件的圖像，數(shù)形結(jié)合判斷。 【解析】選D.由線性約束條件可得其圖象如圖所示，由圖象可知直線經(jīng)過AB或AC時(shí)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，此時(shí)a=2或-1 9. (xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)·T9) 設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值為(　　) A.8 B.7 C.2 D.1 【解題提示】結(jié)合約束條件,畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式,平移得最大值. 【解析】選B.畫可行區(qū)域知為三角形,可以代值.兩兩求解,得三點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),(3,2),(0,1). 代入z=x+2y,則最大值為7.

7、故選B. 10. (xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)·T9)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為 (　　) A.10 B.8 C.3 D.2 【解題提示】結(jié)合約束條件,畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式,平移得最大值. 【解析】選B.畫出區(qū)域,可知區(qū)域?yàn)槿切?經(jīng)比較斜率,可知目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(diǎn)(5,2)處,取得最大值z(mì)=8.故選B. 二、填空題 11.（xx·湖南高考理科·Ｔ14）若變量滿足約束條件，且的最小值為－6，則 【解題提示】畫出可行域，，把最值點(diǎn)帶入解方程。 【

8、解析】如圖，畫出可行域，，， 當(dāng)運(yùn)動(dòng)到過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值-6，所以. 答案： 12. （xx· 湖南高考文科·Ｔ13）若變量滿足約束條件，則的最大值為_________. 【解題提示】畫出可行域，，把最值點(diǎn)帶入求解。 【解析】如圖，畫出可行域，，， 當(dāng)運(yùn)動(dòng)到過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值7。 答案：7 13.（xx·福建高考理科·Ｔ11） 若變量滿足約束條件則的最小值為________ 【解題指南】先畫好可行域，對(duì)于線性規(guī)劃問題，可以考慮直接將可行域的幾個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)直接代入計(jì)算。 【解析】畫出可行域，三個(gè)端點(diǎn)分別為,將坐標(biāo)代入,可得． 【答案】1 14. （xx

9、·浙江高考文科·Ｔ12）若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_____________； 【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖所示： 令，解方程組得，解方程組得 平移直線，經(jīng)過點(diǎn)使得取最大值，即，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，取最小值，即，所以的取值范圍是. 答案： 15.（xx·浙江高考理科·Ｔ13）當(dāng)實(shí)數(shù)，滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，由得，由圖可知， 且在點(diǎn)取得最小值，在點(diǎn)取得最大值，所以，故的取值范圍為 答案：． 16. （xx·遼寧高考文科·Ｔ1４）已知滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為________. 【解析】畫

10、出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖， 將目標(biāo)函數(shù)化為，顯然直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，. 答案： 【誤區(qū)警示】避免將二元一次不等式表示的區(qū)域搞錯(cuò),弄清楚直線的斜率的大小與傾斜程度的關(guān)系 17. （xx·浙江高考文科·Ｔ12）若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_____________； 【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖所示： 令，解方程組得，解方程組得 平移直線，經(jīng)過點(diǎn)使得取最大值，即，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，取最小值，即，所以的取值范圍是. 答案： 18.（xx·安徽高考文科·Ｔ13）不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_______ 【解題提示】正確畫出平面區(qū)域的可行域是一個(gè)

11、三角形，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算面積。 【解析】如圖所示可得點(diǎn)A(0，2)，B(2，0),C(8，-2)，根據(jù)圖像計(jì)算可得。 答案： 4 三、解答題 19.(xx·陜西高考文科·T18)(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上,且 =m+n.(m,n∈R). (1)若m=n=,求. (2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 【解題指南】(1)先利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量坐標(biāo),代入已知關(guān)系式,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知轉(zhuǎn)化求得m-n與x,y的關(guān)系,再利用平面直角坐

12、標(biāo)系中簡單的線性規(guī)劃問題求其最值. 【解析】(1)因?yàn)閙=n=,=(1,2),=(2,1), 所以=+=(1,2)+(2,1)=(2,2), 所以||==2. (2)因?yàn)?m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以 兩式相減得,m-n=y-x, 令y-x=t,由圖知,當(dāng)直線y=x+t過點(diǎn)B(2,2)時(shí),t取得最大值1,故m-n的最大值為1. 20.(xx·陜西高考理科·T18)(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上. (1)若++=0,求. (2)設(shè)=m

13、+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 【解題指南】(1)先利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量坐標(biāo),代入已知關(guān)系式得點(diǎn)P坐標(biāo),再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知轉(zhuǎn)化求得m-n與x,y的關(guān)系,再利用平面直角坐標(biāo)系中簡單的線性規(guī)劃問題求其最值. 【解析】(1)因?yàn)?+=0, 又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y) =(6-3x,6-3y), 所以解得x=2,y=2, 即=(2,2),故||=2. (2)因?yàn)?m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以 兩式相減得,m-n=y-x, 令y-x=t,由圖知,當(dāng)直線y=x+t過點(diǎn)B(2,2)時(shí),t取得最大值1,故m-n的最大值為1.