《（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（十二）“數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法”專題提能課》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（十二）“數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法”專題提能課（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（十二）“數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法”專題提能課
1．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S10＝10，S30＝130，則S40＝( )
A．－510 B．400
C．400或－510 D．30或40
解析：選B 等比數(shù)列{an}中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，且由題意知，S20>0，所以S10(S30－S20)＝(S20－S10)2，即10(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40，又(S20－S10)(S40－S30)＝(S30－S20)2，即30(S40－130)＝
2、902，解得S40＝400.
2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值為( )
A．2 500 B．2 600
C．2 700 D．2 800
解析：選B 當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋2－an＝0?an＝1，
當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2?an＝n，
故an＝
于是S100＝50＋＝2 600.
3．在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B 當(dāng)an＝0時，也
3、有an＝2an－1，n＝2,3，4，…，但{an}不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當(dāng){an}是公比為2的等比數(shù)列時，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．
4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝，則bn＝________.
解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2，
因為Sn＝n2＋1，Sn－1＝(n－1)2＋1(n≥2)，
兩式相減得an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
所以當(dāng)n≥2時，an＝2n－1，
又a1＝2不符合上式，所以an＝
因為bn＝，所以bn＝
答案：
5．已知一個等比數(shù)列{an}的
4、前4項之積為，第2,3項的和為，則數(shù)列{an}的公比q＝________.
解析：設(shè)數(shù)列{an}的前4項分別為a，aq，aq2，aq3，
則可得
所以(1＋q)4＝64q2，即(1＋q)2＝±8q，
當(dāng)q>0時，可得q2－6q＋1＝0，
解得q＝3±2，
當(dāng)q<0時，可得q2＋10q＋1＝0，
解得q＝－5±2.
綜上，q＝3±2或q＝－5±2.
答案：3±2或－5±2
B組——方法技巧練
1．已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，則它的通項公式為( )
A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝n
解析：選
5、B 因為(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0.又{an}為正項數(shù)列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，即＝，則an＝··…··a1＝··…··1＝.故選B.
2．(2019屆高三·豫南十校聯(lián)考)設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選C 在f(x)·f(y)＝f(x＋y)中，令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)f
6、(1)，又a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則an＋1＝an，所以數(shù)列{an}是首項和公比都是的等比數(shù)列，其前n項和Sn＝＝1－∈，故選C.
3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
解析：因為an＋1＝(n∈N*)，
所以＝＋1，
設(shè)＋t＝3，
所以3t－t＝1，
解得t＝，
所以＋＝3，
又＋＝1＋＝，
所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以＋＝×3n－1＝，
所以＝，所以an＝.
答案：an＝
4．(2018·惠州調(diào)研)已知數(shù)列{an}中，點(an，an＋1)在直線y＝x＋2上，且首項a1＝
7、1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值．
解：(1)根據(jù)已知a1＝1，an＋1＝an＋2，
即an＋1－an＝2＝d，
所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2.
等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，
所以q＝3，bn＝3n－1.
數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝＝.
Tn≤Sn即≤n2，又n∈N*，
所以n＝1或2.
8、
C組——創(chuàng)新應(yīng)用練
1．(2018·襄陽四校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：
(1)構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，； ①
(2)將數(shù)列①的各項乘以，得到一個新數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an.
則a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( )
A. B.
C. D.
解析：選C 依題意可得新數(shù)列為，，，…，×，所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝＝＝×＝.故選C.
2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*
9、)，我們把使乘積a1·a2·a3·…·an為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在(0,2 018]內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為( )
A．1 024 B．2 012
C．2 026 D．2 036
解析：選C a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k∈Z，令0
10、：“三百七十八里關(guān)，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第五天走了( )
A．48里 B．24里
C．12里 D．6里
解析：選C 由題意知該人每天走的路程數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)其前n項和為Sn，由S6＝378，得＝378，解得a1＝192，所以a5＝192×＝12(里)，故選C.
4．(2019屆高三·杭二月考)如圖，矩形AnBnCnDn的一邊AnBn在x軸上，另外兩個頂點Cn，Dn在函數(shù)
11、f(x)＝x＋(x>0)的圖象上，若點Bn的坐標(biāo)為(n,0)(n≥2，n∈N*)，記矩形AnBnCnDn的周長為an，則a2＋a3＋…＋a10＝( )
A．208 B．212
C．216 D．220
解析：選C 由題意得|AnDn|＝|BnCn|＝n＋，設(shè)點Dn的坐標(biāo)為，則有x＋＝n＋，得x＝(x＝n舍去)，即An，則|AnBn|＝n－，所以矩形的周長為an＝2(|AnBn|＋|BnCn|)＝2＋2＝4n，則a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.
5．(2018·上海松江區(qū)聯(lián)考)在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間添加一項，使其等于兩相鄰項的和，我們把這樣的操
12、作叫做該數(shù)列的一次“H擴(kuò)展”．已知數(shù)列1,2第一次“H擴(kuò)展”后得到數(shù)列1,3,2，第二次“H擴(kuò)展”后得到數(shù)列1,4,3,5,2，那么第10次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的所有項的和為( )
A．88 572 B．88 575
C．29 523 D．29 526
解析：選B 記第n次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列所有項的和為Hn，則H1＝1＋2＋3＝6，H2＝1＋3＋2＋4＋5＝15，H3＝15＋5＋7＋8＋7＝42，從中發(fā)現(xiàn)H3－H2＝27＝33，H2－H1＝9＝32，歸納得Hn－Hn－1＝3n(n≥2)，利用累加法求和得Hn＝，n≥2，所以H10＝＝88 575，故選B.
6．(2018
13、·河北衡水中學(xué)檢測)對于數(shù)列{an}，定義Hn＝為{an}的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn＝2n＋1，記數(shù)列{an－kn}的前n項和為Sn，若Sn≤S5對任意的n∈N*恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為________．
解析：由題意知Hn＝＝2n＋1，
所以a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n×2n＋1， ①
當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)×2n， ②
①－②得：2n－1an＝n×2n＋1－(n－1)×2n，
解得an＝2n＋2，n≥2，
當(dāng)n＝1時，a1＝4也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2，且
14、數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為2.
令bn＝an－kn＝(2－k)n＋2，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，
由Sn≤S5對任意的n∈N*恒成立，知2－k<0，且b5＝12－5k≥0，b6＝14－6k≤0，
解得≤k≤.
答案：
7．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋sin x的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為{xn}．
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式；
(2)令bn＝，設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，求證：Sn<.
解：(1)f(x)＝＋sin x，令f′(x)＝＋cos x＝0，得x＝2kπ±(k∈Z)，
由f′(x)>0?2kπ－
15、π＋(k∈Z)，
當(dāng)x＝2kπ－(k∈Z)時，f(x)取得極小值，
∴xn＝2nπ－(n∈N*)．
(2)證明：∵bn＝＝n－＝，
∴＝·
＝3，
∴Sn＝3
＝3
＝－，
∴Sn<.
8．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“幸福數(shù)列”．
(1)等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為零，若{bn}為“幸福數(shù)列”，求{bn}的通項公式；
(2)數(shù)列{cn}的各項都是正數(shù)，其前n項和為Tn，若c＋c＋c＋…＋c＝T對任意的n∈N*都成立，試推斷數(shù)列{cn}是否為“幸福數(shù)列”？并說明理由．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，其前n項
16、和為Bn，＝k，因為b1＝1，
則n＋n(n－1)d＝k，
即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.
因為對任意正整數(shù)n上式恒成立，
則解得
故數(shù)列{bn}的通項公式是bn＝2n－1.
(2)由題意知，當(dāng)n＝1時，c＝T＝c.
因為c1>0，所以c1＝1.
當(dāng)n≥2時，c＋c＋c＋…＋c＝T，
c＋c＋c＋…＋c＝T.
兩式相減，得c＝T－T
＝(Tn－Tn－1)(Tn＋Tn－1)
＝cn·(Tn＋Tn－1)．
因為cn>0，所以c＝Tn＋Tn－1＝2Tn－cn.
顯然c1＝1適合上式，
所以當(dāng)n≥2時，c＝2Tn－1－cn－1.
于是c－c＝2(Tn－Tn－1)－cn＋cn－1
＝2cn－cn＋cn－1＝cn＋cn－1.
因為cn＋cn－1>0，所以cn－cn－1＝1，
所以數(shù)列{cn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以cn＝n，Tn＝.
所以＝＝不為常數(shù)，
故數(shù)列{cn}不是“幸福數(shù)列”．
（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（十二）“數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法”專題提能課
