(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案
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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 [考情考向分析] 1.導(dǎo)數(shù)的意義和運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ),是高考的一個(gè)熱點(diǎn).2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)問(wèn)題是高考的常見題型. 熱點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1.函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率,曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率k=f′(x0),相應(yīng)的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的不同. 例1 (1)(2018·全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax
2、,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案 D 解析 方法一 ∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax, ∴f′(x)=3x2+2(a-1)x+a. 又f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立, ∴a=1,∴f′(x)=3x2+1, ∴f′(0)=1, ∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x. 故選D. 方法二 ∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax為奇函數(shù), ∴f′(x)=3
3、x2+2(a-1)x+a為偶函數(shù), ∴a=1,即f′(x)=3x2+1,∴f′(0)=1, ∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x. 故選D. (2)若直線y=kx+b是曲線y=ln x+1的切線,也是曲線y=ln(x+2)的切線,則實(shí)數(shù)b=________. 答案 ln 2 解析 設(shè)直線y=kx+b與曲線y=ln x+1和曲線y=ln(x+2)的切點(diǎn)分別為(x1,ln x1+1),(x2,ln(x2+2)). ∵直線y=kx+b是曲線y=ln x+1的切線,也是曲線y=ln(x+2)的切線, ∴=,即x1-x2=2. ∴切線方程為y-(ln x1+1)=(x-
4、x1), 即為y=+ln x1 或y-ln(x2+2)=(x-x2), 即為y=++ln x1, ∴=0,則x1=2, ∴b=ln 2. 思維升華 (1)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異,過(guò)點(diǎn)P的切線中,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P也不一定在已知曲線上,而在點(diǎn)P處的切線,必以點(diǎn)P為切點(diǎn). (2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題,主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值,則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系,進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解. 跟蹤演練1 (1)(2018·全國(guó)Ⅱ)曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)
5、處的切線方程為________. 答案 2x-y=0 解析 ∵y=2ln(x+1),∴y′=.令x=0,得y′=2,由切線的幾何意義得切線斜率為2,又切線過(guò)點(diǎn)(0,0), ∴切線方程為y=2x,即2x-y=0. (2)若函數(shù)f(x)=ln x(x>0)與函數(shù)g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A. B.(-1,+∞) C.(1,+∞) D.(-ln 2,+∞) 答案 A 解析 設(shè)公切線與函數(shù)f(x)=ln x切于點(diǎn)A(x1,ln x1)(x1>0), 則切線方程為y-ln x1=(x-x1). 設(shè)公切線與函數(shù)g(x)=
6、x2+2x+a切于點(diǎn)B(x2,x+2x2+a)(x2<0),
則切線方程為y-(x+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),
∴
∵x2<0
7、增,但f′(x)≥0. 2.f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件,如函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0時(shí),則f(x)為常函數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性. 例2 已知函數(shù)f(x)=2ex-kx-2. (1)討論函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性; (2)若存在正數(shù)m,對(duì)于任意的x∈(0,m),不等式|f(x)|>2x恒成立,求正實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解 (1)由題意得f′(x)=2ex-k,x∈(0,+∞), 因?yàn)閤>0,所以2ex>2. 當(dāng)k≤2時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 當(dāng)k>2時(shí),由f′(x)>0得x>ln,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增; 由f
8、′(x)<0得0
9、②當(dāng)k>2時(shí),
由(1)可得f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減,且f(0)=0,
所以存在x0>0,使得對(duì)于任意的x∈(0,x0)都有f(x)<0.
這時(shí)|f(x)|>2x可化為-f(x)>2x,
即-2ex+x+2>0.
設(shè)h(x)=-2ex+x+2,
則h′(x)=-2ex+.
(ⅰ)若2
10、0, 此時(shí)取m=min,則對(duì)于任意的x∈(0,m),不等式|f(x)|>2x恒成立. 綜上可得k的取值范圍為. 思維升華 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟 (1)確定函數(shù)的定義域. (2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x). (3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性),只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可; ②若已知函數(shù)的單調(diào)性,則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問(wèn)題來(lái)求解. 跟蹤演練2 (1)已知f(x)=ln x-x2-2ax在(0,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.{1} B.{-1} C.(0,1] D.
11、[-1,0)
答案 B
解析 f(x)=ln x-x2-2ax,
f′(x)=2(x+a)ln x,
∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
當(dāng)x=1時(shí),f′(x)=0滿足題意,
當(dāng)x>1時(shí),ln x>0,要使f′(x)≥0恒成立,
則x+a≥0恒成立.
∵x+a>1+a,∴1+a≥0,解得a≥-1,
當(dāng)0 12、?+f(x+1)=0,e3f(2 018)=1,若f(x)>f′(-x),則關(guān)于x的不等式f(x+2)>的解集為( )
A.(-∞,3) B.(3,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
答案 B
解析 ∵f(x)是偶函數(shù),
∴f(x)=f(-x),f′(x)=′=-f′(-x),
∴f′(-x)=-f′(x),f(x)>f′(-x)=-f′(x),
即f(x)+f′(x)>0,設(shè)g(x)=exf(x),
則′=ex>0,
∴g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,
由f?+f(x+1)=0,
得f(x)+f?=0,f?+f=0,
相減可得f(x)=f,f(x 13、)的周期為3,
∴e3f=e3f(2)=1,g(2)=e2f(2)=,f(x+2)>,結(jié)合f(x)的周期為3可化為ex-1f(x-1)>=e2f(2),g(x-1)>g(2),x-1>2,x>3,
∴不等式的解集為,故選B.
熱點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值
1.若在x0附近左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值;若在x0附近左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值.
2.設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.
例3 (201 14、8·北京)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a;
(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.
解 (1)因?yàn)閒(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,
所以f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.
所以f′(1)=(1-a)e.
由題設(shè)知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.
此時(shí)f(1)=3e≠0.
所以a的值為1.
(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex
=(ax-1)(x-2)ex.
若a>,則當(dāng)x∈時(shí),f′(x 15、)<0;
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0.
所以f(x)在x=2處取得極小值.
若a≤,則當(dāng)x∈(0,2)時(shí),x-2<0,ax-1≤x-1<0,
所以f′(x)>0.
所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).
綜上可知,a的取值范圍是.
思維升華 (1)求函數(shù)f(x)的極值,則先求方程f′(x)=0的根,再檢查f′(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào).
(2)若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)=0根的大小或存在情況來(lái)求解.
(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時(shí),在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的 16、最值.
跟蹤演練3 (2018·浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-ln(x+b)+a(a,b∈R).
(1)若y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=-x+3,求a,b的值;
(2)當(dāng)b=0時(shí),f(x)≥-對(duì)定義域內(nèi)的x都成立,求a的取值范圍.
解 (1)由f(x)=-ln(x+b)+a,得f′(x)=-,
所以
解得
(2)當(dāng)b=0時(shí),f(x)≥-對(duì)定義域內(nèi)的x都成立,即-ln x+a≥-恒成立,
所以a≥ln x-,則a≥(ln x-)max.
令g(x)=ln x-,
則g′(x)=-=.
令m(x)=-x,
則m′(x)=-1=,
令m′ 17、(x)>0,得 18、,排除①③.
如圖所示,f′(x)有3個(gè)零點(diǎn),從左到右依次設(shè)為x1,x2,x3,且x1,x3是極小值點(diǎn),x2是極大值點(diǎn),且x2>0,故④正確.
2.(2017·全國(guó)Ⅱ改編)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)·ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為________.
答案 -1
解析 函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1,
則f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1
=ex-1[x2+(a+2)x+a-1].
由x=-2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),得
f′(-2)=e-3(4-2a-4+a-1)=(-a-1)e-3=0,
所以a=-1,所以f( 19、x)=(x2-x-1)ex-1,
f′(x)=ex-1(x2+x-2).
由ex-1>0恒成立,得當(dāng)x=-2或x=1時(shí),f′(x)=0,且當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)-2 20、x)=cos x.
答案?、?
解析 若f(x)具有性質(zhì)M,則[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定義域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定義域上恒成立.
對(duì)于①式,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合題意.
經(jīng)驗(yàn)證,②③④均不符合題意.
4.(2017·全國(guó)Ⅰ)曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為________.
答案 x-y+1=0
解析 ∵y′=2x-,∴y′|x=1=1,
即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k=1,
∴切線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0.
押題預(yù)測(cè)
1 21、.設(shè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為x-y+2=0,則f(1)+f′(1)等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
押題依據(jù) 曲線的切線問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,是高考考查的熱點(diǎn),對(duì)于“在某一點(diǎn)處的切線”問(wèn)題,也是易錯(cuò)易混點(diǎn).
答案 A
解析 依題意有f′(1)=1,1-f(1)+2=0,即f(1)=3,
所以f(1)+f′(1)=4.
2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則的值為( )
A.- B.-2
C.-2或- D.2或-
押題依據(jù) 函數(shù)的極值是 22、單調(diào)性與最值的“橋梁”,理解極值概念是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵.極值點(diǎn)、極值的求法是高考的熱點(diǎn).
答案 A
解析 由題意知f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=0,f(1)=10,即
解得或
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,故=-.
3.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+3在(0,1)上為減函數(shù),函數(shù)g(x)=x2-aln x在(1,2)上為增函數(shù),則a的值為________.
押題依據(jù) 函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)最重要的應(yīng)用,體現(xiàn)了“以直代曲”思想,要在審題中搞清“在(0,1)上為減函數(shù)”與“函數(shù)的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別.
答案 2
解析 ∵函數(shù)f(x)=x2-ax+3在(0,1)上為減函數(shù),
∴≥ 23、1,得a≥2.
又∵g′(x)=2x-,依題意g′(x)≥0在(1,2)上恒成立,得2x2≥a在(1,2)上恒成立,∴a≤2,∴a=2.
4.已知函數(shù)f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若對(duì)任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.
押題依據(jù) 不等式恒成立或有解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域解決.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想,是高考的一個(gè)熱點(diǎn).
答案
解析 由于f′(x)=1+>0,
因此函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)min=f(0)=-1.
根據(jù)題意可知存在x∈[1,2] 24、,
使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,
即x2-2ax+5≤0,即a≥+成立,
令h(x)=+,則要使a≥h(x)在[1,2]上能成立,
只需使a≥h(x)min,
又函數(shù)h(x)=+在[1,2]上單調(diào)遞減,
所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.
A組 專題通關(guān)
1.(2018·寧波月考)已知f(x)=x2+cos x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(x)的圖象是( )
答案 A
解析 由題意得f′(x)=-sin x,易得函數(shù)f′(x)為奇函數(shù),排除B,D;設(shè)g(x)=-sin x,則g′(x)=-cos x,易得當(dāng)x∈時(shí),g′(x)= 25、-cos x<0,即函數(shù)f′(x)在上單調(diào)遞減,排除C,故選A.
2.已知函數(shù)f(x)=+2kln x-kx,若x=2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C.(0,2] D.
答案 A
解析 由題意得f′(x)=+-k=,f′(2)=0,令g(x)=ex-kx2,則g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0,令g(x)=0,得k=,令h(x)=,則h′(x)=,所以h(x)的最小值為h(2)=,無(wú)最大值,所以k≤,故選A.
3.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x) 26、f(x)-ex<0的解集為( )
A. B.(0,+∞)
C. D.(-∞,0)
答案 B
解析 構(gòu)造函數(shù)g(x)=,
則g′(x)=,
因?yàn)閒′(x) 27、2+b2無(wú)最大值也無(wú)最小值
答案 D
解析 由題意得f′(x)=bx2-2ax-,則由函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)得導(dǎo)函數(shù)f′(x)=bx2-2ax-存在穿過(guò)型零點(diǎn),則(-2a)2+4b>0,化簡(jiǎn)得a2+b2>1,所以a2+b2無(wú)最大值也無(wú)最小值,故選D.
5.設(shè)過(guò)曲線f(x)=ex+x+2a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上任意一點(diǎn)處的切線為l1,總存在過(guò)曲線g(x)=(1-2x)-2sin x上一點(diǎn)處的切線l2,使得l1⊥l2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.[-1,1] B.[-2,2]
C.[-1,2] D.[-2,1]
答案 C
解析 設(shè)y=f(x)的切點(diǎn)為(x1,y1),y 28、=g(x)的切點(diǎn)為(x2,y2),f′(x)=ex+1,g′(x)=-a-2cos x,
由題意得,對(duì)任意x1∈R,總存在x2使得(+1)(-a-2cos x2)=-1,
∴2cos x2=-a對(duì)任意x1∈R均有解x2,
故-2≤-a≤2對(duì)任意x1∈R恒成立,
則a-2≤≤a+2對(duì)任意x1∈R恒成立.
又∈(0,1),∴a-2≤0且2+a≥1,∴-1≤a≤2.
6.已知f(x)=xln x+,則f′(1)=________.
答案
解析 因?yàn)閒′(x)=1+ln x-,令x=1,
得f′(1)=1-f′(1),解得f′(1)=.
7.(2018·全國(guó)Ⅲ)曲線y=(ax+1 29、)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=________.
答案?。?
解析 ∵y′=(ax+a+1)ex,∴當(dāng)x=0時(shí),y′=a+1,
∴a+1=-2,得a=-3.
8.已知函數(shù)f(x)=2ln x和直線l:2x-y+6=0,若點(diǎn)P是函數(shù)f(x)圖象上的一點(diǎn),則點(diǎn) P到直線l的距離的最小值為________.
答案
解析 設(shè)直線y=2x+m 與函數(shù)f(x)的圖象相切于點(diǎn)P(x0,y0)(x0>0).
f′(x)=,則f′(x0)==2,解得x0=1,∴P(1,0).
則點(diǎn)P到直線2x-y+6=0的距離d==,即為點(diǎn)P到直線2x-y+6=0的距離的最小值.
9.已知 30、函數(shù)f(x)= (a∈R)的值域是,則常數(shù)a=________,m=________.
答案 1
解析 由題意得f(x)=≥-,
即a≥-x2-x-對(duì)任意x∈R恒成立,且存在x∈R使得等號(hào)成立,
所以a=max,
又因?yàn)椋瓁2-x-=-(x+2)2+,
所以a=max=,
所以f(x)==,
則f′(x)==,
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,
當(dāng)x∈(-∞,-2)和時(shí),f′(x)<0,
又x→-∞時(shí),f(x)→0,
所以易知,當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值
f?==1,即m=1.
10.已知函數(shù)f(x)=-a.
(1)當(dāng)a≤0時(shí),試求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f 31、(x)在(0,1)內(nèi)有極值,試求a的取值范圍.
解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
f′(x)=-a
=,
=.
當(dāng)a≤0時(shí),對(duì)于?x∈(0,+∞),ex-ax>0恒成立,
所以由f′(x)>0,得x>1;由f′(x)<0,得0 32、又因?yàn)間(1)=e,又當(dāng)x→0時(shí),g(x)→+∞,
即g(x)在(0,1)上的值域?yàn)?e,+∞),
所以當(dāng)a>e時(shí),f′(x)==0 有解.
設(shè)H(x)=ex-ax,則 H′(x)=ex-a<0,x∈(0,1),
所以H(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.
因?yàn)镠(0)=1>0,H(1)=e-a<0,
所以H(x)=ex-ax=0在(0,1)上有唯一解x0.
當(dāng)x變化時(shí),H(x),f′(x),f(x)變化情況如表所示:
x
(0,x0)
x0
(x0,1)
H(x)
+
0
-
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
極小值
↗
所以當(dāng)a>e時(shí),f( 33、x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一.
當(dāng)a≤e時(shí),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)≤0恒成立,f(x)單調(diào)遞減,不成立.
綜上,a的取值范圍為(e,+∞).
11.已知函數(shù)f(x)=x-aln x+b,a,b為實(shí)數(shù).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+3,求a,b的值;
(2)若|f′(x)|<對(duì)x∈[2,3]恒成立,求a的取值范圍.
解 (1)由已知,得f′(x)=1-,
且由題設(shè)得f′(1)=2,f(1)=5,
從而得1-a=2且1+b=5,
解得a=-1,b=4.
(2)根據(jù)題設(shè)可知,命題等價(jià)于
當(dāng)x∈[2,3]時(shí),<恒成立?|x-a|< 34、恒成立?-β·sin α;
③若n< 35、,當(dāng)xi∈時(shí),滿足=k的xi的個(gè)數(shù)記為n,則n的所有可能取值構(gòu)成的集合為{0,1,2,3}.
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f′(x)=xsin x≥0,
函數(shù)f(x)在[0,π]上為增函數(shù),
所以f(x)≥f(0)=0,①正確;
令g(x)=,由①知,
當(dāng)x∈(0,π)時(shí),g′(x)=<0,
所以g(x)在(0,π)上為減函數(shù),
所以g>g,即>,
所以α·sin β<β·sin α,②錯(cuò)誤;
由②可知g(x)=在上為減函數(shù),
所以g(x)=>g=,則n≤,
令φ(x)=sin x-x,當(dāng)x∈時(shí) 36、,
φ′(x)=cos x-1<0,
所以φ(x)在上為減函數(shù),
所以φ(x)=sin x-x<φ(0)=0,
所以<1,所以m≥1,
則min=mmin-nmax=1-,③正確;
令h(x)=|sin x|,k表示點(diǎn)(xi,h(xi))與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率,結(jié)合圖象(圖略)可知,當(dāng)k∈,xi∈(0,2π)時(shí),n的所有可能取值有0,1,2,3,④正確.
13.已知函數(shù)f(x)=xln x+,g(x)=x3-x2-3,a∈R.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)若對(duì)任意的x1,x2∈,都有f(x1)≥g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
37、
解 (1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=xln x-,
f(1)=-1,f′(x)=ln x+1+,
f′(1)=2,
從而曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=2(x-1)-1,
即y=2x-3.
(2)對(duì)任意的x1,x2∈,都有f(x1)≥g(x2)成立,
從而在區(qū)間上,f(x)min≥g(x)max.
又g(x)=x3-x2-3,
g′(x)=3x2-2x=x(3x-2),
從而函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增,
g(x)max=max=1.
又f(1)=a,則a≥1.
下面證明當(dāng)a≥1時(shí),xln x+≥1在上恒成立.
又f(x)=xln x+≥xln 38、 x+,
即證xln x+≥1.
令h(x)=xln x+,x∈,
則h′(x)=ln x+1-,h′(1)=0.
當(dāng)x∈時(shí),h′(x)≤0,
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),h′(x)≥0,
從而y=h(x)在x∈上單調(diào)遞減,
在[1,2]上單調(diào)遞增,h(x)min=h(1)=1,
從而當(dāng)a≥1時(shí),xln x+≥1在上恒成立,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).
14.已知函數(shù)f(x)=+xln x(m>0),g(x)=ln x-2.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的x1∈[1,e],總存在x2∈[1,e],使·=-1,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求 39、實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 (1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=+xln x,
則f′(x)=-+ln x+1.
因?yàn)閒′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f′(1)=0,
所以當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)0 40、x2(e-ln x)在[1,e]上恒成立.
設(shè)p(x)=-x2ln x,
則p′(x)=-2xln x≤0在[1,e]上恒成立,
所以p(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,
所以m≥p(x)max=p(1)=.
設(shè)q(x)=x2(e-ln x),
則q′(x)=x(2e-1-2ln x)≥x(2e-1-2ln e)>0在[1,e]上恒成立,
所以q(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
所以m≤q(x)min=q(1)=e.
綜上所述,m的取值范圍為.
15.已知函數(shù)f(x)=kln x-,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸垂直.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
41、(2)若對(duì)任意x∈(0,1)∪(1,e)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),都有+>(a>0)恒成立,求a的取值范圍.
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
∵f(x)=kln x-,定義域?yàn)?0,+∞),
∴f′(x)=-=(x>0).
由題意知f′(1)=k-1=0,解得k=1,
∴f′(x)=(x>0),
由f′(x)>0,解得x>1;由f′(x)<0,解得0 42、,則n′(x)=1-ln x-1=-ln x,
∴當(dāng)x>1時(shí),n′(x)<0,n(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x∈(1,e)時(shí),n(x) 43、φ(1)=0,
∴aln x 44、n x+1-1=ln x<0(0
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