(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)“2+1+2”壓軸滿分練(三)理(重點(diǎn)生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)“2+1+2”壓軸滿分練(三)理(重點(diǎn)生,含解析) 1.已知函數(shù)f(x)=+2kln x-kx,若x=2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  ) A.        B. C.(0,2] D.[2,+∞) 解析:選A 由題意可得f′(x)=+=,x>0, 令f′(x)=0,得x=2或ex=kx2(x>0), 由x=2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)知ex≥kx2(x>0)恒成立或ex≤kx2(x>0)恒成立,由y=ex(x>0)和y=kx2(x>0)的圖象可知,只能是ex≥kx2(x>0)恒成立. 法一:由x>0知,ex≥

2、kx2,則k≤, 設(shè)g(x)=,則k≤g(x)min. 由g′(x)=,得當(dāng)x>2時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)00)恒成立,則y=ex(x>0)的圖象在y=kx2(x>0)的圖象的上方(含相切), ①若k≤0,易知滿足題意; ②若k>0,設(shè)y=ex(x>0)與y=kx2(x>0)的圖象在點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線, 則解得數(shù)形結(jié)合可知,0

3、且?s∈N*,as>as+1.已知“有增有減”數(shù)列{an}共4項(xiàng),若ai∈{x,y,z}(i=1,2,3,4),且x

4、數(shù)列,含1,2,3中的任意兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù), 若含兩個(gè)數(shù),則有C=3種情況,以含有1,2為例,不減數(shù)列有1,1,1,2;1,1,2,2; 1,2,2,2,共3個(gè),所以含兩個(gè)數(shù)的不減數(shù)列共有3×3=9個(gè). 若含三個(gè)數(shù),則不減數(shù)列有1,1,2,3;1,2,3,3;1,2,2,3,共3個(gè). 所以不減數(shù)列共有9+3=12個(gè). ③不增數(shù)列,同理②,共有12個(gè). 綜上,數(shù)列{an}不是“有增有減”數(shù)列共有3+12×2=27個(gè). 所以,數(shù)列{an}是“有增有減”數(shù)列共有34-27=54個(gè). 法二:根據(jù)題設(shè)“有增有減”數(shù)列的定義,數(shù)列{an}共有兩類. 第一類:數(shù)列{an}的4項(xiàng)只含有x,y,

5、z中的兩個(gè),則有C=3種情況,以只含x,y為例,滿足條件的數(shù)列{an}有x,y,x,x;x,x,y,x;y,x,y,y;y,y,x,y;x,y,x,y;y,x,y,x;x,y,y,x;y,x,x,y,共8個(gè),所以此類共有3×8=24個(gè). 第二類:數(shù)列{an}的4項(xiàng)含有x,y,z中的三個(gè),必有兩項(xiàng)是同一個(gè),有C=3種情況,以兩項(xiàng)是x,另兩項(xiàng)分別為y,z為例,滿足條件的數(shù)列{an}有x,x,z,y;x,y,x,z;x,z,x,y;x,y,z,x;x,z,y,x;y,x,x,z;y,x,z,x;y,z,x,x;z,x,x,y;z,x,y,x,共10個(gè),所以此類共有3×10=30個(gè). 綜上,數(shù)列{

6、an}共有24+30=54個(gè). 3.如圖,等腰三角形PAB所在平面為α,PA⊥PB,AB=4,C,D分別為PA,AB的中點(diǎn),G為CD的中點(diǎn).平面α內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)G的直線l將△PAB分成兩部分,把點(diǎn)P所在的部分沿直線l翻折,使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P′(P′?平面α).若點(diǎn)P′在平面α內(nèi)的射影H恰好在翻折前的線段AB上,則線段P′H的長度的取值范圍是________. 解析:在等腰三角形PAB中,∵PA⊥PB,AB=4, ∴PA=PB=2. ∵C,D分別為PA,AB的中點(diǎn), ∴PC=CD=且PC⊥CD. 連接PG,P′G, ∵G為CD的中點(diǎn),∴PG=P′G=. 連接HG, ∵點(diǎn)P

7、′在平面α內(nèi)的射影H恰好在翻折前的線段AB上, ∴P′H⊥平面α,∴P′H⊥HG, ∴HG<P′G=. 易知點(diǎn)G到線段AB的距離為, ∴HG≥,∴≤HG<. 又P′H=,∴0<P′H≤. 答案: 4.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.已知以F為圓心,半徑為4的圓與l交于A,B兩點(diǎn),E是該圓與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn),∠EAB=90°. (1)求p的值; (2)已知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1且在拋物線C上,Q,R是拋物線C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn),且滿足直線PQ和直線PR的斜率之和為-1,試問直線QR是否經(jīng)過一定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);否則,請說明理由. 解:(1)連接AF

8、,EF,由題意及拋物線的定義,得|AF|=|EF|=|AE|=4,即△AEF是邊長為4的正三角形,所以∠FAE=60°,設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)D,在Rt△ADF中,∠FAD=30°,所以p=|DF|=|AF|=×4=2. (2)由題意知直線QR的斜率不為0,設(shè)直線QR的方程為x=my+t,點(diǎn)Q(x1,y1),R(x2,y2). 由得y2-4my-4t=0, 則Δ=16m2+16t>0,y1+y2=4m,y1·y2=-4t. 又點(diǎn)P,Q在拋物線C上, 所以kPQ====, 同理可得kPR=.因?yàn)閗PQ+kPR=-1, 所以+= ==-1, 則t=3m-. 由 解得m∈∪∪(1

9、,+∞), 所以直線QR的方程為x=m(y+3)-, 則直線QR過定點(diǎn). 5.已知函數(shù)f(x)=e2x(x3+ax+4xcos x+1),g(x)=ex-m(x+1). (1)當(dāng)m≥1時(shí),求函數(shù)g(x)的極值; (2)若a≥-,證明:當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)>x+1. 解:(1)由題意可知g′(x)=ex-m, 當(dāng)m≥1時(shí),由g′(x)=0得x=ln m, 由x>ln m得g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;由x

10、0,1)時(shí),要證f(x)>x+1, 即證x3+ax+4xcos x+1>. 由(1)得,當(dāng)m=1時(shí),g(x)=ex-(x+1)≥0, 即ex≥x+1, 所以e2x≥(x+1)2,所以<,x∈(0,1), x3+ax+4xcos x+1->x3+ax+4xcos x+1-=x3+ax+4xcos x+=x, 令h(x)=x2+4cos x+a+, 則h′(x)=2x-4sin x-, 令I(lǐng)(x)=2x-4sin x, 則I′(x)=2-4cos x=2(1-2cos x), 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),cos x>cos 1>cos=, 所以1-2cos x<0, 所以I′(x)<0,所以I(x)在(0,1)上為減函數(shù), 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),I(x)h(1)=a++4cos 1, 因?yàn)?cos 1>4cos=2,而a≥-, 所以a++4cos 1>0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>0, 所以x3+ax+4xcos x+1>成立, 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)>x+1成立.

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